حقل حقيقي رسمي

في الرياضيات ، وخاصة في نظرية الحقول والجبر الحقيقي ، الحقل الحقيقي شكليًا هو حقل يمكن تزويده بترتيب (ليس بالضرورة فريدًا) يجعله حقلًا مرتبًا .

التعريف المذكور أعلاه ليس تعريفًا من الدرجة الأولى ، لأنه يتطلب مُكمِّمات على المجموعات . مع ذلك، يمكن ترميز المعايير التالية على شكل جمل من الدرجة الأولى (عدد لا نهائي) في لغة الحقول، وهي مكافئة للتعريف المذكور أعلاه.

الحقل الحقيقي الرسمي F هو حقل يحقق إحدى الخصائص المتكافئة التالية: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

• -1 ليس مجموع مربعات في F. بعبارة أخرى، حقل F غير منتهٍ. (على وجه الخصوص، يجب أن يكون لهذا الحقل خاصية 0، لأنه في حقل ذي خاصية p، يكون العنصر -1 مجموع 1). يمكن التعبير عن ذلك في منطق الرتبة الأولى كما يلي:${\displaystyle \forall x_{1}(-1\neq x_{1}^{2})}$،${\displaystyle \forall x_{1}x_{2}(-1\neq x_{1}^{2}+x_{2}^{2})}$إلخ، مع جملة واحدة لكل عدد من المتغيرات.
• يوجد عنصر من F ليس مجموع مربعات في F ، والخاصية المميزة لـ F ليست 2.
• إذا كان مجموع مربعات عناصر F يساوي صفرًا، فإن كل عنصر من تلك العناصر يجب أن يكون صفرًا.

من السهل ملاحظة أن هذه الخصائص الثلاث متكافئة. ومن السهل أيضاً ملاحظة أن الحقل الذي يقبل ترتيباً ما يجب أن يستوفي هذه الخصائص الثلاث.

يُبرهن على أن F إذا حققت هذه الخصائص الثلاث، فإنها تقبل ترتيبًا، باستخدام مفهوم المخاريط الموجبة والمخاريط الموجبة. لنفترض أن -1 ليس مجموع مربعات؛ عندئذٍ، تُظهر حجة لِمَة زورن أن المخروط الموجب لمجموع المربعات يمكن تمديده إلى مخروط موجب P ⊆ F. يُستخدم هذا المخروط الموجب لتعريف ترتيب: a ≤ b إذا وفقط إذا كان b − a ينتمي إلى P. بما أن المخروط الموجب P ليس بالضرورة أن يكون وحيدًا، فإن الترتيب ليس بالضرورة أن يكون وحيدًا أيضًا.

الحقل الحقيقي شكليًا الذي لا يمتلك امتدادًا جبريًا حقيقيًا فعليًا هو حقل مغلق حقيقي . ^{[ 3 ]} إذا كان K حقلًا حقيقيًا شكليًا، وكان Ω حقلًا مغلقًا جبريًا يحتوي على K ، فإنه يوجد حقل فرعي مغلق حقيقي من Ω يحتوي على K. يمكن ترتيب الحقل المغلق الحقيقي بطريقة فريدة، ^{[ 3 ]} وتكون عناصره غير السالبة هي مربعات عناصره.

• حقل p-adic رسميًا

• ميلنور، جون ؛ هوسمولر، ديل (1973). الأشكال الثنائية الخطية المتناظرة . سبرينغر. ISBN 3-540-06009-X.
• راجواد، أ. ر. (1993). المربعات . سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية بلندن. المجلد  171. مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022 .