تحلل غوردون

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 59 صور
الموسوعة الحرة

في الفيزياء الرياضية ، يُعرف تحليل غوردون [ 1 ] (نسبةً إلى والتر غوردون ) لتيار ديراك بأنه تقسيم لتيار الشحنة أو عدد الجسيمات إلى جزء ينشأ عن حركة مركز كتلة الجسيمات، وجزء آخر ينشأ عن تدرجات كثافة اللف المغزلي. ويعتمد هذا التحليل صراحةً على معادلة ديراك ، لذا فهو ينطبق فقط على حلول معادلة ديراك "على الغلاف".

البيان الأصلي

لأي حلψ{\displaystyle \psi }من معادلة ديراك الضخمة،

(أناγμ∇μ-م)ψ=0،{\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi =0,}

التيار العددي المتغير لورنتزجμ=ψ¯γμψ{\displaystyle j^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi } يمكن التعبير عنها على النحو التالي

ψ¯γμψ=أنا2م(ψ¯∇μψ-(∇μψ¯)ψ)+1م∂ν(ψ¯Σμνψ)،{\displaystyle {\bar {\psi}}\gamma ^{\mu }\psi ={\frac {i}{2m}}({\bar {\psi }}\nabla ^{\mu }\psi -(\nabla ^{\mu }{\bar {\psi }})\psi )+{\frac {1}{m}}\partial _{\nu}({\bar {\psi) }}\سيجما ^{\mu \nu }\psi ),}

أين

Σμν=أنا4[γμ،γν]{\displaystyle \Sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]}

هو مولد السبينور لتحويلات لورنتز ، و

ψ¯=ψ†γ0{\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}

هو المرافق الديراكي .

النسخة المقابلة في فضاء الزخم لحلول الموجة المستويةu(ص){\displaystyle u(p)}وu¯(ص′){\displaystyle {\bar {u}}(p')}الطاعة

(γμصμ-م)u(ص)=0{\displaystyle (\gamma ^{\mu }p_{\mu }-m)u(p)=0}
u¯(ص′)(γμصμ′-م)=0،{\displaystyle {\bar {u}}(p')(\gamma ^{\mu }p'_{\mu }-m)=0,}

يكون

u¯(ص′)γμu(ص)=u¯(ص′)[(ص+ص′)μ2م+أناσμν(ص′-ص)ν2م]u(ص) ،{\displaystyle {\bar {u}}(p')\gamma ^{\mu }u(p)={\bar {u}}(p')\left[{\frac {(p+p')^{\mu }}{2m}}+i\sigma ^{\mu \nu }{\frac {(p'-p)_{\nu }}{2m}}\right]u(p)~,}

أين

σμν=2Σμν.{\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }=2\Sigma ^{\mu \nu }.}

دليل

يتضح من معادلة ديراك أن

ψ¯γμ(مψ)=ψ¯γμ(أناγν∇νψ){\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }(m\psi )={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }(i\gamma ^{\nu }\nabla _{\nu }\psi )}

ومن المرافق لمعادلة ديراك،

(ψ¯م)γμψ=((∇νψ¯)(-أناγν))γμψ.{\displaystyle ({\bar {\psi }}m)\gamma ^{\mu }\psi =((\nabla _{\nu }{\bar {\psi }})(-i\gamma ^{\nu }))\gamma ^{\mu }\psi .}

بجمع هاتين المعادلتين نحصل على

ψ¯γμψ=أنا2م(ψ¯γμγν∇νψ-(∇νψ¯)γνγμψ).{\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi ={\frac {i}{2m}}({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\nabla _{\nu }\psi -(\nabla _{\nu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\psi ).}

انطلاقاً من جبر ديراك ، يمكن إثبات أن مصفوفات ديراك تحقق

γμγν=ημν-أناσμν=ηνμ+أناσνμ.{\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }=\eta ^{\mu \nu }-i\sigma ^{\mu \nu }=\eta ^{\nu \mu }+i\sigma ^{\nu \mu }.}

باستخدام هذه العلاقة،

ψ¯γμψ=أنا2م(ψ¯(ημν-أناσμν)∇νψ-(∇νψ¯)(ημν+أناσμν)ψ)،{\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi ={\frac {i}{2m}}({\bar {\psi }}(\eta ^{\mu \nu }-i\sigma ^{\mu \nu })\nabla _{\nu }\psi -(\nabla _{\nu }{\bar {\psi }})(\eta ^{\mu \nu }+i\sigma ^{\mu \nu })\psi )،}

وهو ما يعادل مجرد تحليل غوردون، بعد بعض العمليات الجبرية.

جدوى

الجزء الثاني من التيار، الذي يعتمد على اللف المغزلي، والمرتبط بمجال الفوتون،-أμجμ{\displaystyle -A_{\mu }j^{\mu }}ينتج عنه، حتى تباين كلي لا يُذكر،

-هـℏ2مج∂νأμψ¯σνμψ=-هـℏ2مج12Fμνψ¯σμνψ،{\displaystyle -{\frac {e\hbar }{2mc}}\partial _{\nu }A_{\mu }{\bar {\psi }}\sigma ^{\nu \mu }\psi =-{\frac {e\hbar }{2mc}}{\tfrac {1}{2}}F_{\mu \nu }{\bar {\psi }}\sigma ^{\mu \nu }\psi ,}

أي مصطلح عزم باولي الفعال ،-(هـℏ/2مج)ب→⋅ψ†σ→ψ{\displaystyle -(e\hbar /2mc){\vec {B}}\cdot \psi ^{\dagger }{\vec {\sigma }}\psi }.

تعميم بلا كتلة

يتطلب هذا التفكيك للتيار إلى تدفق عدد الجسيمات (الحد الأول) ومساهمة اللف المغزلي المقيد (الحد الثاني)م≠0{\displaystyle m\neq 0}.

إذا افترضنا أن الحل المعطى له طاقةهـ=|ك|2+م2{\textstyle E={\sqrt {|{\mathbf {k} }|^{2}+m^{2}}}}لهذا السبب.ψ(ر،ت)=ψ(ر)هـ-أناهـت{\textstyle \psi (\mathbf {r} ,t)=\psi ({\mathbf {r} })e^{-iEt}}[ 2 ] قد يحصل المرء على تحليل صالح لكل من الحالات ذات الكتلة والحالات عديمة الكتلة.

باستخدام معادلة ديراك مرة أخرى، نجد أن

ج≡هـψ¯γψ=هـ2أناهـ(ψ†∇ψ-(∇ψ†)ψ)+هـهـ(∇×S).{\displaystyle {\mathbf {j} }\equiv e{\bar {\psi }}{\boldsymbol {\gamma }}\psi ={\frac {e}{2iE}}\left(\psi ^{\dagger }\nabla \psi -(\nabla \psi ^{\dagger })\psi \right)+{\frac {e}{E}}(\nabla \times {\mathbf {S} }).}

هناγ=(γ1،γ2،γ3){\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}=(\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3})}، و S=ψ†S^ψ{\displaystyle {\mathbf {S} }=\psi ^{\dagger }{\hat {\mathbf {S} }}\psi } مع (S^x،S^y،S^z)=(Σ23،Σ31،Σ12)،{\displaystyle ({\hat {S}}_{x},{\hat {S}}_{y},{\hat {S}}_{z})=(\Sigma ^{23},\Sigma ^{31},\Sigma ^{12}),} لهذا السبب.

S^=12[σ00σ]،{\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}={\frac {1}{2}}\left[{\begin{matrix}{\boldsymbol {\sigma }}&0\\0&{\boldsymbol {\sigma }}\end{matrix}}\right],}

أينσ=(σx،σy،σz){\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}هو متجه مصفوفات باولي .

مع تحديد كثافة عدد الجسيمات بواسطةρ=ψ†ψ{\displaystyle \rho =\psi ^{\dagger }\psi }وبالنسبة لحل الموجة المستوية شبه الكاملة ذات الامتداد المحدود، يمكن تفسير الحد الأول في التحليل على أنه التيارجورهـهـ=هـρك/هـ=هـρv{\displaystyle {\mathbf {j} }_{\rm {free}}=e\rho {\mathbf {k} }/E=e\rho {\mathbf {v} }}بسبب حركة الجسيمات بسرعةv=ك/هـ{\displaystyle {\mathbf {v} }={\mathbf {k} }/E}.

الفصل الدراسي الثاني،جبouند=(هـ/هـ)∇×S{\displaystyle {\mathbf {j} }_{\rm {bound}}=(e/E)\nabla \times {\mathbf {S} }}يمثل التيار الناتج عن تدرجات كثافة العزم المغناطيسي الذاتي . ويُحسب العزم المغناطيسي نفسه عن طريق التكامل بالتجزئة لإثبات ذلك.

μ=12∫ر×جبouندد3x=12∫ر×(هـهـ∇×S)د3x=هـهـ∫Sد3x .{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}{\stackrel {\rm {}}{=}}{\frac {1}{2}}\int {\mathbf {r} }\times {\mathbf {j} }_{\rm {bound}}\,d^{3}x={\frac {1}{2}}\int {\mathbf {r} }\times \left({\frac {e}{E}}\nabla \times {\mathbf {S} }\right)\,d^{3}x={\frac {e}{E}}\int {\mathbf {S} }\,d^{3}x~.}

بالنسبة لجسيم ضخم واحد في إطار سكونه ، حيثهـ=م{\displaystyle E=m}، ينخفض ​​العزم المغناطيسي إلى

μدأنارأج=(هـم)S=(هـز2م)S.{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\rm {Dirac}}=\left({\frac {e}{m}}\right){\mathbf {S} }=\left({\frac {eg}{2m}}\right){\mathbf {S} }.}

أين|S|=ℏ/2{\displaystyle |{\mathbf {S} }|=\hbar /2}وز=2{\displaystyle g=2}هي قيمة ديراك للنسبة المغناطيسية الدورانية .

بالنسبة لجسيم واحد عديم الكتلة يخضع لمعادلة فايل اليمنى ، فإن اللف المغزلي 1/2 يكون مرتبطًا بالاتجاهك^{\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}يصبح عزمها الحركي والعزم المغناطيسي [ 3 ]

μدبليوهـyل=(هـهـ)ℏك^2.{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\rm {Weyl}}=\left({\frac {e}{E}}\right){\frac {\hbar {\hat {\mathbf {k} }}}{2}}.}

كثافة الزخم الزاوي

في كلتا الحالتين، سواء كانت الكتلة كبيرة أو معدومة، يوجد أيضًا تعبير عن كثافة الزخم كجزء من موتر الإجهاد والطاقة المتناظر لبيلينفانتي-روزنفيلد

تيبRμν=أنا4(ψ¯γμ∇νψ-(∇νψ¯)γμψ+ψ¯γν∇μψ-(∇μψ¯)γνψ).{\displaystyle T_{\rm {BR}}^{\mu \nu }={\frac {i}{4}}({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\nabla ^{\nu }\psi -(\nabla ^{\nu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\mu }\psi +{\bar {\psi }}\gamma ^{\nu }\nabla ^{\mu }\psi -(\nabla ^{\mu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\nu }\psi ).}

باستخدام معادلة ديراك، يمكن إجراء التقييمتيبR0μ=(هـ،P){\displaystyle T_{\rm {BR}}^{0\mu }=({\mathcal {E}},{\mathbf {P} })}لإيجاد كثافة الطاقة التيهـ=هـψ†ψ{\displaystyle {\mathcal {E}}=E\psi ^{\dagger }\psi }وكثافة الزخم،

P=12أنا(ψ†(∇ψ)-(∇ψ†)ψ)+12∇×S.{\displaystyle {\mathbf {P} }={\frac {1}{2i}}\left(\psi ^{\dagger }(\nabla \psi )-(\nabla \psi ^{\dagger })\psi \right)+{\frac {1}{2}}\nabla \times {\mathbf {S} }.}

إذا استخدم المرء موتر الطاقة-الزخم الكنسي غير المتناظر

تيجأنoنأناجألμν=أنا2(ψ¯γμ∇νψ-(∇νψ¯)γμψ)،{\displaystyle T_{\rm {canonical}}^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\nabla ^{\nu }\psi -(\nabla ^{\nu }{\bar {\psi }})\gamma ^{\mu }\psi ),}

لن يجد المرء مساهمة الزخم الدوراني المقيد.

وبإجراء التكامل بالتجزئة، نجد أن مساهمة الدوران في الزخم الزاوي الكلي هي

∫ر×(12∇×S)د3x=∫Sد3x.{\displaystyle \int {\mathbf {r} }\times \left({\frac {1}{2}}\nabla \times {\mathbf {S} }\right)\,d^{3}x=\int {\mathbf {S} }\,d^{3}x.}

هذا هو المتوقع، لذا فإن القسمة على 2 في مساهمة الدوران في كثافة الزخم ضرورية. ويعكس غياب القسمة على 2 في صيغة التيار...ز=2{\displaystyle g=2}النسبة المغناطيسية الدورانية للإلكترون. بعبارة أخرى، يكون تدرج كثافة اللف المغزلي أكثر فعالية بمرتين في توليد تيار كهربائي مقارنةً بمساهمته في الزخم الخطي.

الدوران في معادلات ماكسويل

انطلاقاً من الشكل المتجهي لريمان-سيلبرشتاين لمعادلات ماكسويل ، يستخدم مايكل بيري [ 4 ] استراتيجية جوردون للحصول على تعبيرات ثابتة القياس لكثافة الزخم الزاوي الدوراني الجوهري لحلول معادلات ماكسويل .

يفترض أن الحلول أحادية اللون ويستخدم تعابير الطور.هـ=هـ(ر)هـ-أناωت{\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} (\mathbf {r} )e^{-i\omega t}}،ح=ح(ر)هـ-أناωت{\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} (\mathbf {r} )e^{-i\omega t}}يُعطى المتوسط ​​الزمني لكثافة زخم متجه بوينتينغ بالعلاقة التالية:⟨P⟩=14ج2[هـ*×ح+هـ×ح*]=ϵ04أناω[هـ*⋅(∇هـ)-(∇هـ*)⋅هـ+∇×(هـ*×هـ)]=μ04أناω[ح*⋅(∇ح)-(∇ح*)⋅ح+∇×(ح*×ح)].{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {P} \rangle &={\frac {1}{4c^{2}}}[{\mathbf {E} }^{*}\times {\mathbf {H} }+{\mathbf {E} }\times {\mathbf {H} }^{*}]\\&={\frac {\epsilon _{0}}{4i\omega }}[{\mathbf {E} }^{*}\cdot (\nabla {\mathbf {E} })-(\nabla {\mathbf {E} }^{*})\cdot {\mathbf {E} }+\nabla \times ({\mathbf {E} }^{*}\times {\mathbf {E} })]\\&={\frac {\mu _{0}}{4i\omega }}[{\mathbf {H} }^{*}\cdot (\nabla {\mathbf {H} })-(\nabla {\mathbf {H} }^{*})\cdot {\mathbf {H} }+\nabla \times ({\mathbf {H} }^{*}\times {\mathbf {H} })].\end{aligned}}} لقد استخدمنا معادلات ماكسويل في الانتقال من السطر الأول إلى السطرين الثاني والثالث، وفي تعبيرات مثل:ح*⋅(∇ح){\displaystyle {\mathbf {H} }^{*}\cdot (\nabla {\mathbf {H} })}يكون الضرب القياسي بين الحقول بحيث يتم تحديد خاصية المتجه بواسطة∇{\displaystyle \nabla }.

مثل Pطفل صغير=Pحر+Pمرتبط ب،{\displaystyle \mathbf {P} _{\text{tot}}=\mathbf {P} _{\text{free}}+{\mathbf {P} }_{\text{bound}},} وبالنسبة لسائل ذي كثافة زخم زاوي جوهريS{\displaystyle \mathbf {S} }لدينا Pمرتبط ب=12∇×S،{\displaystyle \mathbf {P} _{\text{bound}}={\frac {1}{2}}\nabla \times \mathbf {S} ,} تشير هذه الهويات إلى أنه يمكن تحديد كثافة اللف المغزلي على أنها إما S=μ02أناωح*×ح{\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {\mu _{0}}{2i\omega }}{\mathbf {H} }^{*}\times {\mathbf {H} }} أو S=ϵ02أناωهـ*×هـ.{\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {\epsilon _{0}}{2i\omega }}{\mathbf {E} }^{*}\times {\mathbf {E} }.} يتطابق التحليلان عندما يكون المجال شبه محوري. كما يتطابقان أيضًا عندما يكون المجال حالة حلزونية خالصة - أي عندماهـ=أناσجب{\displaystyle {\mathbf {E} }=i\sigma c{\mathbf {B} }}حيث الحلزونيةσ{\displaystyle \sigma }يأخذ القيم±1{\displaystyle \pm 1}بالنسبة للضوء المستقطب دائريًا يمينًا أو يسارًا على التوالي. وفي حالات أخرى، قد يختلف الأمر.

مراجع

  1. ^ دبليو جوردون (1928). "دير ستروم دير ديراكسشن إليكترونينثيوري". Z. فيز . 50 ( 9– 10): 630– 632. بيب كود : 1928ZPhy...50..630G . دوى : 10.1007/BF01327881 . S2CID 119835942 . 
  2. ↑ م. ستون (2015). "طور بيري والسرعة الشاذة لفيرميونات فايل وفوتونات ماكسويل". المجلة الدولية للفيزياء الحديثة ب . 30 (2): 1550249. arXiv : 1507.01807 . doi : 10.1142/S0217979215502495 . S2CID 55765299 . 
  3. ↑ DTSon, N.Yamamoto (2013). "النظرية الحركية مع انحناء بيري من نظريات الحقل الكمومي". Physical Review D. 87 ( 8) 085016. arXiv : 1210.8158 . Bibcode : 2013PhRvD..87h5016S . doi : 10.1103/PhysRevD.87.085016 . S2CID 118743364 . 
  4. ↑ إم في بيري (2009). "التيارات الضوئية". مجلة البصريات أ . 11 (9): 094001 (12 صفحة). رمز Bibcode : 2009JOptA..11i4001B . doi : 10.1088/1464-4258/11/9/094001 .