منحنى فراي

في الرياضيات ، يُعرف منحنى فراي أو منحنى فراي - هيليجوارش بأنه منحنى إهليلجي$${\displaystyle y^{2}=x(x-\alpha )(x+\beta )}$$ مرتبط بثلاثية ABC${\displaystyle \alpha +\beta =\gamma }$يربط هذا خصائص حلول المعادلات بالمنحنيات الإهليلجية. وقد شاع استخدام هذا المنحنى في تطبيقه على نظرية فيرما الأخيرة، حيث يتم دراسة حل (افتراضي) لمعادلة فيرما.

${\displaystyle a^{\ell }+b^{\ell }=c^{\ell }.}$

سُمّي المنحنى على اسم جيرهارد فراي و(أحيانًا) إيف هيليغوارش .

ابتكر إيف هيليغوارش ( 1975 ) فكرة ربط الحلول ${\displaystyle (a,b,c)}$معادلة فيرما مع كائن رياضي مختلف تمامًا: منحنى إهليلجي. ^{[ 1 ]} إذا كان ℓ عددًا أوليًا فرديًا ، و a و b و c أعدادًا صحيحة موجبة بحيث $${\displaystyle a^{\ell }+b^{\ell }=c^{\ell },}$$ عندئذٍ، يكون منحنى فراي المقابل منحنى جبريًا يُعطى بالمعادلة $${\displaystyle y^{2}=x(xa^{\ell })(x+b^{\ell }),}$$ أو، على نحو مماثل $${\displaystyle y^{2}=x(xa^{\ell })(xc^{\ell }).}$$ هذا منحنى جبري غير منفرد من النوع واحد معرف على Q ، وإكماله الإسقاطي هو منحنى إهليلجي على Q.

لفت غيرهارد فراي ( 1982 ) الانتباه إلى الخصائص غير المألوفة للمنحنى نفسه الذي رُصد له منحنى هيليغوارش، والذي أصبح يُعرف بمنحنى فراي. وقد شكّل هذا المنحنى جسراً بين نظريتي فيرما وتانياما، إذ أظهر أن وجود مثال مضاد لنظرية فيرما الأخيرة من شأنه أن يُنتج منحنىً غير نمطي. وقد حظيت هذه الفرضية باهتمام كبير عندما اقترح فراي (1986) أن فرضية تانياما-شيمورا-ويل تستلزم نظرية فيرما الأخيرة. ^{[ 2 ]} إلا أن حجته لم تكن مكتملة. ففي عام 1985، اقترح جان بيير سير أن منحنى فراي لا يمكن أن يكون نمطياً، وقدّم برهاناً جزئياً على ذلك. وأظهر هذا أن إثبات الحالة شبه المستقرة لفرضية تانياما-شيمورا يستلزم نظرية فيرما الأخيرة. لم يُقدّم سير برهاناً كاملاً، وأصبح ما كان مفقوداً يُعرف بفرضية إبسيلون أو فرضية ε. في صيف عام 1986، أثبت ريبيت (1990) حدسية إبسيلون، وبالتالي أثبت أن حدسية تانياما-شيمورا-ويل تستلزم نظرية فيرما الأخيرة. ^{[ 3 ]} 

• فراي، جيرهارد (1986)، "الروابط بين المنحنيات الإهليلجية المستقرة وبعض المعادلات الديوفانتية"، حوليات جامعة سرافيان، سلسلة الرياضيات ، 1 (1): iv+40، ISSN 0933-8268 ، MR 0853387  
• فري، غيرهارد (1982)، “Rationale Punkte auf Fermatkurven und getwisteten Modulkurven”، J. reine angew. الرياضيات. ، 331 : 185 – 191
• Hellegouarch، Yves (1975)، “Points d’ordre 2p ^h sur les courbes elliptiques” (PDF) ، Polska Akademia Nauk. معهد Matematyczny. اكتا أريثميتيكا ، 26 (3): 253-263 ، ISSN 0065-1036 ، السيد 0379507  
• Hellegouarch، Yves (2000)، “Rectificatif à l’article de H. Darmon intitulé  : “La Conjecture de Shimura-Taniyama-Weil est enfin démontré”" ، مجلة الرياضيات ، 83 ، الرقم الدولي الموحد للدوريات 0224-8999 ، مؤرشفة من الأصل في 4 فبراير 2012 ، تم استرجاعها في 2 يناير 2012 
• هيلجوارش، إيف (2002)، مدخل إلى رياضيات فيرما-وايلز ، بوسطن، ماساتشوستس: أكاديميك برس ، رقم ISBN 978-0-12-339251-0MR 1475927​ 
• ريبيت، كينيث أ. (1990)، "حول التمثيلات النمطية لـ Gal( Q /Q) الناشئة عن الأشكال النمطية"، Inventiones Mathematicae ، 100 (2): 431-476 ، Bibcode : 1990InMat.100..431R ، doi : 10.1007/BF01231195 ، hdl : 10338.dmlcz/147454 ، ISSN 0020-9910 ، MR 1047143 ، S2CID 120614740