حقل الجنس

في نظرية الأعداد الجبرية ، حقل الجنس${\displaystyle \Gamma (K)}$حقل عددي جبري${\displaystyle K}$هو الامتداد الأبلي الأقصى لـ${\displaystyle K}$والذي يتم الحصول عليه عن طريق تركيب حقل أبلي مطلق مع${\displaystyle K}$والتي لا تتفرع عند جميع الأعداد الأولية المنتهية لـ${\displaystyle K}$. رقم الجنس لـ${\displaystyle K}$هي الدرجة${\displaystyle [\Gamma (K):K]}$ومجموعة الأجناس هي مجموعة غالوا من${\displaystyle \Gamma (K)}$زيادة${\displaystyle K}$.

لو${\displaystyle K}$إذا كان حقل الجنس نفسه تبديليًا مطلقًا، فيمكن وصفه بأنه أقصى امتداد تبديلي مطلق لـ${\displaystyle K}$غير متفرعة عند جميع الأعداد الأولية المحدودة: تم استخدام هذا التعريف من قبل ليوبولد وهاس.

لو${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {m}})}$(${\displaystyle m}$(خالٍ من المربعات) هو حقل تربيعي مميز${\displaystyle D}$، مجال الجنس${\displaystyle K}$هو مجموعة من الحقول التربيعية. ليكن pᵢ _يمثل العوامل الأولية لـ${\displaystyle D}$لكل عدد أولي p ، عرّف p ^* على النحو التالي:

${\displaystyle p^{*}=\pm p\equiv 1{\pmod {4}}{\text{ إذا كان }}p{\text{ فرديًا}};}$

${\displaystyle 2^{*}=-4,8,-8{\text{ وفقًا لـ }}m\equiv 3{\pmod {4}},2{\pmod {8}},-2{\pmod {8}}.}$

إذن، حقل الجنس هو المركب${\displaystyle K({\sqrt {p_{i}^{*}}}).}$

• حقل فئة هيلبرت