بنية هيفليجر

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 37 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات، يعتبر هيكل هافليجر على فضاء طوبولوجي تعميمًا لتوريق متعدد الشعب ، والذي قدمه أندريه هافليجر في عام 1970. [ 1 ] [ 2 ] أي توريق على متعدد الشعب يؤدي إلى نوع خاص من هيكل هافليجر، والذي يحدد التوريق بشكل فريد.

تعريف

بُعد مشترك-q{\displaystyle q}بنية هافليجر على فضاء طوبولوجيX{\displaystyle X}يتكون من البيانات التالية:

بحيث تكون الخرائط المتصلةΨαβ:x↦زهـرمx(ψαβx){\displaystyle \Psi _{\alpha \beta }:x\mapsto \mathrm {germ} _{x}(\psi _{\alpha \beta }^{x})}منيوα∩يوβ{\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}إلى حزمة من بذور التحولات الموضعية لـRq{\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}استيفاء شرط الدورة الواحدة

Ψγα(u)=Ψγβ(u)Ψβα(u){\displaystyle \displaystyle \Psi _{\gamma \alpha }(u)=\Psi _{\gamma \beta }(u)\Psi _{\beta \alpha }(u)}لu∈يوα∩يوβ∩يوγ.{\displaystyle u\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\gamma }.}

الدورة المشتركةΨαβ{\displaystyle \Psi _{\alpha \beta }}ويُطلق عليه أيضاً اسم دورة هافليجر المشتركة .

وبشكل عام،جر{\displaystyle {\mathcal {C}}^{r}}يتم تعريف هياكل هافليجر الخطية القطعية والتحليلية والمتصلة عن طريق استبدال حزم جراثيم التشاكلات الملساء بالحزم المناسبة.

أمثلة وتركيبات

التراجعات

تتمثل إحدى مزايا هياكل هافليجر على التوريقات في أنها مغلقة تحت تأثير عمليات السحب العكسي . وبشكل أدق، بالنظر إلى هيكل هافليجر علىX{\displaystyle X}، مُعرَّفة بواسطة دورة هافليجرΨαβ{\displaystyle \Psi _{\alpha \beta }}وخريطة متصلةو:Y→X{\displaystyle f:Y\to X}، بنية هافليجر للتراجع علىY{\displaystyle Y}يتم تعريفها من خلال الغطاء المفتوحو-1(يوα){\displaystyle f^{-1}(U_{\alpha })}والدورة المشتركةΨαβ∘و{\displaystyle \Psi _{\alpha \beta }\circ f}. كحالات خاصة، نحصل على الإنشاءات التالية:

  • بالنظر إلى بنية هافليجر علىX{\displaystyle X}وفضاء فرعيY⊆X{\displaystyle Y\subseteq X}، تقييد بنية هافليجر إلىY{\displaystyle Y}هي بنية هافليجر للسحب الخلفي فيما يتعلق بالتضمينY↪X{\displaystyle Y\hookrightarrow X}
  • بالنظر إلى بنية هافليجر علىX{\displaystyle X}ومساحة أخرىY{\displaystyle Y}، ناتج بنية هافليجر معY{\displaystyle Y}هي بنية هافليجر المتراجعة بالنسبة للإسقاطX×Y→X{\displaystyle X\times Y\to X}

التورق

تذكر أن البُعد المشترك-q{\displaystyle q}يمكن تحديد التورق على مشعب أملس من خلال تغطية منX{\displaystyle X}بواسطة المجموعات المفتوحةيوα{\displaystyle U_{\alpha }}بالإضافة إلى الغمرϕα{\displaystyle \phi _{\alpha }}من كل مجموعة مفتوحةيوα{\displaystyle U_{\alpha }}لRq{\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}بحيث يكون لكلα،β{\displaystyle \alpha ,\beta }توجد خريطةΦαβ{\displaystyle \Phi _{\alpha \beta }}منيوα∩يوβ{\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}إلى التماثلات المحلية مع

ϕα(v)=Φα،β(u)(ϕβ(v)){\displaystyle \phi _{\alpha }(v)=\Phi _{\alpha ,\beta }(u)(\phi _{\beta }(v))}

حينماv{\displaystyle v}قريب بما فيه الكفاية منu{\displaystyle u}تُعرَّف دورة هافليجر المشتركة بواسطة

Ψα،β(u)={\displaystyle \Psi _{\alpha ,\beta }(u)=}بذرةΦα،β(u){\displaystyle \Phi _{\alpha ,\beta }(u)}في يو .

كما هو متوقع، لا تكون التوريقات مغلقة بشكل عام تحت عمليات السحب العكسي، لكن هياكل هافليجر تكون كذلك. في الواقع، بالنظر إلى خريطة متصلةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}يمكن للمرء أن يأخذ تراجعات في التوريق علىY{\displaystyle Y}بشرط أنو{\displaystyle f}يكون متعامدًا مع التوريق، ولكن إذاو{\displaystyle f}ليس عرضيًا، يمكن أن يكون التراجع بنية هافليجر التي ليست توريقًا.

مساحة التصنيف

بنيتان من هافليجر علىX{\displaystyle X}تُسمى متوافقة إذا كانت قيودًا على هياكل هافليجرX×[0،1]{\displaystyle X\times [0,1]}لX×0{\displaystyle X\times 0}وX×1{\displaystyle X\times 1}.

يوجد مكان للتصنيفبΓq{\displaystyle B\Gamma _{q}}بالنسبة للرمز-q{\displaystyle q}هياكل هافليجر التي تحتوي على بنية هافليجر شاملة بالمعنى التالي. لأي فضاء طوبولوجيX{\displaystyle X}وخريطة متصلة منX{\displaystyle X}لبΓq{\displaystyle B\Gamma _{q}}إن التراجع لبنية هافليجر العالمية هو بنية هافليجر علىX{\displaystyle X}بالنسبة للفضاءات الطوبولوجية ذات السلوك الجيدX{\displaystyle X}يؤدي هذا إلى تطابق واحد لواحد بين فئات التماثل للخرائط منX{\displaystyle X}لبΓq{\displaystyle B\Gamma _{q}}وفئات التوافق لهياكل هيفليجر.

مراجع

  1. ^ هيفليجر ، أندريه (1970). "Feuilletages sur les variétés ouvertes". طوبولوجيا . 9 (2): 183–194 . دوى : 10.1016/0040-9383(70)90040-6 . ISSN 0040-9383 . السيد 0263104 .  
  2. ↑ هافليجر، أندريه (1971). "التماثل والتكامل". المتشعبات - أمستردام 1970 (وقائع مدرسة نوفيك الصيفية) . سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد 197. برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . الصفحات 133-163 . doi : 10.1007/BFb0068615 . ISBN   978-3-540-05467-2MR 0285027 .​