كثيرات حدود أبيل المعممة

في الرياضيات ، متتالية متعددة الحدود${\displaystyle \{p_{n}(z)\}}$يكون لها تمثيل أبيل معمّم إذا كانت الدالة المولدة لكثيرات الحدود تأخذ شكلاً معيناً:

${\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}$

حيث الدالة المولدة أو النواة${\displaystyle K(z,w)}$يتألف من سلسلة

${\displaystyle A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}w^{n}\quad }$مع${\displaystyle a_{0}\neq 0}$

و

${\displaystyle \Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}\quad }$وكل شيء${\displaystyle \Psi _{n}\neq 0}$

و

${\displaystyle g(w)=\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}w^{n}\quad }$مع${\displaystyle g_{1}\neq 0.}$

وبناءً على ما سبق، فليس من الصعب إثبات ذلك.${\displaystyle p_{n}(z)}$هي متعددة حدود من الدرجة${\displaystyle n}$.

تعد كثيرات حدود بواس-باك فئة أكثر عمومية من كثيرات الحدود.

• اختيار${\displaystyle g(w)=w}$يعطي فئة كثيرات حدود برينك .
• اختيار${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$ينتج عن ذلك متتالية شيفر من كثيرات الحدود، والتي تشمل كثيرات الحدود التفاضلية العامة ، مثل كثيرات حدود نيوتن .
• الخيار المشترك لـ${\displaystyle g(w)=w}$و${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$تعطي متتالية أبيل من كثيرات الحدود.

تتمتع كثيرات حدود أبيل المعممة بالتمثيل الصريح

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}z^{k}\Psi _{k}h_{k}.}$

الثابت هو

${\displaystyle h_{k}=\sum _{P}a_{j_{0}}g_{j_{1}}g_{j_{2}}\cdots g_{j_{k}}}$

حيث يمتد هذا المجموع على جميع تركيبات${\displaystyle n}$داخل${\displaystyle k+1}$الأجزاء؛ أي أن المجموع يمتد على جميع الأجزاء.${\displaystyle \{j\}}$بحيث

${\displaystyle j_{0}+j_{1}+\cdots +j_{k}=n.\,}$

بالنسبة لكثيرات حدود أبيل، تصبح هذه هي الصيغة

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{nk}z^{k}}{k!}}.}$

وبعبارة أخرى، شرط ضروري وكافٍ هو أن النواة${\displaystyle K(z,w)}$يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle A(w)\Psi (zg(w))}$مع${\displaystyle g_{1}=1}$هل هذا

${\displaystyle {\frac {\partial K(z,w)}{\partial w}}=c(w)K(z,w)+{\frac {zb(w)}{w}}{\frac {\partial K(z,w)}{\partial z}}}$

أين${\displaystyle b(w)}$و${\displaystyle c(w)}$سلسلة الطاقة

${\displaystyle b(w)={\frac {w}{g(w)}}{\frac {d}{dw}}g(w)=1+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n}}$

و

${\displaystyle c(w)={\frac {1}{A(w)}}{\frac {d}{dw}}A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{n}.}$

الاستبدال

${\displaystyle K(z,w)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}$

يعطي على الفور علاقة التكرار

$// {d}{dz}}p_{ك}(ض).}$

في الحالة الخاصة لكثيرات حدود برينك، يكون لدينا${\displaystyle g(w)=w}$وبالتالي كل${\displaystyle b_{n}=0}$مما يبسط علاقة التكرار بشكل كبير.

• كثيرات الحدود من نوع q-difference

• رالف ب. بواس الابن و ر. كريتون باك، توسعات متعددة الحدود للدوال التحليلية (الطبعة الثانية المصححة) ، (1964) دار النشر الأكاديمية، نيويورك، سبرينغر-فيرلاغ، برلين. رقم بطاقة مكتبة الكونغرس 63-23263.
• برينك، ويليام سي. (1945). "حول الدوال المولدة لأنظمة كثيرات الحدود". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 52 (6): 297-301 . doi : 10.2307/2305289 . JSTOR 2305289 . 
• هاف، دبليو إن (1947). "نوع كثيرات الحدود المولدة بواسطة f(xt) φ(t)". ​​مجلة ديوك الرياضية . 14 (4): 1091-1104 . doi : 10.1215/S0012-7094-47-01483-X .