مشكلة رقم الفصل

في الرياضيات ، تتمثل مسألة عدد فئات غاوس ( للحقول التربيعية التخيلية )، كما هو مفهوم عادةً، في توفير لكل${\displaystyle n\geq 1}$قائمة كاملة بالحقول التربيعية التخيلية${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$(للأعداد الصحيحة السالبة)${\displaystyle d}$) الذي يحمل رقم الفصل${\displaystyle n}$سُميت هذه المسألة نسبةً إلى كارل فريدريش غاوس . ويمكن التعبير عنها أيضًا بدلالة المميزات . وتوجد مسائل ذات صلة بالحقول التربيعية الحقيقية، وكذلك بسلوكها كـ${\displaystyle d\to -\infty }$.

تكمن الصعوبة في الحساب الفعال للحدود: بالنسبة لمميز معين، من السهل حساب رقم الفئة، وهناك العديد من الحدود الدنيا غير الفعالة على رقم الفئة (بمعنى أنها تتضمن ثابتًا لا يتم حسابه)، لكن الحدود الفعالة (والإثباتات الصريحة لاكتمال القوائم) أصعب.

تم طرح هذه المشكلات في كتاب غاوس " Disquisitiones Arithmeticae" الصادر عام 1801 (القسم الخامس، المادتان 303 و304). ^{[ 1 ]}

يناقش غاوس الحقول التربيعية التخيلية في المادة 303، ويذكر التخمينين الأولين، ويناقش الحقول التربيعية الحقيقية في المادة 304، ويذكر التخمين الثالث.

تخمين غاوس (عدد الفئات يميل إلى اللانهاية)

${\displaystyle h(d)\to \infty {\text{ as }}d\to -\infty .}$

مسألة أعداد الفئات الغاوسية (قوائم أعداد الفئات الدنيا)

بالنسبة لرقم فئة منخفض معين (مثل 1 و 2 و 3)، يقدم جاوس قوائم من الحقول التربيعية التخيلية مع رقم الفئة المعطى ويعتقد أنها كاملة.

عدد لا نهائي من الحقول التربيعية الحقيقية ذات العدد الفئوي واحد

يفترض غاوس أن هناك عددًا لا نهائيًا من الحقول التربيعية الحقيقية ذات رقم الفئة واحد.

تختلف مسألة عدد فئات جاوس الأصلية للحقول التربيعية التخيلية اختلافًا كبيرًا وتسهل أكثر من البيان الحديث: فقد اقتصر على المميزات الزوجية، وسمح بالمميزات غير الأساسية.

تخمين جاوس

تم حلها، هايلبرون، 1934. ^{[ 2 ]}

قوائم أرقام الطبقة الدنيا

الفئة رقم 1: تم حلها، بيكر (1966)، ستارك (1967)، هيجنر (1952).

الفئة رقم 2: تم حلها، بيكر (1971)، ستارك (1971) ^{[ 3 ]}

الفئة رقم 3: تم حلها، أوسترلي (1985) ^{[ 3 ]}

أرقام الفئات h حتى 100: تم حلها، واتكينز 2004 ^{[ 4 ]}

عدد لا نهائي من الحقول التربيعية الحقيقية ذات العدد الفئوي واحد

يفتح.

بالنسبة لحقول الأعداد التربيعية التخيلية، فإن المميزات (الأساسية) للفئة رقم 1 هي:

${\displaystyle d=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163.}$

العوامل غير الأساسية المميزة للفئة رقم 1 هي:

${\displaystyle d=-12,-16,-27,-28.}$

وبالتالي، فإن المميزات الزوجية للفئة رقم 1، الأساسية وغير الأساسية (سؤال جاوس الأصلي) هي:

${\displaystyle d=-4,-8,-12,-16,-28.}$

في عام 1934، أثبت هانز هايلبرون حدسية جاوس. ^{[ 2 ]} وبصورة مكافئة، بالنسبة لأي رقم فئة معين، لا يوجد سوى عدد محدود من حقول الأعداد التربيعية التخيلية التي تحمل رقم الفئة هذا.

في عام 1934 أيضًا، أثبت هايلبرون وإدوارد لينفوت أن هناك على الأكثر 10 حقول أعداد تربيعية تخيلية من الفئة رقم 1 (التسعة المعروفة، وواحد إضافي على الأكثر). ^{[ 5 ]} لم تكن النتيجة فعالة (انظر النتائج الفعالة في نظرية الأعداد ): إذ لم تُحدد حدودًا لحجم الحقل المتبقي.

وفي تطورات لاحقة، القضية${\displaystyle n=1}$ناقش كورت هيجنر هذا الموضوع لأول مرة ، مستخدمًا الأشكال النمطية والمعادلات النمطية لإثبات استحالة وجود مجال مماثل. لم يُقبل هذا العمل في البداية؛ ولم يتضح الموقف ويُفهم عمل هيجنر إلا مع أعمال لاحقة لهارولد ستارك وبرايان بيرش (مثلًا حول نظرية ستارك-هيجنر وعدد هيجنر ). في الوقت نفسه تقريبًا، أثبت آلان بيكر ما نعرفه الآن بنظرية بيكر حول الأشكال الخطية في لوغاريتمات الأعداد الجبرية ، والتي حلت المشكلة بطريقة مختلفة تمامًا.${\displaystyle n=2}$تمت معالجة الأمر بعد ذلك بوقت قصير، على الأقل من حيث المبدأ، كتطبيق لعمل بيكر. ^{[ 6 ]}

القائمة الكاملة للحقول التربيعية التخيلية ذات الرقم 1 هي${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$حيث يمثل d أحد

${\displaystyle -1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163.}$

انتظرت الحالة العامة اكتشاف دوريان غولدفليد عام 1976 أن مشكلة عدد الفئات يمكن ربطها بدوال L للمنحنيات الإهليلجية . [ ^{7 ] وقد} اختزل هذا الاكتشاف فعليًا مسألة التحديد الفعال إلى مسألة إثبات وجود صفر مضاعف لدالة L هذه . ^{[ 7 ]} ومع إثبات نظرية غروس-زاغير عام 1986، أصبح من الممكن تحديد قائمة كاملة بالحقول التربيعية التخيلية ذات عدد فئات معين من خلال حساب محدود. جميع الحالات حتى${\displaystyle n=100}$تم حسابها بواسطة واتكينز في عام 2004. ^{[ 4 ]} رقم الفصل الدراسي لـ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-d}})}$ل${\displaystyle d=1,2,3,\dots }$يكون

${\displaystyle 1,1,1,1,2,2,1,1,1,2,1,1,2,4,2,1,4,1,1,2,4,2,3,2,1,6,1,1,6,4,3,1,...}$(التسلسل A202084 في OEIS ) .

أما حالة الحقول التربيعية الحقيقية فهي مختلفة تمامًا، وما نعرفه عنها أقل بكثير. وذلك لأن ما يدخل في الصيغة التحليلية لعدد الفئات ليس${\displaystyle h}$رقم الفصل، بمفرده - ولكن${\displaystyle h\log \varepsilon }$، أين${\displaystyle \varepsilon }$هي وحدة أساسية . يصعب التحكم في هذا العامل الإضافي. قد يكون من الممكن أن تظهر الفئة رقم 1 للحقول التربيعية الحقيقية بشكل متكرر لا نهائي.

تُعدّ قواعد كوهين-لينسترا الاستدلالية ^{[ 8 ]} مجموعة من التخمينات الأكثر دقة حول بنية مجموعات الفئات للحقول التربيعية. بالنسبة للحقول الحقيقية، تتنبأ هذه القواعد بأن حوالي 75.45% من الحقول الناتجة عن ضم الجذر التربيعي لعدد أولي ستكون من الفئة رقم 1، وهي نتيجة تتفق مع الحسابات. ^{[ 9 ]}

• قائمة حقول الأرقام التي تحمل الرقم واحد

• وايسشتاين، إريك دبليو. "مسألة جاوس لأرقام الفئات" . عالم الرياضيات .