توزيع ديريشلي المعمم

في الإحصاء ، يُعد توزيع ديريشلي المعمم ( GD ) تعميمًا لتوزيع ديريشلي ، يتميز ببنية تباين أكثر عمومية وعدد معلمات يقارب ضعف عدد معلمات ديريشلي. وتكون المتجهات العشوائية التي تخضع لتوزيع ديريشلي المعمم محايدة تمامًا . ^{[ 1 ]}

دالة الكثافة لـ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k-1}}$يكون

${\displaystyle \left[\prod _{i=1}^{k-1}B(a_{i},b_{i})\right]^{-1}p_{k}^{b_{k-1}-1}\prod _{i=1}^{k-1}\left[p_{i}^{a_{i}-1}\left(\sum _{j=i}^{k}p_{j}\right)^{b_{i-1}-(a_{i}+b_{i})}\right]}$

حيث نحدد${\textstyle p_{k}=1-\sum _{i=1}^{k-1}p_{i}}$. هنا${\displaystyle B(x,y)}$يرمز إلى دالة بيتا . ويختزل هذا إلى توزيع ديريشليه القياسي إذا${\displaystyle b_{i-1}=a_{i}+b_{i}}$ل${\displaystyle 2\leqslant i\leqslant k-1}$(${\displaystyle b_{0}}$(اعتباطي).

على سبيل المثال، إذا كانت k=4 ، فإن دالة الكثافة لـ${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3}}$يكون

${\displaystyle \left[\prod _{i=1}^{3}B(a_{i},b_{i})\right]^{-1}p_{1}^{a_{1}-1}p_{2}^{a_{2}-1}p_{3}^{a_{3}-1}p_{4}^{b_{3}-1}\left(p_{2}+p_{3}+p_{4}\right)^{b_{1}-\left(a_{2}+b_{2}\right)}\left(p_{3}+p_{4}\right)^{b_{2}-\left(a_{3}+b_{3}\right)}}$

أين${\displaystyle p_{1}+p_{2}+p_{3}<1}$و${\displaystyle p_{4}=1-p_{1}-p_{2}-p_{3}}$.

عرّف كونور وموسيمان دالة كثافة الاحتمال (PDF) على النحو الذي فعلاه للسبب التالي: تعريف المتغيرات العشوائية${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k-1}}$مع${\displaystyle z_{1}=p_{1},z_{2}=p_{2}/\left(1-p_{1}\right),z_{3}=p_{3}/\left(1-(p_{1}+p_{2})\right),\ldots ,z_{i}=p_{i}/\left(1-\left(p_{1}+\cdots +p_{i-1}\right)\right)}$. ثم${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}$إذا كان لدينا توزيع ديريشلي المعمم كما هو موضح أعلاه،${\displaystyle z_{i}}$هي بيتا مستقلة ذات معلمات${\displaystyle a_{i},b_{i}}$،${\displaystyle i=1,\ldots ,k-1}$.

يقدم وونغ ^{[ 2 ]} الصيغة الأكثر إيجازًا لـ${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{k}\leq 1}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}^{\alpha _{i}-1}\left(1-x_{1}-\cdots -x_{i}\right)^{\gamma _{i}}}{B(\alpha _{i},\beta _{i})}}}$

أين${\displaystyle \gamma _{j}=\beta _{j}-\alpha _{j+1}-\beta _{j+1}}$ل${\displaystyle 1\leq j\leq k-1}$و${\displaystyle \gamma _{k}=\beta _{k}-1}$لاحظ أن وونغ يُعرّف توزيعًا على${\displaystyle k}$الفضاء ذو ​​الأبعاد (الذي يُعرّف ضمنيًا${\textstyle x_{k+1}=1-\sum _{i=1}^{k}x_{i}}$) بينما يستخدم كونور وموسيمان${\displaystyle k-1}$فضاء متعدد الأبعاد مع${\textstyle x_{k}=1-\sum _{i=1}^{k-1}x_{i}}$.

لو${\displaystyle X=\left(X_{1},\ldots ,X_{k}\right)\sim GD_{k}\left(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k};\beta _{1},\ldots ,\beta _{k}\right)}$، ثم

${\displaystyle E\left[X_{1}^{r_{1}}X_{2}^{r_{2}}\cdots X_{k}^{r_{k}}\right]=\prod _{j=1}^{k}{\frac {\Gamma \left(\alpha _{j}+\beta _{j}\right)\Gamma \left(\alpha _{j}+r_{j}\right)\Gamma \left(\beta _{j}+\delta _{j}\right)}{\Gamma \left(\alpha _{j}\right)\Gamma \left(\beta _{j}\right)\Gamma \left(\alpha _{j}+\beta _{j}+r_{j}+\delta _{j}\right)}}}$

أين${\displaystyle \delta _{j}=r_{j+1}+r_{j+2}+\cdots +r_{k}}$ل${\displaystyle j=1,2,\cdots ,k-1}$و${\displaystyle \delta _{k}=0}$. هكذا

${\displaystyle E\left(X_{j}\right)={\frac {\alpha _{j}}{\alpha _{j}+\beta _{j}}}\prod _{m=1}^{j-1}{\frac {\beta _{m}}{\alpha _{m}+\beta _{m}}}.}$

كما ذكر أعلاه، إذا${\displaystyle b_{i-1}=a_{i}+b_{i}}$ل${\displaystyle 2\leq i\leq k}$عندئذٍ، يختزل التوزيع إلى توزيع ديريشليه القياسي. يختلف هذا الشرط عن الحالة المعتادة، حيث يؤدي ضبط المعاملات الإضافية للتوزيع المعمم على الصفر إلى الحصول على التوزيع الأصلي. مع ذلك، في حالة توزيع ديريشليه المعمم، ينتج عن ذلك دالة كثافة معقدة للغاية.

يفترض${\displaystyle X=\left(X_{1},\ldots ,X_{k}\right)\sim GD_{k}\left(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k};\beta _{1},\ldots ,\beta _{k}\right)}$هو ديريشليه معمّم، و${\displaystyle Y\mid X}$متعددة الحدود مع${\displaystyle n}$التجارب (هنا)${\displaystyle Y=\left(Y_{1},\ldots ,Y_{k}\right)}$). كتابة${\displaystyle Y_{j}=y_{j}}$ل${\displaystyle 1\leq j\leq k}$و${\textstyle y_{k+1}=n-\sum _{i=1}^{k}y_{i}}$المفصل الخلفي لـ${\displaystyle X|Y}$هو توزيع ديريشليه معمّم مع

${\displaystyle X\mid Y\sim GD_{k}\left({\alpha '}_{1},\ldots ,{\alpha '}_{k};{\beta '}_{1},\ldots ,{\beta '}_{k}\right)}$

أين${\displaystyle {\alpha '}_{j}=\alpha _{j}+y_{j}}$و${\displaystyle {\beta '}_{j}=\beta _{j}+\sum _{i=j+1}^{k+1}y_{i}}$ل${\displaystyle 1\leqslant j\leqslant k.}$

يقدم وونغ النظام التالي كمثال على كيفية اختلاف توزيعات ديريشليه وتوزيعات ديريشليه المعممة. يفترض أن جرة كبيرة تحتوي على كرات من${\displaystyle k+1}$ألوان مختلفة. نسبة كل لون غير معروفة. اكتب${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{k})}$نسبة الكرات الملونة${\displaystyle j}$في الجرة.

التجربة 1. يعتقد المحلل 1 أن${\displaystyle X\sim D(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k},\alpha _{k+1})}$(أي،${\displaystyle X}$دالة ديريشلي ذات المعاملات${\displaystyle \alpha _{i}}$ثم يقوم المحلل بـ${\displaystyle k+1}$صناديق زجاجية ويضع${\displaystyle \alpha _{i}}$كرات ملونة${\displaystyle i}$في الصندوق${\displaystyle i}$(يفترض أن${\displaystyle \alpha _{i}}$هي أعداد صحيحة${\displaystyle \geq 1}$ثم يقوم المحلل 1 بسحب كرة من الجرة، ويلاحظ لونها (قل اللون).${\displaystyle j}$) ويضعها في الصندوق${\displaystyle j}$يستطيع تحديد الصندوق الصحيح لأنه شفاف، وبالتالي تظهر ألوان الكرات الزجاجية بداخله. وتستمر العملية حتى${\displaystyle n}$تم سحب الكرات. وبالتالي فإن التوزيع الاحتمالي اللاحق هو توزيع ديريشليه، حيث تمثل المعلمات عدد الكرات في كل صندوق.

التجربة الثانية . يعتقد المحلل الثاني أن${\displaystyle X}$يتبع توزيع ديريشلي المعمم:${\displaystyle X\sim GD(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k};\beta _{1},\ldots ,\beta _{k})}$يُفترض مجدداً أن جميع المعاملات أعداد صحيحة موجبة. يقوم المحلل بـ${\displaystyle k+1}$صناديق خشبية. تحتوي الصناديق على قسمين: قسم للكرات وقسم للكرات الزجاجية. الكرات ملونة، أما الكرات الزجاجية فليست ملونة. ثم لـ${\displaystyle j=1,\ldots ,k}$، يضع${\displaystyle \alpha _{j}}$كرات ملونة${\displaystyle j}$، و${\displaystyle \beta _{j}}$كرات زجاجية، في الصندوق${\displaystyle j}$ثم يضع كرة من اللون${\displaystyle k+1}$في الصندوق${\displaystyle k+1}$ثم يسحب المحلل كرة من الجرة. ولأن الصناديق مصنوعة من الخشب، لا يستطيع المحلل تحديد الصندوق الذي يضع فيه الكرة (كما فعل في التجربة الأولى أعلاه)؛ كما أن ذاكرته ضعيفة ولا يتذكر لون الكرات في كل صندوق. عليه أن يكتشف الصندوق الصحيح. يفعل ذلك بفتح الصندوق الأول ومقارنة الكرات الموجودة فيه بالكرة المسحوبة. إذا اختلفت الألوان، فالصندوق خاطئ. يضع المحلل كرة زجاجية في الصندوق الأول ثم ينتقل إلى الصندوق الثاني. يكرر العملية حتى تتطابق الكرات في الصندوق مع الكرة المسحوبة، وعندها يضع الكرة في الصندوق مع الكرات الأخرى من نفس اللون. ثم يسحب المحلل كرة أخرى من الجرة ويكرر العملية حتى${\displaystyle n}$يتم سحب الكرات. ثم يتم تعميم التوزيع الاحتمالي اللاحق باستخدام دالة ديريشليه ذات المعاملات.${\displaystyle \alpha }$عدد الكرات، و${\displaystyle \beta }$عدد الكرات الزجاجية في كل صندوق.

لاحظ أنه في التجربة الثانية، كان لتغيير ترتيب الصناديق تأثير غير تافه، على عكس التجربة الأولى.

• توزيع ديريشليه متعدد الحدود
• نظرية لوكاش للاستقلال النسبي المجموع