الرياضيات الضبابية

الرياضيات الضبابية هي فرع من الرياضيات يوسع نظرية المجموعات الكلاسيكية والمنطق لنمذجة الاستدلال في ظل عدم اليقين. بدأ هذا المجال على يد لطفي عسكر زاده عام 1965 مع تقديمه للمجموعات الضبابية، ^{[ 1 ]} ومنذ ذلك الحين تطور ليشمل نظرية المجموعات الضبابية ، والمنطق الضبابي ، والعديد من النظائر الضبابية للهياكل الرياضية التقليدية .

بخلاف الرياضيات الكلاسيكية، التي تعتمد عادةً على الانتماء الثنائي (إما أن ينتمي العنصر إلى مجموعة أو لا ينتمي إليها)، تسمح الرياضيات الضبابية للعناصر بالانتماء الجزئي إلى مجموعة، حيث تُمثَّل درجات الانتماء بقيم في الفترة [0، 1]. يُمكّن هذا الإطار من نمذجة أكثر مرونة للمفاهيم غير الدقيقة أو الغامضة.

وجدت الرياضيات الضبابية تطبيقات في العديد من المجالات، بما في ذلك نظرية التحكم ، والذكاء الاصطناعي ، ونظرية القرار ، والتعرف على الأنماط ، واللغويات ، حيث يعد نمذجة التدرجات وعدم اليقين أمرًا ضروريًا.

تُعرَّف المجموعة الجزئية الضبابية A من المجموعة X بواسطة دالة A : X → L ، حيث L عادةً ما تكون الفترة [ 0 , 1]. تُسمى هذه الدالة دالة الانتماء للمجموعة الجزئية الضبابية، وتُسند لكل عنصر x في X درجة انتماء A ( x ) في المجموعة الضبابية A.

في نظرية المجموعات الكلاسيكية، يمكن تمثيل مجموعة جزئية من X بدالة مؤشر (تُعرف أيضًا بالدالة المميزة )، والتي تُسند إلى عناصرها إما 0 أو 1، مما يدل على عدم الانتماء أو الانتماء الكامل، على التوالي. تُعمم المجموعات الجزئية الضبابية هذا المفهوم بالسماح بأي قيمة حقيقية بين 0 و1، مما يُتيح الانتماء الجزئي.

وبشكل أكثر عمومية، يمكن استبدال المجال المشترك L لدالة الانتماء بأي شبكة كاملة ، مما يؤدي إلى الإطار الأوسع للمجموعات الضبابية L. ^{[ 2 ]}

يمكن تقسيم تطور التضبيب في الرياضيات بشكل عام إلى ثلاث مراحل تاريخية: ^{[ 3 ]}

1. عمليات التمويه الأولية والمباشرة (الستينيات - السبعينيات)،
2. توسع تقنيات التعميم (الثمانينيات)،
3. التوحيد القياسي، والوضع البديهي، والتشويش L (التسعينيات).

تتضمن عملية التضبيب عمومًا توسيع المفاهيم الرياضية الكلاسيكية من المنطق الثنائي (الدقيق)، حيث يتم تحديد العضوية بواسطة الدوال المميزة، إلى المنطق الضبابي، حيث يتم التعبير عن العضوية بواسطة القيم في الفترة [0، 1] عبر دوال العضوية.

لتكن A و B مجموعتين جزئيتين ضبابيتين من مجموعة X. تُعرَّف النسخ الضبابية للعمليات النظرية للمجموعات عادةً على النحو التالي:

$${\displaystyle (A\cap B)(x)=\min(A(x),B(x))}$$$${\displaystyle (A\cup B)(x)=\max(A(x),B(x))}$$

للجميع${\displaystyle x\in X}$يمكن تعميم هذه العمليات باستخدام المعايير t والمعايير t المشتركة ، على التوالي. ^{[ 4 ]} على سبيل المثال، يمكن استبدال عملية الحد الأدنى بعملية الضرب:

$${\displaystyle (A\cap B)(x)=A(x)\cdot B(x)}$$

يعتمد تحويل البنى الجبرية إلى بنى ضبابية في كثير من الأحيان على تعميم خاصية الإغلاق . لنفترض${\displaystyle *}$لتكن عملية ثنائية على X ، ولتكن A مجموعة جزئية ضبابية من X. يُقال إن A تحقق الإغلاق الضبابي إذا:

$${\displaystyle A(x*y)\geq \min(A(x),A(y))}$$ للجميع${\displaystyle x,y\in X}$.

لو${\displaystyle (G,*)}$إذا كانت G مجموعة ، فإن المجموعة الجزئية الضبابية A من G هي مجموعة جزئية ضبابية إذا:

$${\displaystyle A(x*y^{-1})\geq \min(A(x),A(y^{-1}))}$$ للجميع${\displaystyle x,y\in G}$.

تنطبق تعميمات مماثلة على الخصائص العلائقية. على سبيل المثال، بالنسبة لتضبيب خاصية التعدي ، فإن العلاقة الضبابية${\displaystyle R}$على${\displaystyle X}$(أي مجموعة فرعية ضبابية من${\displaystyle X\times X}$يُقال إن العبارة () متعدية ضبابية إذا:

$${\displaystyle R(x,z)\geq \min(R(x,y),R(y,z))}$$ للجميع${\displaystyle x,y,z\in X}$.

تم تقديم مفهومي المجموعات الفرعية الضبابية والمجموعات الفرعية الضبابية في عام 1971 بواسطة أ. روزنفيلد. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

تمّت ترجمة نظائر لمواضيع رياضية أخرى إلى الرياضيات الضبابية، مثل نظرية الحقول الضبابية ونظرية غالوا الضبابية ، ^{[ 8 ]} والطوبولوجيا الضبابية، ^{[ 9 ] [ 10 ]} والهندسة الضبابية، ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} والترتيبات الضبابية، ^{[ 15 ]} والرسوم البيانية الضبابية. ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

• نظرية القياس الضبابي
• الجبر الفرعي الضبابي
• منطق المعيار t أحادي الشكل
• نظرية الاحتمالية
• معيار T

• زاده، لوس أنجلوس: المنطق الضبابي - مقال على موقع Scholarpedia
• هاجيك، ب. المنطق الضبابي - مقال في موسوعة ستانفورد للفلسفة
• نافارا، م. المعايير المثلثية والمعايير المشتركة - مقالة في موسوعة سكولاربيديا
• دوبوا، د.، وبراد، هـ. نظرية الاحتمالية - مقالة في موسوعة سكولاربيديا
• مركز أبحاث الرياضيات الضبابية في مجال عدم اليقين ، مؤرشف بتاريخ ٢٩ يونيو ٢٠٠٩ على موقع Wayback Machine - موقع ويب مُستضاف في جامعة كريتون
• سيسينغ، ر.كتاب عن تاريخ النظرية الرياضية للمجموعات الضبابية: ضبابية الأنظمة. نشأة نظرية المجموعات الضبابية وتطبيقاتها الأولية - التطورات حتى سبعينيات القرن العشرين (دراسات في الضبابية والحوسبة المرنة، المجلد 216) برلين، نيويورك، [وآخرون]: سبرينغر 2007.