حقل فئة هيلبرت

في نظرية الأعداد الجبرية ، حقل فئة هيلبرت${\displaystyle E}$حقل رقمي${\displaystyle K}$هو أقصى امتداد أبيلي غير متفرع لـ${\displaystyle K}$درجتها على${\displaystyle K}$يساوي رقم الفصل الدراسي لـ${\displaystyle K}$ومجموعة غالوا​${\displaystyle E}$زيادة${\displaystyle K}$متماثل قانونيًا مع مجموعة الفئات المثالية لـ${\displaystyle K}$استخدام عناصر فروبينيوس للمثاليّات الأولية في${\displaystyle K}$.

في هذا السياق، حقل فئة هيلبرت لـ${\displaystyle K}$لا يقتصر الأمر على عدم التفرع في الأماكن المحدودة (التفسير النظري الكلاسيكي المثالي)، بل يشمل أيضًا الأماكن اللانهائية لـ${\displaystyle K}$أي أن كل تضمين حقيقي لـ${\displaystyle K}$يمتد إلى تضمين حقيقي لـ${\displaystyle E}$بدلاً من تضمين معقد لـ${\displaystyle E}$.

• إذا كانت حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle K}$هو مجال تحليل فريد ، على وجه الخصوص إذا${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$، ثم${\displaystyle K}$وهو حقل من فئة هيلبرت خاص به.

• يترك${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-15}})}$، من التمييز${\displaystyle -15}$المجال${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {-3}},{\sqrt {5}})}$لديه تمييز${\displaystyle 225=(-15)^{2}}$وهكذا يكون امتدادًا غير متفرع في كل مكان لـ${\displaystyle K}$وهو تبديلي. باستخدام حد مينكوفسكي ، يمكن إثبات ذلك.${\displaystyle K}$لها رقم الفئة 2. وبالتالي، فإن حقل فئة هيلبرت الخاص بها هو${\displaystyle L}$. مثال غير رئيسي لـ${\displaystyle K}$يكون${\displaystyle (2,(1+{\sqrt {-15}})/2)}$وفي${\displaystyle L}$يصبح هذا هو المثال الرئيسي${\displaystyle ((1+{\sqrt {5}})/2)}$.

• المجال${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})}$لها رقم الفئة 3. يمكن تكوين حقل فئة هيلبرت الخاص بها عن طريق ضم جذر من${\displaystyle x^{3}-x-1}$، وهو ما ينطوي على تمييز${\displaystyle -23}$.

• لفهم سبب ضرورة أخذ التفرع عند الأعداد الأولية الأرخميدية في الاعتبار، انظر إلى الحقل التربيعي الحقيقي${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})}$تم الحصول عليها عن طريق ضم الجذر التربيعي لـ 3 إلى${\displaystyle \mathbb {Q} }$هذا الحقل له رقم الفئة 1 ومعامل التمييز 12. امتداده${\displaystyle K(i)}$لديه تمييز${\displaystyle 144=12^{2}}$[ ^{1 ]} وبالتالي فهي غير متفرعة على الإطلاق في جميع المُثُل الأولية ^في${\displaystyle K}$وهذا يعني أن${\displaystyle K}$يقبل امتدادات أبيلية منتهية من الدرجة الأكبر من 1 والتي تكون فيها جميع الأعداد الأولية المنتهية من${\displaystyle K}$غير متفرعة. وهذا لا يتعارض مع حقل فئات هيلبرت لـ${\displaystyle K}$كون${\displaystyle K}$نفسها: كل امتداد أبيلي محدود مناسب لـ${\displaystyle K}$لا بد أن تتفرع في مكان ما، وفي الامتداد${\displaystyle K(i)/K}$هناك تداعيات في المواقع الأرخميدية: التضمينات الحقيقية لـ${\displaystyle K}$يمكن توسيع نطاقها ليشمل التضمينات المعقدة (بدلاً من التضمينات الحقيقية) لـ${\displaystyle K(i)}$.

• وبالمثل، بالنسبة لـ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {6}})}$(رقم الفئة 1، المميز 24)، الامتداد${\displaystyle K({\sqrt {-2}},{\sqrt {-3}})}$لديه تمييز${\displaystyle 576=24^{2}}$[ ^{2 ] لذلك فهي غير متفرعة على الإطلاق} في جميع المُثُل الأولية في${\displaystyle K}$لكنها تفرعت في كلا المكانين الحقيقيين.

• بحسب نظرية الضرب المركب ، يتم توليد حقل فئة هيلبرت لحقل تربيعي تخيلي بواسطة قيمة الدالة النمطية الإهليلجية عند مولد حلقة الأعداد الصحيحة (كـ${\displaystyle \mathbb {Z} }$(وحدة نمطية).

وجود حقل فئة هيلبرت (ضيق) لحقل عددي معين${\displaystyle K}$تم التكهن بوجود حقل هيلبرت من قبل ديفيد هيلبرت ^{[ 3 ]} وأثبته فيليب فورتفانغلر ^{[ 4 ]} . يُعد وجود حقل هيلبرت أداة قيّمة في دراسة بنية مجموعة فئات المثالي لحقل معين.

حقل فئة هيلبرت${\displaystyle E}$كما أنه يفي بما يلي:

• ${\displaystyle E}$هو امتداد غالوا محدود لـ${\displaystyle K}$و${\displaystyle [E:K]=h_{k}}$، أين${\displaystyle h_{K}}$هو رقم الفصل الدراسي لـ${\displaystyle K}$.

• المجموعة الدراسية المثالية لـ${\displaystyle K}$متماثل مع مجموعة غالوا لـ${\displaystyle E}$زيادة${\displaystyle K}$.

• كل مُثُل​${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$يمتد إلى مثال رئيسي لتمديد الحلقة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{E}}$( نظرية المثالي الرئيسي ).

• كل مثال أولي${\displaystyle P}$ل${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$يتحلل إلى ناتج ${\displaystyle h_{K}/f}$المثل العليا في${\displaystyle {\mathcal {O}}_{E}}$، أين${\displaystyle f}$هو ترتيب​${\displaystyle [P]}$في المجموعة المثالية للفصل الدراسي من${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$.

في الحقيقة،${\displaystyle E}$هو الحقل الفريد الذي يحقق الخصائص الأولى والثانية والرابعة.

لو${\displaystyle K}$هي دالة تربيعية تخيلية و${\displaystyle A}$هو منحنى إهليلجي مع ضرب معقد بحلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle K}$ثم إلحاق الثابت j لـ${\displaystyle A}$ل${\displaystyle K}$يعطي حقل فئة هيلبرت. ^{[ 5 ]}

في نظرية حقول الفئات ، يُدرس حقل فئات الأشعة بالنسبة إلى معامل مُعطى ، وهو حاصل ضرب صوري لمثاليّات أولية (بما في ذلك، ربما، مثاليّات أرخميدية). حقل فئات الأشعة هو الامتداد الأبلي الأقصى غير المتفرع خارج الأعداد الأولية التي تقسم المعامل، والذي يُحقق شرط تفرع مُحدد عند هذه الأعداد. بالتالي، فإن حقل فئات هيلبرت هو حقل فئات الأشعة بالنسبة إلى المعامل التافه 1 .

حقل الفئات الضيقة هو حقل فئات الأشعة بالنسبة للمعامل، ويتكون من جميع الأعداد الأولية اللانهائية. على سبيل المثال، توضح الحجة أعلاه أن${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}},i)}$هو مجال الفئة الضيقة لـ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}})}$.

تتضمن هذه المقالة مواد من Existence of Hilbert class field على موقع PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .