نظام متعدد الأجسام

نظام الأجسام المتعددة هو دراسة السلوك الديناميكي للأجسام الصلبة أو المرنة المترابطة ، والتي قد يخضع كل منها لإزاحات انتقالية ودورانية كبيرة.

أدى التناول المنهجي للسلوك الديناميكي للأجسام المترابطة إلى ظهور عدد كبير من الصيغ الرياضية المهمة للأجسام المتعددة في مجال الميكانيكا . وقد تناول نيوتن ( الجسيم الحر ) وأويلر (الجسم الصلب) أبسط الأجسام أو عناصر نظام متعدد الأجسام. أدخل أويلر قوى رد الفعل بين الأجسام. وفي وقت لاحق، تم اشتقاق سلسلة من الصيغ الرياضية، نذكر منها على سبيل المثال لا الحصر صيغ لاغرانج القائمة على الإحداثيات الدنيا، وصيغة ثانية تُدخل قيودًا.

بشكل أساسي، تُوصف حركة الأجسام بسلوكها الحركي . وينتج السلوك الديناميكي عن توازن القوى المؤثرة ومعدل تغير الزخم. في الوقت الحاضر، يرتبط مصطلح "نظام متعدد الأجسام" بالعديد من مجالات البحث الهندسي، لا سيما في مجال الروبوتات وديناميكيات المركبات. ومن أهم سمات هذه الأنظمة، أنها توفر عادةً طريقة حسابية مدعومة بالحاسوب لنمذجة وتحليل ومحاكاة وتحسين الحركة العشوائية لآلاف الأجسام المترابطة.

بينما يتم دراسة الأجسام المفردة أو أجزاء النظام الميكانيكي بالتفصيل باستخدام طرق العناصر المحدودة، فإن سلوك النظام متعدد الأجسام بأكمله عادة ما يتم دراسته باستخدام طرق النظام متعدد الأجسام ضمن المجالات التالية:

• هندسة الطيران والفضاء (المروحيات، معدات الهبوط، سلوك الآلات في ظل ظروف جاذبية مختلفة)
• الميكانيكا الحيوية
• محرك احتراق داخلي ، تروس وناقلات حركة، نظام نقل الحركة بالسلسلة ، نظام نقل الحركة بالحزام
• محاكاة ديناميكية
• رافعة ، ناقل ، مصنع ورق
• التطبيقات العسكرية
• محاكاة الجسيمات (الوسائط الحبيبية، الرمل، الجزيئات)
• محرك الفيزياء
• الروبوتات
• محاكاة المركبات ( ديناميكيات المركبات ، النماذج الأولية السريعة للمركبات، تحسين الاستقرار، تحسين الراحة، تحسين الكفاءة، ...)

يوضح المثال التالي نظامًا نموذجيًا متعدد الأجسام، ويُشار إليه عادةً بآلية المكبس والذراع. تُستخدم هذه الآلية لتحويل الحركة الدورانية إلى حركة انتقالية بواسطة ذراع دافع دوار، وقضيب توصيل، وجسم منزلق. في هذا المثال، يُستخدم جسم مرن كقضيب توصيل. لا يُسمح للكتلة المنزلقة بالدوران، وتُستخدم ثلاثة مفاصل دورانية لربط الأجسام. على الرغم من أن لكل جسم ست درجات حرية في الفضاء، إلا أن الشروط الحركية تُؤدي إلى درجة حرية واحدة للنظام بأكمله.

يمكن مشاهدة حركة الآلية في الصورة المتحركة التالية بصيغة GIF:

يُعتبر الجسم عادةً جزءًا صلبًا أو مرنًا من نظام ميكانيكي (لا يُخلط بينه وبين جسم الإنسان). ومن أمثلة الجسم ذراع الروبوت، أو عجلة أو محور السيارة، أو ساعد الإنسان. أما الوصلة فهي الرابط بين جسمين أو أكثر، أو بين جسم والأرض. وتُحدد الوصلة بقيود حركية معينة تُقيد الحركة النسبية للأجسام. ومن القيود النموذجية:

• مفصل كاردان أو مفصل عالمي؛ 4 قيود حركية
• مفصل انزلاقي ؛ يسمح بالإزاحة النسبية على طول محور واحد، ويقيد الدوران النسبي؛ ويستلزم 5 قيود حركية
• مفصل دوراني ؛ يُسمح بدوران نسبي واحد فقط؛ يتضمن 5 قيود حركية؛ انظر المثال أعلاه
• مفصل كروي ؛ يقيد الإزاحات النسبية في نقطة واحدة، ويسمح بالدوران النسبي؛ ويستلزم 3 قيود حركية

هناك مصطلحان مهمان في الأنظمة متعددة الأجسام: درجة الحرية وشرط القيد.

تُستخدم معادلات الحركة لوصف السلوك الديناميكي لنظام متعدد الأجسام. قد يؤدي كل نموذج لنظام متعدد الأجسام إلى شكل رياضي مختلف لمعادلات الحركة، بينما تبقى المبادئ الفيزيائية الكامنة وراءه واحدة. تُوصف حركة الأجسام المقيدة بواسطة معادلات ناتجة أساسًا عن قانون نيوتن الثاني. تُكتب هذه المعادلات للحركة العامة للأجسام المفردة مع إضافة شروط التقييد. عادةً ما تُشتق معادلات الحركة من معادلات نيوتن-أويلر أو معادلات لاغرانج .

تُوصَف حركة الأجسام الصلبة بواسطة

${\displaystyle \mathbf {M(q)} {\ddot {\mathbf {q} }}-\mathbf {Q} _{v}+\mathbf {C_{q}} ^{T}\mathbf {\lambda } =\mathbf {F} ,}$(1)

${\displaystyle \mathbf {C} (\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})=0}$(2)

تعتمد هذه الأنواع من معادلات الحركة على ما يُسمى بالإحداثيات الزائدة، لأن هذه المعادلات تستخدم إحداثيات أكثر من درجات حرية النظام الأساسي. ويُرمز إلى الإحداثيات المعممة بـ${\displaystyle \mathbf {q} }$، يتم تمثيل مصفوفة الكتلة بواسطة${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {q} )}$والتي قد تعتمد على الإحداثيات المعممة. ${\displaystyle \mathbf {C} }$يمثل شروط القيد والمصفوفة${\displaystyle \mathbf {C_{q}} }$المصفوفة (التي تُسمى أحيانًا بالمصفوفة اليعقوبية ) هي مشتقة شروط القيد بالنسبة للإحداثيات. تُستخدم هذه المصفوفة لتطبيق قوى القيد.${\displaystyle \mathbf {\lambda } }$وفقًا للمعادلات المناسبة للأجسام. مركبات المتجه${\displaystyle \mathbf {\lambda } }$ويُشار إليها أيضاً باسم مُضاعِفات لاغرانج. في الجسم الصلب، يمكن تقسيم الإحداثيات المُحتملة إلى جزأين،

${\displaystyle \mathbf {q} =\left[\mathbf {u} \quad \mathbf {\Psi } \right]^{T}}$

أين${\displaystyle \mathbf {u} }$يمثل الترجمات و${\displaystyle \mathbf {\Psi } }$ يصف الدوران.

توجد عدة حالات تستدعي مراعاة مرونة الأجسام، على سبيل المثال في الحالات التي تلعب فيها المرونة دورًا أساسيًا في علم الحركة وكذلك في الآليات المرنة.

يمكن مراعاة المرونة بطرق مختلفة. هناك ثلاثة مناهج رئيسية:

• الجسم المرن متعدد الأجسام المنفصل، ينقسم الجسم المرن إلى مجموعة من الأجسام الصلبة المتصلة بصلابة مرنة تمثل مرونة الجسم
• التكثيف النمطي، الذي يتم فيه وصف المرونة من خلال عدد محدود من أنماط اهتزاز الجسم عن طريق استغلال درجات الحرية المرتبطة بسعة النمط
• يتم مراعاة المرونة الكاملة للجسم من خلال تقسيم الجسم إلى عناصر فرعية ذات إزاحة مفردة مرتبطة بخصائص المادة المرنة.

• محاكاة ديناميكية
• محاكاة الأجسام المتعددة (تقنيات الحل)
• محرك الفيزياء

• J. فيتنبرغ، ديناميات أنظمة الأجسام الصلبة، تيوبنر، شتوتغارت (1977).
• ج. ويتنبرغ، ديناميكيات الأنظمة متعددة الأجسام، برلين، سبرينغر (2008).
• ك. ماغنوس، ديناميكيات الأنظمة متعددة الأجسام، سبرينغر فيرلاغ، برلين (1978).
• بي إي نيكرافيش، التحليل بمساعدة الحاسوب للأنظمة الميكانيكية، برنتيس هول (1988).
• EJ Haug, Computer-Aided Kinematics and Dynamics of Mechanical Systems, Allyn and Bacon, Boston (1989).
• H. بريمر وF. فايفر، Elastische Mehrkörpersysteme، BG Teubner، شتوتغارت، ألمانيا (1992).
• J. García de Jalón, E. Bayo, Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody Systems - The Real-Time Challenge, Springer-Verlag, New York (1994).
• AA Shabana، ديناميكيات الأنظمة متعددة الأجسام، الطبعة الثانية، جون وايلي وأولاده (1998).
• M. Géradin, A. Cardona, Flexible multibody dynamics – A finite element approach, Wiley, New York (2001).
• E. Eich-Soellner، C. Führer، الطرق العددية في ديناميكيات الأجسام المتعددة، تيوبنر، شتوتغارت، 1998 (طبع لوند، 2008).
• ت. وصفي وأ. نور، "استراتيجيات حسابية لأنظمة متعددة الأجسام مرنة"، مجلة الجمعية الأمريكية للمهندسين الميكانيكيين. مراجعة الميكانيكا التطبيقية 2003؛ 56 (6): 553-613. doi : 10.1115/1.1590354 .
• ب. بروغلياتو، "الميكانيكا غير الملساء. النماذج والديناميكا والتحكم"، دار نشر سبرينغر الدولية، سويسرا، الطبعة الثالثة، 2016.

• http://real.uwaterloo.ca/~mbody/ روابط مجمعة لجون ماكفي