نموذج الشبكة الغاوسية

يوضح الشكل 2 رسمًا تخطيطيًا للشبكة المرنة المدروسة في نموذج الشبكة الغاوسية. تمثل الخرزات المعدنية العقد في هذه الشبكة الغاوسية (بقايا البروتين)، بينما تمثل النوابض الروابط بين العقد (التفاعلات التساهمية وغير التساهمية بين البقايا). بالنسبة للعقدتين ⁱ و j، يوضح الشكل 2 متجهات الموضع عند الاتزان، R₀i و R₀j ، ومتجه المسافة عند ^{الاتزان} ، R₀ij _{، ومتجهات} التذبذب اللحظي ^، ΔRᵢ _و ΔRⱼ ، ومتجه _{المسافة} اللحظي، _Rⱼ . تُعرَّف متجهات الموضع اللحظي لهاتين العقدتين بواسطة Rᵢ _{و Rⱼ .} ويُعطي الفرق بين متجه الموضع عند الاتزان ومتجه الموضع اللحظي للبقايا i متجه التذبذب _{اللحظي ،} ΔRᵢ = Rᵢ - _R₀i ^. وبالتالي، يتم التعبير عن متجه التذبذب اللحظي بين العقدتين i و j على النحو التالي: ΔR _ij = ΔR _j - ΔR _i = R _ij - R ⁰ _ij .

الطاقة الكامنة للشبكة بدلالة ΔR _i هي

${\displaystyle V_{GNM}={\frac {\gamma }{2}}\left[\sum _{i,j}^{N}(\Delta R_{j}-\Delta R_{i})^{2}\right]={\frac {\gamma }{2}}\left[\sum _{i,j}^{N}\Delta R_{i}\Gamma _{ij}\Delta R_{j}\right]}$

حيث γ هو ثابت قوة موحد لجميع النوابض، و Γ _ij هو العنصر ij من مصفوفة كيرشوف (أو مصفوفة الاتصال) للتلامسات بين البقايا، Γ ، المعرفة بواسطة

$\displaystyle \Gamma _{ij}=\left\{{\begin{matrix}-1,&{\mbox{if }}i\neq j&{\mbox{and }}R_{ij}\leq r_{c}\\0,&{\mbox{if }}i\neq j&{\mbox{and }}R_{ij}>r_{c}\\-\sum _{j,j\neq i}^{N}\Gamma _{ij},&{\mbox{if }}i=j\end{matrix}}\right.}$

r _c هي مسافة قطع للتفاعلات المكانية وتعتبر 7 أنجستروم لأزواج الأحماض الأمينية (الممثلة بذرات الكربون ألفا الخاصة بها).

بتعبير مركبات X و Y و Z لمتجهات التذبذب ΔR _i على النحو التالي: ΔX ^T = [ΔX ₁ ΔX ₂ ..... ΔX _N ]، ΔY ^T = [ΔY ₁ ΔY ₂ ..... ΔY _N ]، و ΔZ ^T = [ΔZ ₁ ΔZ ₂ ..... ΔZ _N ]، تُبسط المعادلة أعلاه إلى

${\displaystyle V_{GNM}={\frac {\gamma }{2}}[\Delta X^{T}\Gamma \Delta X+\Delta Y^{T}\Gamma \Delta Y+\Delta Z^{T}\Gamma \Delta Z]}$

في نموذج GNM، يكون التوزيع الاحتمالي لجميع التقلبات، P ( ΔR )، متجانسًا.

${\displaystyle P(\Delta R)=P(\Delta X,\Delta Y,\Delta Z)=p(\Delta X)p(\Delta Y)p(\Delta Z)}$

وغاوسي​

${\displaystyle p(\Delta X)\propto \exp \left\{-{\frac {\gamma }{2k_{B}T}}\Delta X^{T}\Gamma \Delta X\right\}=\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\Delta X^{T}\left({\frac {k_{B}T}{\gamma }}\Gamma ^{-1}\right)^{-1}\Delta X\right)\right\}}$

حيث k_{_B} هو ثابت بولتزمان و T هي درجة الحرارة المطلقة. يُعبَّر عن p ( ΔY ) و p ( ΔZ ) بشكل مماثل. دالة كثافة الاحتمال الغاوسية ذات الأبعاد N مع متجه المتغير العشوائي x ، ومتجه المتوسط ​​μ ، ومصفوفة التباين Σ هي

${\displaystyle W(x,\mu ,\Sigma )={\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{N}|\Sigma |}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}(x-\mu )^{T}\Sigma ^{-1}(x-\mu )\right\}}$

${\displaystyle {\sqrt {(2\pi )^{N}|\Sigma |}}}$يقوم بتطبيع التوزيع و |Σ| هو محدد مصفوفة التغاير .

على غرار التوزيع الغاوسي، يمكن التعبير عن التوزيع المعياري لـ ΔX ^T = [ΔX ₁ ΔX ₂ ..... ΔX _N ] حول مواضع التوازن على النحو التالي:

${\displaystyle p(\Delta X)={\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{N}{\frac {k_{B}T}{\gamma }}|\Gamma ^{-1}|}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\Delta X^{T}\left({\frac {k_{B}T}{\gamma }}\Gamma ^{-1}\right)^{-1}\Delta X\right)\right\}}$

ثابت التطبيع، وهو أيضًا دالة التقسيم Z _X ، يُعطى بواسطة

${\displaystyle Z_{X}=\int _{0}^{\infty }\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\Delta X^{T}\left({\frac {k_{B}T}{\gamma }}\Gamma ^{-1}\right)^{-1}\Delta X\right)\right\}d\Delta X}$

أين${\displaystyle {\frac {k_{B}T}{\gamma }}\Gamma ^{-1}}$_{في هذه الحالة ، تمثل Γ مصفوفة التغاير. ويتم التعبير عن ZY و} ZZ ^بشكل مماثل . تتطلب هذه الصيغة حساب معكوس مصفوفة كيرشوف. في نموذج GNM، يكون محدد مصفوفة كيرشوف صفرًا، لذا يتطلب حساب معكوسها تحليل القيم الذاتية . يتم إنشاء Γ⁻¹ باستخدام N⁻¹ من القيم الذاتية غير الصفرية والمتجهات الذاتية المرتبطة بها. تتشابه تعابير p ( ΔY ) و p ( ΔZ ) مع تعبير p ( ΔX ). يصبح توزيع الاحتمال لجميع التقلبات في نموذج GNM كما يلي:

${\displaystyle P(\Delta R)=p(\Delta X)p(\Delta Y)p(\Delta Z)={\frac {1}{{Z_{X}}{Z_{Y}}{Z_{Z}}}}\exp \left\{-{\frac {3}{2}}\left(\Delta X^{T}\left({\frac {k_{B}T}{\gamma }}\Gamma ^{-1}\right)^{-1}\Delta X\right)\right\}}$

بالنسبة لنظام الكتلة والنابض هذا، فإن ثابت التطبيع في التعبير السابق هو دالة التقسيم الكلية لـ GNM، Z _GNM ،

${\displaystyle Z_{GNM}={Z_{X}}{Z_{Y}}{Z_{Z}}={(2\pi )^{3N/2}{\Biggl |}{{\frac {k_{B}T}{\gamma }}{\Gamma ^{-1}}}{\Biggr |}}^{3/2}}$

يمكن تنظيم القيم المتوقعة لتقلبات البقايا، < ΔRᵢ² > (وتُسمى أيضًا تقلبات متوسط ​​المربعات، MSFs)، وارتباطاتها المتبادلة، < ΔRᵢ ^· ΔRⱼ _{> ،} على التوالي ، كعناصر قطرية وغير قطرية لمصفوفة التغاير. استنادًا إلى الميكانيكا الإحصائية، تُعطى مصفوفة التغاير لـ ΔX بالصيغة التالية _:

${\displaystyle <\Delta X\cdot \Delta X^{T}>=\int \Delta X\cdot \Delta X^{T}p(\Delta X)d\Delta X={\frac {k_{B}T}{\gamma }}\Gamma ^{-1}}$

تُستنتج المساواة الأخيرة بإدخال p( ΔX ) المذكورة أعلاه وأخذ التكامل (الغاوسي المعمم). بما أن،

${\displaystyle <\Delta X\cdot \Delta X^{T}>=<\Delta Y\cdot \Delta Y^{T}>=<\Delta Z\cdot \Delta Z^{T}>={\frac {1}{3}}<\Delta R\cdot \Delta R^{T}>}$

يتبع ذلك < ΔR _i ² > و < ΔR _i · ΔR _j >

${\displaystyle <\Delta R_{i}^{2}>={\frac {3k_{B}T}{\gamma }}(\Gamma ^{-1})_{ii}}$

${\displaystyle <\Delta R_{i}\cdot \Delta R_{j}>={\frac {3k_{B}T}{\gamma }}(\Gamma ^{-1})_{ij}}$

تُحدد الأنماط الطبيعية لنموذج الشبكة العامة (GNM) من خلال قطريّة مصفوفة كيرشوف، Γ = UΛU ^T. هنا، U هي مصفوفة وحدوية ، U ^T = U ⁻¹ ، للمتجهات الذاتية u _i لـ Γ، و Λ هي المصفوفة القطرية للقيم الذاتية λ _i . يُمثل تردد النمط وشكله بقيمته الذاتية ومتجهه الذاتي، على التوالي. بما أن مصفوفة كيرشوف شبه موجبة، فإن القيمة الذاتية الأولى، λ _​​1 ، تساوي صفرًا، وجميع عناصر المتجه الذاتي المقابل تساوي 1/ √N . هذا يُظهر أن نموذج الشبكة ثابت تحت الإزاحة.

يمكن كتابة الارتباطات المتبادلة بين تقلبات البقايا كمجموع على N-1 من الأنماط غير الصفرية كما يلي

${\displaystyle <\Delta R_{i}\cdot \Delta R_{j}>={\frac {3k_{B}T}{\gamma }}[U\Lambda ^{-1}U^{T}]_{ij}={\frac {3k_{B}T}{\gamma }}\sum _{k=1}^{N-1}\lambda _{k}^{-1}[u_{k}u_{k}^{T}]_{ij}}$

وبناءً على ذلك، فإن مساهمة كل نمط على حدة تُعبّر عنها بالصيغة التالية : [ ΔR _i · ΔR _{j ]}

${\displaystyle [\Delta R_{i}\cdot \Delta R_{j}]_{k}={\frac {3k_{B}T}{\gamma }}\lambda _{k}^{-1}[u_{k}]_{i}[u_{k}]_{j}}$

حيث [ u _k ] _i هو العنصر رقم i من u _k .

بحسب التعريف، فإن العنصر القطري لمصفوفة كيرشوف، Γ _ii ، يساوي درجة عقدة في GNM التي تمثل عدد التناسق للبقايا المقابلة . هذا العدد هو مقياس لكثافة التعبئة المحلية حول بقايا معينة. يمكن تقييم تأثير كثافة التعبئة المحلية من خلال توسيع متسلسلة مصفوفة Γ ⁻¹ . يمكن كتابة Γ كمجموع مصفوفتين، Γ = D + O ، تحتويان على العناصر القطرية والعناصر غير القطرية لـ Γ .

Γ ⁻¹ = ( D + O ) ⁻¹ = [ D ( I + D ⁻¹ O ) ] ⁻¹ = ( I + D ⁻¹ O ) ⁻¹ D ⁻¹ = ( I - D ⁻¹ O + ...) D ⁻¹ = D ⁻¹ - D ⁻¹ O D ⁻¹ + ...

يُظهر هذا التعبير أن كثافة التعبئة المحلية تُسهم إسهامًا كبيرًا في التقلبات المتوقعة للبقايا. ^{[ 5 ]} أما الحدود التي تلي معكوس المصفوفة القطرية، فهي مساهمات الارتباطات الموضعية في التقلبات المتوقعة.

يمكن قياس تقلبات التوازن للجزيئات البيولوجية تجريبيًا. في علم البلورات بالأشعة السينية، يُعد عامل B (المعروف أيضًا باسم عامل ديباي-والر أو عامل درجة الحرارة) لكل ذرة مقياسًا لمتوسط ​​مربع تقلبها بالقرب من موضع توازنها في البنية الأصلية. في تجارب الرنين المغناطيسي النووي، يمكن الحصول على هذا المقياس بحساب متوسط ​​الجذر التربيعي للفروق بين النماذج المختلفة. في العديد من التطبيقات والمنشورات، بما في ذلك المقالات الأصلية، تبين أن تقلبات البقايا المتوقعة التي تم الحصول عليها بواسطة نموذج الشبكة العصبية العامة (GNM) تتوافق بشكل جيد مع تقلبات الحالة الأصلية المقاسة تجريبيًا. ^{[ 6 ] [ 7 ]} العلاقة بين عوامل B، على سبيل المثال، وتقلبات البقايا المتوقعة التي تم الحصول عليها من نموذج الشبكة العصبية العامة (GNM) هي كما يلي

${\displaystyle B_{i}={\frac {8\pi ^{2}}{3}}<\Delta R_{i}\cdot \Delta R_{i}>={\frac {8\pi ^{2}k_{B}T}{\gamma }}(\Gamma ^{-1})_{ii}}$

يوضح الشكل 3 مثالاً على حساب GNM للمجال التحفيزي للبروتين Cdc25B، وهو فوسفاتاز ثنائي التخصص لدورة انقسام الخلية .

يُحلل تحليل مصفوفة كيرشوف إلى مصفوفة قطرية، مُفككًا الحركات التشكيلية إلى طيف من الأنماط الجماعية. تُستخلص القيم المتوقعة للتقلبات والارتباطات المتبادلة من التراكيب الخطية للتقلبات على طول هذه الأنماط الطبيعية. تتناسب مساهمة كل نمط عكسيًا مع تردده. وبالتالي، تُساهم الأنماط البطيئة (منخفضة التردد) بشكل أكبر في التقلبات المتوقعة. على طول الأنماط الأبطأ، تُظهر الحركات أنها جماعية وعالمية، وربما ذات صلة بوظائف الجزيئات الحيوية. من ناحية أخرى، تصف الأنماط السريعة (عالية التردد) حركات غير مترابطة لا تُحدث تغييرات ملحوظة في البنية. لا تُوفر الطرق القائمة على نموذج الشبكة العامة (GNM) ديناميكيات حقيقية، بل تُقدم تقريبًا يعتمد على دمج الأنماط الطبيعية واستيفائها. ^{[ 8 ]} وتعتمد قابليتها للتطبيق بشكل كبير على مدى جماعية الحركة. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

توجد عدة مجالات رئيسية أثبت فيها نموذج الشبكة الغاوسية ونماذج الشبكات المرنة الأخرى فائدتها. ^{[ 10 ]} وتشمل هذه المجالات ما يلي:

• نموذج الشبكة القائم على الخرز الزنبركي : في هذا النموذج، تُستخدم الزنبركات والخرزات كمكونات في الشبكة المتشابكة. تُربط الزنبركات لتمثيل السلوك الميكانيكي للمادة، ولتربط بين نموذج الديناميكا الجزيئية (MD) ونموذج العناصر المحدودة (FE) (انظر الشكل 5). تمثل الخرزات كتلة المادة لروابط التجمعات. يُستخدم كل زنبرك لتمثيل مجموعة من سلاسل البوليمر، بدلاً من جزء من سلسلة بوليمر واحدة. يُتيح هذا التبسيط الربط بين نماذج مختلفة على مستويات طول متعددة، ويُحسّن كفاءة المحاكاة بشكل ملحوظ. في كل خطوة تكرارية من المحاكاة، تُطبّق القوى في الزنبركات على العقد الموجودة في مركز الخرزات، ويتم حساب إزاحات العقد المتوازنة في جميع أنحاء النظام. على عكس طريقة العناصر المحدودة التقليدية لحساب الإجهاد والانفعال، يُوفّر نموذج الخرز الزنبركي إزاحات العقد والقوى في الزنبركات. يُمكن تعريف الانفعال المكافئ وطاقة الانفعال لنموذج الشبكة القائم على الخرز الزنبركي وحسابهما باستخدام إزاحات العقد وخصائص الزنبرك. علاوة على ذلك، يمكن توسيع نطاق نتائج نموذج الشبكة للحصول على الاستجابة الهيكلية على المستوى الكلي باستخدام تحليل العناصر المحدودة. ^{[ 11 ] [ 12 ]}
• تحلل المناطق والمجالات المرنة/الصلبة للبروتينات ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}
• توصيف الحركات الوظيفية والمواقع/البقايا المهمة وظيفيًا للبروتينات والإنزيمات والتجمعات الجزيئية الكبيرة ^{[ 16 ] [ 11 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}
• تحسين وديناميكيات البيانات الهيكلية منخفضة الدقة، على سبيل المثال المجهر الإلكتروني المبرد ^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]}
• الاستبدال الجزيئي لحل هياكل الأشعة السينية ، عندما يحدث تغيير في التكوين ، بالنسبة لهيكل معروف ^{[ 31 ]}
• التكامل مع النماذج والمحاكاة الذرية ^{[ 32 ] [ 33 ]}
• دراسة مسارات الطي/الفتح وحركياتها. ^{[ 34 ] [ 35 ]}
• شرح الآثار الوظيفية في التطور الجزيئي ^{[ 36 ] [ 37 ]}

• iGNM: قاعدة بيانات للحركات الوظيفية للبروتين تعتمد على GNM http://ignm.ccbb.pitt.edu ^{[ 39 ]}
• oGNM: حساب ديناميكيات الهياكل عبر الإنترنت باستخدام GNM https://web.archive.org/web/20070516042756/http://ignm.ccbb.pitt.edu/GNM_Online_Calculation.htm

• خادم الويب الخاص بنموذج الشبكة غير المتجانسة http://www.ccbb.pitt.edu/anm ^{[ 40 ]}
• elNemo: واجهة ويب لنموذج الشبكة المرنة (جميعها من نوع Atom) http://www.elnemo.org
• AD-ENM: تحليل ديناميكيات نموذج الشبكة المرنة ^{[ تمت إزالة الرابط ]}
• WEBnm@: خادم ويب لتحليل البروتينات في الوضع الطبيعي

• ProDy: An Application Programming Interface (API) in Python, that integrates GNM and ANM analyses and several molecular structure and sequence analyses and visualization tools: http://prody.csb.pitt.edu^[41][42]
• HingeProt: An algorithm for protein hinge prediction using elastic network models http://www.prc.boun.edu.tr/appserv/prc/hingeprot/, or http://bioinfo3d.cs.tau.ac.il/HingeProt/hingeprot.html
• DNABindProt: A Server for Determination of Potential DNA Binding Sites of Proteins http://www.prc.boun.edu.tr/appserv/prc/dnabindprot/
• MolMovDB: A database of macromolecular motions: http://www.molmovdb.org/