لعبة بلا قيمة

في النظرية الرياضية للألعاب ، وتحديداً في دراسة الألعاب المستمرة ذات المجموع الصفري ، لا تمتلك كل لعبة قيمة مينيمكس . هذه القيمة هي القيمة المتوقعة لأحد اللاعبين عندما يلعب كلاهما استراتيجية مثالية (وهي اختيار قيمة من دالة كثافة احتمالية معينة ).

تقدم هذه المقالة مثالاً على لعبة محصلتها صفر وليس لها قيمة . ويعود الفضل في ذلك إلى سيون وولف . ^{[ 1 ]}

من المعروف أن ألعاب المجموع الصفري ذات عدد محدود من الاستراتيجيات البحتة تمتلك قيمة مينيمكس (أثبتها جون فون نيومان في الأصل )، ولكن هذا ليس بالضرورة صحيحًا إذا كانت اللعبة تحتوي على مجموعة لا نهائية من الاستراتيجيات. فيما يلي مثال بسيط للعبة ليس لها قيمة مينيمكس.

إن وجود مثل هذه الألعاب ذات المجموع الصفري أمر مثير للاهتمام لأن العديد من نتائج نظرية الألعاب تصبح غير قابلة للتطبيق إذا لم تكن هناك قيمة مينيمكس.

يختار اللاعبان الأول والثاني أرقامًا${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$على التوالي، بين 0 و1. العائد للاعب الأول هو $${\displaystyle K(x,y)={\begin{cases}-1&{\text{إذا كان }}x<y<x+1/2,\\0&{\text{إذا كان }}x=y{\text{ أو }}y=x+1/2,\\1&{\text{فيما عدا ذلك.}}\end{cases}}}$$ أي بعد اتخاذ الخيارات، يدفع اللاعب الثاني${\displaystyle K(x,y)}$للاعب الأول (لذا فإن اللعبة هي لعبة محصلتها صفر ).

إذا كان الزوج${\displaystyle (x,y)}$إذا تم تفسيرها على أنها نقطة على المربع الواحد، فإن الشكل يوضح العائد للاعب الأول. يمكن للاعب الأول أن يتبنى استراتيجية مختلطة، حيث يختار رقمًا وفقًا لدالة كثافة الاحتمال (pdf).${\displaystyle f}$وبالمثل، يختار اللاعب الثاني من ملف PDF${\displaystyle g}$يسعى اللاعب الأول إلى تحقيق أقصى عائد ممكن.${\displaystyle K(x,y)}$، اللاعب الثاني لتقليل العائد، وكل لاعب على دراية بهدف الآخر.

يُظهر سيون وولف أن $${\displaystyle \sup _{f}\inf _{g}\iint K\,df\,dg={\frac {1}{3}}}$$ لكن $${\displaystyle \inf _{g}\sup _{f}\iint K\,df\,dg={\frac {3}{7}}.}$$ هذه هي التوقعات القصوى والدنيا لقيمة اللعبة بالنسبة للاعب الأول والثاني على التوالي.

ال${\displaystyle \sup }$و${\displaystyle \inf }$على التوالي، يتم حساب الحد الأعلى والحد الأدنى لدالة كثافة الاحتمال على الفترة [0، 1] (وهي في الواقع مقاييس احتمالية بوريل ). تمثل هذه القيم استراتيجيات اللاعب الأول واللاعب الثاني (المختلطة). بالتالي، يستطيع اللاعب الأول ضمان عائد لا يقل عن 3/7 إذا كان على دراية باستراتيجية اللاعب الثاني، بينما يستطيع اللاعب الثاني خفض العائد إلى 1/3 إذا كان على دراية باستراتيجية اللاعب الأول.

لا يوجد توازن إبسيلون لقيم صغيرة بما فيه الكفاية${\displaystyle \varepsilon }$على وجه التحديد، إذا${\displaystyle \varepsilon <{\frac {1}{2}}\left({\frac {3}{7}}-{\frac {1}{3}}\right)\simeq 0.0476}$يؤكد داسغوبتا وماسكين ^{[ 2 ]} أن قيم اللعبة تتحقق إذا وضع اللاعب الأول وزن الاحتمالية على المجموعة فقط.${\displaystyle \left\{0,1/2,1\right\}}$ويضع اللاعب الثاني وزنه فقط على${\displaystyle \left\{1/4,1/2,1\right\}}$.

تُظهر نظرية غليكسبرغ أن أي لعبة مجموعها صفر ذات دالة عائد شبه متصلة علوية أو سفلية لها قيمة (في هذا السياق، الدالة شبه المتصلة العلوية (السفلية) K هي دالة يكون فيها المجموعة${\displaystyle \{P\mid K(P)<c\}}$(على التوالي)${\displaystyle \{P\mid K(P)>c\}}$) مفتوح لأي عدد حقيقي c ). 

دالة العائد في مثال سيون وولف ليست شبه متصلة. مع ذلك، يمكن جعلها كذلك بتغيير قيمة K ( x , x ) و K ( x , x + 1/2) (العائد على طول نقطتي الانقطاع) إلى +1 أو -1، مما يجعل العائد شبه متصل من الأعلى أو من الأسفل، على التوالي. عندئذٍ، تصبح للعبة قيمة.     

يتناول العمل اللاحق لهوير ^{[ 3 ]} فئة من الألعاب التي يتم فيها تقسيم المربع الواحد إلى ثلاث مناطق، وتكون دالة العائد ثابتة في كل منطقة من المناطق.