نقطة هيجنر

في الرياضيات ، تُعرف نقطة هيجنر بأنها نقطة على منحنى نمطي تمثل صورة لنقطة تخيلية تربيعية في النصف العلوي من المستوى المركب . وقد عرّف برايان بيرش نقاط هيجنر، وسُميت نسبةً إلى كورت هيجنر ، الذي استخدم أفكارًا مشابهة لإثبات حدسية جاوس حول الحقول التربيعية التخيلية من الفئة رقم واحد.

تصف نظرية غروس -زاغير ( غروس وزاغير ، 1986 ) ارتفاع نقاط هيغنر بدلالة مشتقة دالة L للمنحنى الإهليلجي عند النقطة s  =  1. وبالتحديد، إذا كان المنحنى الإهليلجي من الرتبة التحليلية 1، فإنه يمكن استخدام نقاط هيغنر لإنشاء نقطة منطقية على المنحنى من رتبة لانهائية (وبالتالي فإن رتبة زمرة مورديل-ويل لا تقل عن 1). وبشكل أعم، بيّن غروس وكوهنين وزاغير (1987) أنه يمكن استخدام نقاط هيغنر لإنشاء نقاط منطقية على المنحنى لكل عدد صحيح موجب n ، وأن ارتفاعات هذه النقاط هي معاملات شكل نمطي من الوزن  3/2. قام شو وو تشانغ بتعميم نظرية غروس زاغير من المنحنيات الإهليلجية إلى حالة الأصناف الأبيلية المعيارية ( تشانغ 2001 ، 2004 ، يوان ، تشانغ وتشانغ 2009 ).  

استخدم كوليفاجين لاحقًا نقاط هيجنر لبناء أنظمة أويلر ، واستخدمها لإثبات جزء كبير من حدسية بيرش-سوينرتون-داير للمنحنيات الإهليلجية من الرتبة 1. أثبت براون حدسية بيرش-سوينرتون-داير لمعظم المنحنيات الإهليلجية من الرتبة 1 على الحقول العالمية ذات الخاصية الموجبة ( براون 1994 ) .

يمكن استخدام نقاط هيجنر لحساب نقاط عقلانية كبيرة جدًا على منحنيات إهليلجية من الرتبة 1 (انظر ( Watkins 2006 ) للاطلاع على دراسة شاملة) والتي لا يمكن إيجادها بالطرق التقليدية. تتوفر تطبيقات الخوارزمية في Magma و PARI/GP و Sage .

• بيرش، ب. (2004)، "نقاط هيجنر: البدايات"، في دارموند، هنري ؛ تشانغ، شو-وو (محرران)، نقاط هيجنر ومتسلسلات رانكين L (ملف PDF) ، منشورات معهد أبحاث العلوم الرياضية، المجلد  49، مطبعة جامعة كامبريدج، الصفحات 1-10 ، doi : 10.1017/CBO9780511756375.002 ، ISBN  0-521-83659-X، MR 2083207 ، مؤرشف من الأصل (PDF) بتاريخ 2023-09-01 ، تم استرجاعه بتاريخ 2023-09-01 .
• براون، إم إل (2004)، وحدات هيجنر والمنحنيات الإهليلجية ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد  1849، سبرينغر-فيرلاغ، doi : 10.1007/b98488 ، ISBN 3-540-22290-1، MR 2082815 .
• دارمُن، هنري؛ تشانغ، شو-وو، محرران (2004)، نقاط هيغنر ومتسلسلات رانكين L ، منشورات معهد أبحاث العلوم الرياضية، المجلد  49، مطبعة جامعة كامبريدج ، doi : 10.1017/CBO9780511756375 ، ISBN 978-0-521-83659-3MR 2083206​ 
• جروس، بنديكت هـ . Zagier، Don B. (1986)، “نقاط Heegner ومشتقاتها من سلسلة L”، اختراعات الرياضيات ، 84 (2): 225–320 ، بيب كود : 1986InMat..84..225G ، دوى : 10.1007 / BF01388809 ، MR 0833192 ، S2CID 125716869  .
• جروس، بنديكت هـ . كونين، وينفريد؛ Zagier، Don (1987)، “نقاط Heegner ومشتقاتها من سلسلة L. II”، Mathematische Annalen ، 278 ( 1– 4): 497–562 ، دوى : 10.1007 / BF01458081 ، MR 0909238 ، S2CID 121652706  .
• هيغنر، كورت (1952)، “Diophantische Analysis und Modulfunktionen”، Mathematische Zeitschrift ، 56 (3): 227–253 ، دوى : 10.1007 / BF01174749 ، السيد 0053135 ، S2CID 120109035  .
• واتكينز، مارك (2006)، بعض الملاحظات حول حسابات نقاط هيجنر ، arXiv : math.NT/0506325v2.
• براون، مارك (1994)، "حول تخمين تيت للأسطح الإهليلجية فوق الحقول المنتهية"، وقائع جمعية لندن الرياضية ، 69 (3): 489-514 ، doi : 10.1112/plms/s3-69.3.489.
• يوان، شين يي ؛ تشانغ، شو وو؛ تشانغ، وي (2009)، "نظرية غروس-كونين-زاغير على الحقول الحقيقية تمامًا"، كومبوزيتيو ماثيماتيكا ، 145 (5): 1147-1162 ، doi : 10.1112/S0010437X08003734 ، S2CID 17981061 .
• تشانغ، شو-وو (2001)، "صيغة غروس-زاغير لـ GL2"، المجلة الآسيوية للرياضيات ، 5 (2): 183-290 ، doi : 10.4310/AJM.2001.v5.n2.a1.
• تشانغ، شو-وو (2004)، "صيغة غروس-زاغير لـ GL(2) II" ، في دارموند، هنري ؛ تشانغ، شو-وو (محرران)، نقاط هيغنر ومتسلسلات رانكين L ، منشورات معهد أبحاث العلوم الرياضية ، المجلد  49، مطبعة جامعة كامبريدج ، الصفحات 191-214 ، doi : 10.1017/CBO9780511756375 ، ISBN  978-0-521-83659-3MR 2083206​ .