المتتابعة الحسابية المعممة

في الرياضيات ، المتتابعة الحسابية المعممة (أو المتتابعة الحسابية المتعددة ) هي تعميم للمتتابعة الحسابية مزودة بفروق مشتركة متعددة - فبينما تُولّد المتتابعة الحسابية بفرق مشترك واحد، يمكن توليد المتتابعة الحسابية المعممة بفروق مشتركة متعددة. على سبيل المثال، المتتابعة${\displaystyle 17,20,22,23,25,26,27,28,29,\dots }$لا تُعدّ هذه متتالية حسابية، بل تُولّد بالبدء من العدد 17 وإضافة إما 3 أو 5، مما يسمح بتعدد الفروق المشتركة لتوليدها. تُعمّم المجموعة شبه الخطية هذه الفكرة لتشمل أبعادًا متعددة، فهي مجموعة من متجهات الأعداد الصحيحة، وليست مجموعة من الأعداد الصحيحة.

تُعرَّف المتتابعة الحسابية المعممة المحدودة ، أو أحيانًا المتتابعة الحسابية المعممة (GAP) ، ذات البعد d ، بأنها مجموعة من الشكل التالي: $${\displaystyle \{x_{0}+\ell _{1}x_{1}+\cdots +\ell _{d}x_{d}:0\leq \ell _{1}<L_{1},\ldots ,0\leq \ell _{d}<L_{d}\}}$$ أين${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{d},L_{1},\dots ,L_{d}\in \mathbb {Z} }$[ ^{1 ]} المنتج^​${\displaystyle L_{1}L_{2}\cdots L_{d}}$يُطلق على حجم المتتابعة الحسابية المعممة اسم حجم المتتابعة؛ وقد يختلف عدد عناصر المجموعة عن حجمها إذا كان لبعض عناصر المجموعة تمثيلات متعددة. إذا كان عدد العناصر يساوي حجم المتتابعة، تُسمى المتتابعة حسابية صحيحة . يمكن اعتبار المتتابعات الحسابية المعممة إسقاطًا لشبكة ذات أبعاد أعلى في${\displaystyle \mathbb {Z} }$يكون هذا الإسقاط أحاديًا إذا وفقط إذا كان المتتابع الحسابي المعمم صحيحًا.

بشكل رسمي، متتابعة حسابية من${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$هي متتالية لانهائية من الشكل${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {v} +\mathbf {v} ',\mathbf {v} +2\mathbf {v} ',\mathbf {v} +3\mathbf {v} ',\ldots }$، أين${\displaystyle \mathbf {v} }$و${\displaystyle \mathbf {v} '}$هي متجهات ثابتة في${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$، ويُطلق عليهما المتجه الأولي والفرق المشترك على التوالي. مجموعة فرعية من${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$يُقال إنها خطية إذا كانت على الشكل $${\displaystyle \left\{\mathbf {v} +\sum _{i=1}^{m}k_{i}\mathbf {v} _{i}\,\colon \,k_{1},\dots ,k_{m}\in \mathbb {N} \right\},}$$ أين${\displaystyle m}$هو عدد صحيح و${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{m}}$هي متجهات ثابتة في${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$مجموعة فرعية من${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$يقال إنها شبه خطية إذا كانت اتحادًا محدودًا لمجموعات خطية.

المجموعات شبه الخطية هي بالضبط المجموعات القابلة للتعريف في حساب بريسبرغر . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

• نظرية فريمان