وحدة Duliize

في الجبر المجرد ، الوحدة الثنائية ، والتي تُسمى أيضًا الوحدة الأساسية ، هي وحدة فوق حلقة تبديلية تُشابه الحزمة الأساسية لمتنوعة ملساء . وتُستخدم في ثنائية غروتينديك المحلية .

وحدة ثنائية لحلقة نوثرية R هي وحدة مولدة بشكل محدود M بحيث أنه لأي مثالي أقصى m ، فإن فضاء المتجهات R / m Ext ⁿ _R ( R / m , M ) يتلاشى إذا كان n ≠ height( m ) ويكون أحادي البعد إذا كان n = height( m ).    

لا يشترط أن يكون الموديول الثنائي فريدًا، لأن حاصل الضرب الموتري لأي موديول ثنائي مع موديول إسقاطي من الرتبة 1 هو أيضًا موديول ثنائي. مع ذلك، هذه هي الطريقة الوحيدة التي لا يكون فيها الموديول الثنائي فريدًا: فبالنظر إلى أي موديولين ثنائيين، يكون أحدهما متماثلًا مع حاصل الضرب الموتري للآخر مع موديول إسقاطي من الرتبة 1. وبالتحديد، إذا كانت الحلقة محلية، يكون الموديول الثنائي فريدًا حتى التماثل.

لا يشترط أن تحتوي الحلقة النويثرية على وحدة ثنائية. أي حلقة تحتوي على وحدة ثنائية يجب أن تكون حلقة كوهين-ماكولي . وعلى العكس، إذا كانت حلقة كوهين-ماكولي خارج قسمة حلقة غورنشتاين، فإنها تحتوي على وحدة ثنائية. وبشكل خاص، أي حلقة كوهين-ماكولي محلية كاملة تحتوي على وحدة ثنائية. بالنسبة للحلقات التي لا تحتوي على وحدة ثنائية، يمكن أحيانًا استخدام المركب الثنائي كبديل.

إذا كانت R حلقة غورنشتاين، فإن R التي تعتبر وحدة نمطية على نفسها هي وحدة نمطية ثنائية.

إذا كانت R حلقة محلية أرتينية فإن وحدة ماتليس لـ R (الغلاف الحقني لحقل البقايا) هي وحدة الازدواج.

الحلقة المحلية الأرتينية R  = k [ x , y ]/( x ² , y ² , xy ) لها وحدة ثنائية فريدة ، لكنها ليست متماثلة مع R. 

تحتوي الحلقة Z [ √ –5 ] على وحدتين ثنائيتين غير متماثلتين، تتوافقان مع فئتي المثاليات القابلة للعكس.

الحلقة المحلية k [ x , y ]/( y ² , xy ) ليست Cohen–Macaulay لذا ليس لديها وحدة ثنائية.

• حزمة مزدوجة

• بورباكي، ن. (2007)، الجبر التبادلي. الفصل 10 ، عناصر الرياضيات (بالفرنسية)، Springer-Verlag، برلين، ISBN 978-3-540-34394-3، MR 2333539 
• برونز، وينفريد؛ هيرتسوغ، يورغن (1993)، حلقات كوهين-ماكولي ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، المجلد  39، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-41068-7MR 1251956​