طريقة كرة فورييه المزدوجة

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 15 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات، تعتبر طريقة كرة فورييه المزدوجة ( DFS ) تقنية تحول دالة معرفة على سطح الكرة إلى دالة معرفة على مجال مستطيل مع الحفاظ على الدورية في كل من اتجاهي خط الطول وخط العرض.

مقدمة

أولاً، دالةو(x،y،z){\displaystyle f(x,y,z)}على الكرة مكتوب على النحو التاليو(λ،θ){\displaystyle f(\lambda ,\theta )}باستخدام الإحداثيات الكروية ، أي

و(λ،θ)=و(كوس⁡λالخطيئة⁡θ،الخطيئة⁡λالخطيئة⁡θ،كوس⁡θ)،(λ،θ)∈[-π،π]×[0،π].{\displaystyle f(\lambda ,\theta )=f(\cos \lambda \sin \theta ,\sin \lambda \sin \theta ,\cos \theta ),(\lambda ,\theta )\in [-\pi ,\pi ]\times [0,\pi .}

الوظيفةو(λ،θ){\displaystyle f(\lambda ,\theta )}يكون2π{\displaystyle 2\pi }- دوري فيλ{\displaystyle \lambda }، ولكن ليس بشكل دوري فيθ{\displaystyle \theta }فُقدت الدورية في اتجاه خط العرض. لاستعادتها، تُضاعف الدالة وتُضاف إليها دالة أخرى ذات صلة.[-π،π]×[-π،π]{\displaystyle [-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]}يُعرَّف بأنه

و~(λ،θ)={ز(λ+π،θ)،(λ،θ)∈[-π،0]×[0،π]،ح(λ،θ)،(λ،θ)∈[0،π]×[0،π]،ز(λ،-θ)،(λ،θ)∈[0،π]×[-π،0]،ح(λ+π،-θ)،(λ،θ)∈[-π،0]×[-π،0]،{\displaystyle {\tilde {f}}(\lambda ,\theta )={\begin{cases}g(\lambda +\pi ,\theta ),&(\lambda ,\theta )\in [-\pi ,0]\times [0,\pi ],\\h(\lambda ,\theta ),&(\lambda ,\theta )\in [0,\pi ]\times [0,\pi ],\\g(\lambda ,-\theta ),&(\lambda ,\theta )\in [0,\pi ]\times [-\pi ,0],\\h(\lambda +\pi ,-\theta ),&(\lambda ,\theta )\in [-\pi ,0]\times [-\pi ,0],\\\end{cases}}}

أينز(λ،θ)=و(λ-π،θ){\displaystyle g(\lambda ,\theta )=f(\lambda -\pi ,\theta )}وح(λ،θ)=و(λ،θ){\displaystyle h(\lambda ,\theta )=f(\lambda ,\theta )}ل(λ،θ)∈[0،π]×[0،π]{\displaystyle (\lambda ,\theta )\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]}الوظيفة الجديدةو~{\displaystyle {\tilde {f}}}يكون2π{\displaystyle 2\pi }- دوري فيλ{\displaystyle \lambda }وθ{\displaystyle \theta }وهو ثابت على طول الخطوطθ=0{\displaystyle \theta =0} وθ=±π{\displaystyle \theta =\pm \pi }، بما يتوافق مع القطبين.

الوظيفةو~{\displaystyle {\tilde {f}}}يمكن توسيعها إلى متسلسلة فورييه مزدوجة

و~≈∑ج=-نن∑ك=-ننأجكهـأناجθهـأناكλ{\displaystyle {\tilde {f}}\approx \sum _{j=-n}^{n}\sum _{k=-n}^{n}a_{jk}e^{ij\theta}e^{ik\lambda }}

تاريخ

اقترح ميريلز طريقة DFS [ 1 ] وطوّرها ستيفن أورزاج [ 2 ] . ومنذ ذلك الحين، لم تحظَ هذه الطريقة باهتمام كبير في الدراسات (باستثناء ملحوظ هو عمل فورنبرغ) [ 3 ]، ربما بسبب هيمنة متسلسلات التوافقيات الكروية . وخلال السنوات الخمس عشرة الماضية، بدأ استخدامها في حساب الحقول الجاذبية بالقرب من الثقوب السوداء [ 4 ] وفي التحليل الطيفي الزمكاني المبتكر [ 5 ] .

مراجع

  1. ↑ بي إي ميريلز، التقريب الطيفي الزائف المطبق على معادلات المياه الضحلة على الكرة، الغلاف الجوي، 11 (1973)، ص 13-20
  2. ↑ SA Orszag، سلسلة فورييه على الكرات، Mon. Wea. Rev.، 102 (1974)، ص 56-75.
  3. ↑ ب. فورنبرغ، نهج طيفي زائف للهندسات القطبية والكروية، مجلة SIAM للعلوم الحاسوبية، 16 (1995)، ص 1071-1081
  4. ^ ر. بارتنيك وأ. نورتون، الطرق العددية لمعادلات أينشتاين في الإحداثيات شبه الكروية الفارغة، SIAM J. Sci. شركات، 22 (2000)، الصفحات من 917 إلى 950
  5. ↑ C. Sun, J. Li, F.-F. Jin, and F. Xie, Contrasting meridional structures of stratospheric and tropospheric planetary wave variability in the northern hemisphere, Tellus A, 66 (2014)