مرشح كالمان الجماعي

يترك${\displaystyle \mathbf {x} }$يشير إلى${\displaystyle n}$لنفترض أن متجه الحالة ذو الأبعاد n لنموذج ما له توزيع احتمالي غاوسي بمتوسط${\displaystyle \mathbf {\mu } }$والتباين المشترك${\displaystyle Q}$أي أن ملف PDF الخاص به هو

${\displaystyle p(\mathbf {x} )\propto \exp \left(-{\frac {1}{2}}(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } )^{\mathrm {T} }Q^{-1}(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } )\right).}$

هنا وفي الأسفل،${\displaystyle \propto }$يعني ذلك التناسب؛ يتم دائمًا تغيير مقياس دالة كثافة الاحتمال بحيث يكون تكاملها على كامل المساحة واحدًا.${\displaystyle p(\mathbf {x} )}$تم تطوير التوزيع الاحتمالي الأولي ، الذي يُسمى التوزيع الاحتمالي المسبق ، بمرور الوقت من خلال تشغيل النموذج، ويجب الآن تحديثه لمراعاة البيانات الجديدة. من الطبيعي افتراض أن توزيع الخطأ في البيانات معروف؛ إذ يجب أن تأتي البيانات مصحوبة بتقدير للخطأ، وإلا فإنها تصبح بلا معنى. هنا، البيانات${\displaystyle \mathbf {d} }$يُفترض أن يكون لها دالة كثافة احتمالية غاوسية ذات تباين${\displaystyle R}$ويعني${\displaystyle H\mathbf {x} }$، أين${\displaystyle H}$هي ما يسمى بمصفوفة الملاحظة . مصفوفة التغاير${\displaystyle R}$يصف تقدير خطأ البيانات؛ إذا كانت الأخطاء العشوائية في مدخلات متجه البيانات${\displaystyle \mathbf {d} }$مستقلون،${\displaystyle R}$المصفوفة قطرية، وعناصرها القطرية هي مربعات الانحراف المعياري ("حجم الخطأ") لخطأ العناصر المقابلة في متجه البيانات.${\displaystyle \mathbf {d} }$القيمة${\displaystyle H\mathbf {x} }$ما هي قيمة البيانات بالنسبة للولاية؟${\displaystyle \mathbf {x} }$في حالة عدم وجود أخطاء في البيانات. عندئذٍ تكون كثافة الاحتمال${\displaystyle p(\mathbf {d} |\mathbf {x} )}$من البيانات${\displaystyle \mathbf {d} }$مشروط بحالة النظام${\displaystyle \mathbf {x} }$، والتي تسمى احتمالية البيانات ، هي

${\displaystyle p\left(\mathbf {d} |\mathbf {x} \right)\propto \exp \left(-{\frac {1}{2}}(\mathbf {d} -H\mathbf {x} )^{\mathrm {T} }R^{-1}(\mathbf {d} -H\mathbf {x} )\right).}$

يتم دمج دالة كثافة الاحتمال للحالة واحتمالية البيانات لإعطاء دالة كثافة الاحتمال الجديدة لحالة النظام${\displaystyle \mathbf {x} }$بشرط قيمة البيانات${\displaystyle \mathbf {d} }$(الاحتمال اللاحق ) وفقًا لنظرية بايز ،

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} |\mathbf {d} \right)\propto p\left(\mathbf {d} |\mathbf {x} \right)p(\mathbf {x} ).}$

البيانات${\displaystyle \mathbf {d} }$يتم تحديدها بمجرد استلامها، لذا نرمز إلى الحالة اللاحقة بـ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} }$بدلاً من${\displaystyle \mathbf {x} |\mathbf {d} }$ودالة كثافة الاحتمال الخلفية بواسطة${\displaystyle p\left(\mathbf {\hat {x}} \right)}$يمكن إثبات ذلك من خلال عمليات جبرية ^{[ 5 ]} أن دالة كثافة الاحتمال الخلفية هي أيضًا دالة غاوسية.

${\displaystyle p\left(\mathbf {\hat {x}} \right)\propto \exp \left(-{\frac {1}{2}}(\mathbf {\hat {x}} -\mathbf {\hat {\mu }} )^{\mathrm {T} }{\hat {Q}}^{-1}(\mathbf {\hat {x}} -\mathbf {\hat {\mu }} )\right),}$

مع المتوسط ​​الخلفي${\displaystyle \mathbf {\hat {\mu }} }$والتباين المشترك${\displaystyle {\hat {Q}}}$يتم الحصول عليها بواسطة صيغ تحديث كالمان

${\displaystyle \mathbf {\hat {\mu }} =\mathbf {\mu } +K\left(\mathbf {d} -H\mathbf {\mu } \right),\quad {\hat {Q}}=\left(I-KH\right)Q,}$

أين

${\displaystyle K=QH^{\mathrm {T} }\left(HQH^{\mathrm {T} }+R\right)^{-1}}$

وهي ما يسمى بمصفوفة كسب كالمان .

يُعد EnKF تقريبًا لمرشح كالمان باستخدام طريقة مونت كارلو، مما يتجنب تطوير مصفوفة التغاير لدالة كثافة الاحتمال لمتجه الحالة.${\displaystyle \mathbf {x} }$بدلاً من ذلك، يتم تمثيل دالة كثافة الاحتمال بواسطة مجموعة.

${\displaystyle X=\left[\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{N}\right]=\left[\mathbf {x} _{i}\right].}$

${\displaystyle X}$هو${\displaystyle n\times N}$مصفوفة أعمدتها أعضاء المجموعة، وتُسمى المجموعة الأولية . من الناحية المثالية، تُشكّل أعضاء المجموعة عينة من التوزيع الأولي. مع ذلك، لا تكون أعضاء المجموعة مستقلة بشكل عام إلا في المجموعة الأولية، لأن كل خطوة من خطوات مرشح كالمان الموسع (EnKF) تربطها معًا. تُعتبر هذه الأعضاء مستقلة تقريبًا، وتُجرى جميع الحسابات كما لو كانت مستقلة بالفعل.

قم بتكرار البيانات${\displaystyle \mathbf {d} }$إلى${\displaystyle m\times N}$مصفوفة

${\displaystyle D=\left[\mathbf {d} _{1},\ldots ,\mathbf {d} _{N}\right]=\left[\mathbf {d} _{i}\right],\quad \mathbf {d} _{i}=\mathbf {d} +\mathbf {\epsilon _{i}} ,\quad \mathbf {\epsilon _{i}} \sim N(0,R),}$

بحيث يكون كل عمود${\displaystyle \mathbf {d} _{i}}$يتكون من متجه البيانات${\displaystyle \mathbf {d} }$بالإضافة إلى متجه عشوائي من${\displaystyle m}$التوزيع الطبيعي ذو الأبعاد${\displaystyle N(0,R)}$وإذا كانت أعمدة${\displaystyle X}$إذا كانت عينة من التوزيع الاحتمالي المسبق ، فإن أعمدة

${\displaystyle {\hat {X}}=X+K(D-HX)}$

تكوين عينة من توزيع الاحتمال اللاحق . لرؤية ذلك في الحالة العددية مع${\displaystyle H=1}$: يترك${\displaystyle x_{i}=\mu +\xi _{i},\;\xi _{i}\sim N(0,\sigma _{x}^{2})}$، و${\displaystyle d_{i}=d+\epsilon _{i},\;\epsilon _{i}\sim N(0,\sigma _{d}^{2}).}$ ثم

${\displaystyle {\hat {x}}_{i}=\left({\frac {1/\sigma _{x}^{2}}{1/\sigma _{x}^{2}+1/\sigma _{d}^{2}}}\mu +{\frac {1/\sigma _{d}^{2}}{1/\sigma _{x}^{2}+1/\sigma _{d}^{2}}}d\right)+\left({\frac {1/\sigma _{x}^{2}}{1/\sigma _{x}^{2}+1/\sigma _{d}^{2}}}\xi _{i}+{\frac {1/\sigma _{d}^{2}}{1/\sigma _{x}^{2}+1/\sigma _{d}^{2}}}\epsilon _{i}\right)}$.

المجموع الأول هو المتوسط ​​اللاحق، أما المجموع الثاني، نظرًا للاستقلال، فله تباين

${\displaystyle \left({\frac {1/\sigma _{x}^{2}}{1/\sigma _{x}^{2}+1/\sigma _{d}^{2}}}\right)^{2}\sigma _{x}^{2}+\left({\frac {1/\sigma _{d}^{2}}{1/\sigma _{x}^{2}+1/\sigma _{d}^{2}}}\right)^{2}\sigma _{d}^{2}={\frac {1}{1/\sigma _{x}^{2}+1/\sigma _{d}^{2}}}}$،

وهو التباين اللاحق.

يتم الآن الحصول على EnKF ببساطة عن طريق استبدال تباين الحالة${\displaystyle Q}$في مصفوفة كسب كالمان${\displaystyle K}$بواسطة التغاير العيني${\displaystyle C}$محسوبة من أعضاء المجموعة (تسمى تباين المجموعة )، ^{[ 6 ]} أي:${\displaystyle K=CH^{\mathrm {T} }\left(HCH^{\mathrm {T} }+R\right)^{-1}}$

نتابع هنا. ^{[ 7 ] [ 8 ]} لنفترض مصفوفة المجموعة${\displaystyle X}$ومصفوفة البيانات${\displaystyle D}$كما سبق. متوسط ​​المجموعة والتباين هما

${\displaystyle E\left(X\right)={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {x} _{k},\quad C={\frac {AA^{T}}{N-1}},}$

أين

${\displaystyle A=X-E\left(X\right)\mathbf {e} _{1\times N}=X-{\frac {1}{N}}\left(X\mathbf {e} _{N\times 1}\right)\mathbf {e} _{1\times N},}$

و${\displaystyle \mathbf {e} }$يشير إلى مصفوفة جميع العناصر التي تحتوي على واحدات بالحجم المحدد.

المجموعة الخلفية${\displaystyle X^{p}}$ثم يتم تحديده بواسطة

${\displaystyle X^{p}=X+CH^{T}\left(HCH^{T}+R\right)^{-1}(D-HX),}$

حيث مصفوفة البيانات المضطربة${\displaystyle D}$كما هو مذكور أعلاه.

لاحظ ذلك منذ${\displaystyle R}$بما أن مصفوفة التغاير هي مصفوفة شبه موجبة دائمًا، وموجبة تمامًا في الغالب ، فإن معكوسها موجود، ويمكن تطبيق الصيغة باستخدام تحليل تشوليسكي . ^{[ 9 ]} انظر أيضًا ^{[ 7 ] [ 8 ]}${\displaystyle R}$يتم استبدالها بتغاير العينة${\displaystyle {\tilde {D}}{\tilde {D}}^{T}/\left(N-1\right)}$أين${\displaystyle {\tilde {D}}=D-{\frac {1}{N}}d\,\mathbf {e} _{1\times N}}$ويتم استبدال المعكوس بمعكوس زائف ، يتم حسابه باستخدام تحليل القيم المفردة (SVD).

بما أن هذه الصيغ عبارة عن عمليات مصفوفية ذات عمليات مهيمنة من المستوى الثالث ، ^{[ 10 ]} فهي مناسبة للتنفيذ الفعال باستخدام حزم برمجية مثل LAPACK (على الحواسيب ذات الذاكرة التسلسلية والمشتركة ) و ScaLAPACK (على الحواسيب ذات الذاكرة الموزعة ). ^{[ 9 ]} بدلاً من حساب معكوس المصفوفة والضرب به، من الأفضل بكثير (أرخص عدة مرات وأكثر دقة) حساب تحليل تشوليسكي للمصفوفة ومعالجة الضرب بالمعكوس كحل لنظام خطي ذي أطراف يمنى متزامنة متعددة. ^{[ 10 ]}

بما أننا استبدلنا مصفوفة التغاير بمصفوفة التغاير للمجموعة، فإن هذا يؤدي إلى صيغة أبسط حيث تُستخدم مشاهدات المجموعة مباشرةً دون تحديد المصفوفة بشكل صريح.${\displaystyle H}$وبشكل أكثر تحديدًا، قم بتعريف دالة${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$من الشكل

${\displaystyle h(\mathbf {x} )=H\mathbf {x} .}$

الوظيفة${\displaystyle h}$تُسمى هذه الدالة دالة الملاحظة ، أو في سياق المسائل العكسية ، المؤثر الأمامي . قيمة${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$ما هي قيمة البيانات بالنسبة للولاية؟${\displaystyle \mathbf {x} }$بافتراض أن القياس دقيق، يمكن إعادة كتابة مجموعة التوزيع الاحتمالي اللاحق على النحو التالي:

${\displaystyle X^{p}=X+{\frac {1}{N-1}}A\left(HA\right)^{T}P^{-1}(D-HX)}$

أين

${\displaystyle HA=HX-{\frac {1}{N}}\left(\left(HX\right)\mathbf {e} _{N\times 1}\right)\mathbf {e} _{1\times N},}$

و

${\displaystyle P={\frac {1}{N-1}}HA\left(HA\right)^{T}+R,}$

مع

${\displaystyle \left[HA\right]_{i}=H\mathbf {x} _{i}-H{\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {x} _{j}\ =h\left(\mathbf {x} _{i}\right)-{\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}h\left(\mathbf {x} _{j}\right).}$

وبالتالي، يمكن حساب تحديث المجموعة من خلال تقييم دالة الملاحظة.${\displaystyle h}$على كل عضو من أعضاء المجموعة مرة واحدة والمصفوفة${\displaystyle H}$لا يلزم معرفتها صراحةً. تنطبق هذه الصيغة أيضًا ^{[ 9 ]} على دالة الملاحظة${\displaystyle h(\mathbf {x} )=H\mathbf {x+f} }$بإزاحة ثابتة${\displaystyle \mathbf {f} }$والتي لا يلزم معرفتها صراحةً أيضًا. وقد شاع استخدام الصيغة المذكورة أعلاه لدالة الملاحظة غير الخطية.${\displaystyle h}$، مثل موقع دوامة الإعصار . ^{[ 11 ]} في هذه الحالة، يتم تقريب دالة الملاحظة بشكل أساسي بواسطة دالة خطية من قيمها عند أعضاء المجموعة.

بالنسبة لعدد كبير${\displaystyle m}$من نقاط البيانات، الضرب في${\displaystyle P^{-1}}$يصبح الأمر بمثابة عنق زجاجة. الصيغة البديلة التالية مفيدة عندما يكون عدد نقاط البيانات${\displaystyle m}$تكون كبيرة (كما هو الحال عند استيعاب البيانات الشبكية أو بيانات البكسل) ومصفوفة تباين خطأ البيانات${\displaystyle R}$تكون قطرية (وهو الحال عندما تكون أخطاء البيانات غير مترابطة)، أو سهلة التفكيك (مثل التوزيع النطاقي بسبب محدودية مسافة التغاير). باستخدام صيغة شيرمان-موريسون-وودبري ^{[ 12 ]}

${\displaystyle (R+UV^{T})^{-1}=R^{-1}-R^{-1}U(I+V^{T}R^{-1}U)^{-1}V^{T}R^{-1},}$

مع

${\displaystyle U={\frac {1}{N-1}}HA,\quad V=HA,}$

أعطِ

${\displaystyle {\begin{aligned}P^{-1}&=\left(R+{\frac {1}{N-1}}HA\left(HA\right)^{T}\right)^{-1}\ =\\&=R^{-1}\left[I-{\frac {1}{N-1}}\left(HA\right)\left(I+\left(HA\right)^{T}R^{-1}{\frac {1}{N-1}}\left(HA\right)\right)^{-1}\left(HA\right)^{T}R^{-1}\right],\end{aligned}}}$

الأمر الذي يتطلب فقط حل الأنظمة ذات المصفوفة${\displaystyle R}$(بافتراض أنها رخيصة) ونظام بحجم${\displaystyle N}$مع${\displaystyle m}$الجانب الأيمن. انظر ^{[ 9 ]} لمعرفة عدد العمليات.