وظيفة هيون

في الرياضيات ، دالة هيون المحلية${\displaystyle H\ell (a,q;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;z)}$^{[ 1 ]} هو حلمعادلة هيون التفاضليةالتي تكون هولومورفية و 1 عند النقطة الشاذةz = 0. تسمى دالة هيون المحلية دالةهيون، ويرمز لها بـHf، إذا كانت منتظمة أيضًا عندz = 1، وتسمىمتعددة حدود هيون، ويرمز لهاHp، إذا كانت منتظمة عند جميع النقاط الشاذة الثلاث المحدودةz=0،1،a.     

معادلة هيون هي معادلة تفاضلية عادية خطية من الدرجة الثانية (ODE) على الشكل التالي:

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+{\frac {\epsilon }{z-a}}\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha \beta z-q}{z(z-1)(z-a)}}w=0.}$

الحالة${\displaystyle \epsilon =\alpha +\beta -\gamma -\delta +1}$يتم أخذها بحيث تكون الأسس المميزة للتفرد المنتظم عند اللانهاية هي α و β (انظر أدناه).

يُسمى العدد المركب q بالمعامل المساعد . تحتوي معادلة هيون على أربع نقاط شاذة منتظمة : 0،  1، a ، و∞، بأسس (0، 1 − γ)، (0، 1 − δ)، (0، 1 − ϵ)، و(α، β). يمكن تحويل أي معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الثانية على المستوى المركب الممتد، والتي تحتوي على أربع نقاط شاذة منتظمة على الأكثر، مثل معادلة لاميه أو المعادلة التفاضلية فوق الهندسية ، إلى هذه المعادلة بتغيير المتغير.           

يؤدي اندماج مختلف الحالات الشاذة المنتظمة لمعادلة هيون في حالات شاذة غير منتظمة إلى ظهور عدة أشكال متقاربة للمعادلة، كما هو موضح في الجدول أدناه.

أشكال معادلة هيون ^{[ 2 ]}

استمارة	التفردات	معادلة
عام	0، 1، أ ، ∞	${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+{\frac {\epsilon }{z-a}}\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha \beta z-q}{z(z-1)(z-a)}}w=0}$
ملتقى	0، 1، ∞ (غير منتظم، الرتبة 1)	${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+\epsilon \right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha z-q}{z(z-1)}}w=0}$
ملتقى مزدوج	0 (غير منتظم، الرتبة 1)، ∞ (غير منتظم، الرتبة 1)	${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\delta }{z^{2}}}+{\frac {\gamma }{z}}+1\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha z-q}{z^{2}}}w=0}$
ثنائي الالتقاء	0، ∞ (غير منتظم، الرتبة 2)	${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}-\left[{\frac {\gamma }{z}}+\delta +z\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha z-q}{z}}w=0}$
نقطة التقاء ثلاثية	∞ (غير منتظم، الرتبة 3)	${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(\gamma +z\right)z{\frac {dw}{dz}}+\left(\alpha z-q\right)w=0}$

تم اكتشاف نظير q لمعادلة هيون بواسطة هان ( 1971 ) ^{[ 3 ]} ودرسها تاكيمورا في عام 2017. ^{[ 4 ]} 

معادلة هيون لها مجموعة من التناظرات من الرتبة 192، متماثلة مع مجموعة كوكسيتر لمخطط كوكسيتر D ₄ ، على غرار التناظرات الـ 24 للمعادلات التفاضلية الهندسية الفائقة التي حصل عليها كومر.

تُشكّل التناظرات التي تُثبّت دالة هيون المحلية زمرةً من الرتبة 24 متماثلةً مع الزمرة المتناظرة على 4 نقاط، لذا يوجد 192/24 =  8 =  2 × 4 حلول مختلفة جوهريًا ناتجة عن تطبيق هذه التناظرات على دالة هيون المحلية، والتي تُعطي حلولًا لكلٍّ من الأسين 2 لكلٍّ من النقاط الشاذة الأربع. وقد قدّم ماير (2007) ^{[ 5 ]} القائمة الكاملة للتناظرات الـ 192 باستخدام الحساب الآلي. وقد احتوت العديد من المحاولات السابقة التي قام بها مؤلفون مختلفون لحصر هذه التناظرات يدويًا على أخطاء ونواقص كثيرة؛ فعلى سبيل المثال، تحتوي معظم الحلول المحلية الـ 48 التي أوردها هيون على أخطاء جسيمة.  

• كثيرات حدود هاين-ستيلتيس ، وهي تعميم لكثيرات حدود هيون.

• أ. إرديلي، ف. أوبرهيتينجر، و. ماغنوس و ف. تريكومي الدوال المتعالية العليا المجلد 3 (ماكجرو هيل، نيويورك، 1953).
• فورسيث، أندرو راسل (1959) [1906]، نظرية المعادلات التفاضلية. 4. المعادلات الخطية العادية ، نيويورك: منشورات دوفر ، ص  158، MR 0123757 
• رونفو، أ.، محرر (1995)، المعادلات التفاضلية لهيون ، منشورات أكسفورد للعلوم، مطبعة كلارندون، مطبعة جامعة أكسفورد، رقم ISBN 978-0-19-859695-0MR 1392976​ 
• سليمان، ب.د.؛ كوزنيتسوف، ف.ب. (2010)، "دوال هيون" ، في أولفر، فرانك و.ج .؛ لوزير، دانيال م.؛ بويسفيرت، رونالد ف.؛ كلارك، تشارلز و. (محررون)، دليل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا للدوال الرياضية ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ .
• فالنت، غاليانو (2007)، "دوال هيون مقابل الدوال الإهليلجية"، المعادلات التفاضلية، الدوال الخاصة، ومتعددات الحدود المتعامدة ، دار النشر العالمية للعلوم، هاكنساك، نيوجيرسي، الصفحات 664-686 ، arXiv : math-ph/0512006 ، doi : 10.1142/9789812770752_0057 ، ISBN  978-981-270-643-0، MR 2451210 ، S2CID 8520520