المحاكاة الديناميكية

النموذج الأول الذي يمكن استخدامه في محركات الفيزياء يحكم حركة الأجسام متناهية الصغر ذات الكتلة المحدودة والتي تسمى "الجسيمات". هذه المعادلة، التي تسمى قانون نيوتن الثاني (انظر قوانين نيوتن ) أو تعريف القوة، هي السلوك الأساسي الذي يحكم كل حركة:

${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}$^{[ 1 ]}

تُمكّننا هذه المعادلة من نمذجة سلوك الجسيمات بشكل كامل، لكنها غير كافية لمعظم عمليات المحاكاة لأنها لا تأخذ في الحسبان الحركة الدورانية للأجسام الصلبة . هذا هو أبسط نموذج يُمكن استخدامه في محرك فيزيائي، وقد استُخدم على نطاق واسع في ألعاب الفيديو القديمة.

تتشوه الأجسام في العالم الحقيقي عند تعرضها للقوى، ولذلك نطلق عليها اسم "الأجسام المرنة"، ولكن غالبًا ما يكون التشوه ضئيلاً للغاية مقارنةً بالحركة، كما أن نمذجته معقدة جدًا، لذا تتجاهل معظم محركات الفيزياء التشوه. يُطلق على الجسم الذي يُفترض أنه غير قابل للتشوه اسم " الجسم الصلب" . تتناول ديناميكيات الأجسام الصلبة حركة الأجسام التي لا يمكنها تغيير شكلها أو حجمها أو كتلتها، ولكن يمكنها تغيير اتجاهها وموقعها.

لحساب الطاقة الدورانية والزخم، يجب أن نصف كيفية تطبيق القوة على الجسم باستخدام العزم ، وأن نحسب توزيع كتلة الجسم باستخدام موتر القصور الذاتي . نصف هذه التفاعلات المعقدة بمعادلة مشابهة إلى حد ما لتعريف القوة المذكور أعلاه.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }})}{\mathrm {d} t}}=\sum _{j=1}^{N}\tau _{j}}$

أين${\displaystyle \mathbf {I} }$هو موتر القصور الذاتي المركزي ،${\displaystyle {\vec {\أوميغا }}}$هو متجه السرعة الزاوية ، و${\displaystyle \tau _{j}}$هي لحظة القوة الخارجية رقم j حول مركز الكتلة .

يصف موتر القصور الذاتي موقع كل جسيم ذي كتلة في جسم معين بالنسبة إلى مركز كتلة الجسم. وهذا يسمح لنا بتحديد كيفية دوران الجسم تبعًا للقوى المؤثرة عليه. ويتم قياس هذه الحركة الزاوية بواسطة متجه السرعة الزاوية.

طالما بقينا دون السرعات النسبية (انظر الديناميكا النسبية )، فإن هذا النموذج سيحاكي بدقة جميع السلوكيات ذات الصلة. تتطلب هذه الطريقة من محرك الفيزياء حل ست معادلات تفاضلية عادية في كل لحظة نريد عرضها، وهي مهمة بسيطة بالنسبة لأجهزة الكمبيوتر الحديثة.

يُعدّ النموذج العطالي أكثر تعقيدًا مما نحتاج إليه عادةً، ولكنه الأسهل استخدامًا. في هذا النموذج، لا نحتاج إلى تغيير القوى أو تقييد النظام. مع ذلك، إذا أجرينا بعض التعديلات الذكية على النظام، ستصبح المحاكاة أسهل بكثير، وسيقل وقت الحساب. يتمثل القيد الأول في وضع كل عزم دوران بدلالة المحاور الرئيسية. هذا يجعل برمجة كل عزم دوران أكثر صعوبة، ولكنه يُبسّط المعادلات بشكل كبير. عند تطبيق هذا القيد، نقوم بتحويل موتر عزم القصور الذاتي إلى مصفوفة قطرية، مما يُبسّط المعادلات الثلاث إلى مجموعة خاصة من المعادلات تُسمى معادلات أويلر . تصف هذه المعادلات جميع قوى الزخم الدوراني بدلالة المحاور الرئيسية.

${\displaystyle {\begin{matrix}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega _{2}\omega _{3}&=&N_{1}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega _{3}\omega _{1}&=&N_{2}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega _{1}\omega _{2}&=&N_{3}\end{matrix}}}$

• تمثل الحدود N عزم الدوران المطبق حول المحاور الرئيسية
• تمثل الحدود I عزم القصور الذاتي الرئيسي
• ال${\displaystyle {\omega }}$المصطلحات هي السرعات الزاوية حول المحاور الرئيسية

يكمن عيب هذا النموذج في أن جميع العمليات الحسابية تتم في البداية، مما يجعله أبطأ مما نرغب. ولا تظهر فائدته الحقيقية بوضوح لأنه لا يزال يعتمد على نظام من المعادلات التفاضلية غير الخطية. وللتغلب على هذه المشكلة، علينا إيجاد طريقة لإزالة الحد الثاني من المعادلة، مما سيسهل علينا التكامل بشكل كبير. وأسهل طريقة لتحقيق ذلك هي افتراض قدر معين من التناظر.

هناك نوعان من الأجسام المتناظرة التي تُبسط معادلات أويلر، وهما "الأجسام المتناظرة" و"الكرات المتناظرة". يفترض النوع الأول درجة واحدة من التناظر، مما يجعل اثنين من حدود I متساويين. يمكن التعبير عن هذه الأجسام، مثل الأسطوانات والأجسام المتناظرة، بمعادلة واحدة بسيطة للغاية ومعادلتين أبسط منها قليلاً. لكن هذا لا يُفيدنا كثيرًا، لأنه بإضافة درجة تناظر أخرى، يُمكننا الحصول على زيادة كبيرة في السرعة دون تغيير يُذكر في الشكل. أما الكرة المتناظرة، فتجعل جميع حدود I متساوية ( مقياس عزم القصور الذاتي )، مما يُبسط جميع هذه المعادلات.

${\displaystyle {\begin{matrix}I{\dot {\omega }}_{1}&=&N_{1}\\I{\dot {\omega }}_{2}&=&N_{2}\\I{\dot {\omega }}_{3}&=&N_{3}\end{matrix}}}$

• تمثل الحدود N عزم الدوران المطبق حول المحاور الرئيسية
• ال${\displaystyle {\omega }}$المصطلحات هي السرعات الزاوية حول المحاور الرئيسية
• يمثل الحد I عزم القصور الذاتي القياسي :

${\displaystyle I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{V}l^{2}(m)\,dm=\iiint _{V}l^{2}(v)\,\rho (v)\,dv=\iiint _{V}l^{2}(x,y,z)\,\rho (x,y,z)\,dx\,dy\,dz\!}$

أين

• • V هو حجم منطقة الجسم،
  • يمثل r المسافة من محور الدوران،
  • m هي الكتلة،
  • v هو الحجم،
  • ρ هي دالة الكثافة النقطية للجسم،
  • x و y و z هي الإحداثيات الديكارتية.

تُمكّننا هذه المعادلات من محاكاة سلوك جسمٍ يدور بطريقةٍ قريبةٍ جدًا من محاكاة الحركة بدون دوران. هذا نموذجٌ بسيط، ولكنه دقيقٌ بما يكفي لإنتاج مخرجاتٍ واقعيةٍ في عمليات المحاكاة الديناميكية في الوقت الفعلي . كما يسمح لمحرك الفيزياء بالتركيز على القوى والعزوم المتغيرة بدلًا من القصور الذاتي المتغير.