المشكلة السادسة لهيلبرت

تتمثل مشكلة هيلبرت السادسة في وضع بديهيات لفروع الفيزياء التي تسود فيها الرياضيات . وهي تظهر في قائمة مشاكل هيلبرت في الرياضيات التي قدمها عام 1900، والتي تحظى بانتشار واسع. ونصها المترجم إلى الإنجليزية الشائعة هو: ^{[ 2 ]}

أن نتعامل بنفس الطريقة، عن طريق البديهيات، مع تلك العلوم الفيزيائية التي تلعب فيها الرياضيات دورًا مهمًا حتى اليوم؛ وفي المرتبة الأولى تأتي نظرية الاحتمالات والميكانيكا.

وقدّم هيلبرت شرحاً إضافياً لهذه المشكلة وأشكالها المحددة المحتملة: ^{[ 2 ]}

فيما يتعلق بمسلمات نظرية الاحتمالات، أرى أنه من المستحسن أن يترافق بحثها المنطقي مع تطوير دقيق ومرضٍ لمنهج القيم المتوسطة في الفيزياء الرياضية، ولا سيما في النظرية الحركية للغازات . ... يشير عمل بولتزمان حول مبادئ الميكانيكا إلى مشكلة تطوير العمليات الحدية، المشار إليها هناك فقط، رياضيًا، والتي تقود من المنظور الذري إلى قوانين حركة الأوساط المتصلة.

كرّس ديفيد هيلبرت نفسه جزءًا كبيرًا من أبحاثه للمشكلة السادسة؛ ^{[ 3 ]} وعلى وجه الخصوص، عمل في مجالات الفيزياء التي نشأت بعد أن طرح المشكلة.

في العقد الثاني من القرن العشرين، تطورت الميكانيكا السماوية إلى النسبية العامة . وقد تبادل هيلبرت وإيمي نوثر مراسلات مكثفة مع ألبرت أينشتاين حول صياغة النظرية. ^{[ 4 ]}

في عشرينيات القرن العشرين، تطورت ميكانيكا الأنظمة المجهرية إلى ميكانيكا الكم . عمل هيلبرت، بمساعدة جون فون نيومان ، ولويس نوردهايم ، وإدوارد فيغنر ، على وضع الأسس البديهية لميكانيكا الكم (انظر فضاء هيلبرت ). ^{[ 5 ]} في الوقت نفسه، ولكن بشكل مستقل، صاغ ديراك ميكانيكا الكم بطريقة قريبة من النظام البديهي، كما فعل هيرمان فايل بمساعدة إرفين شرودنغر .

في ثلاثينيات القرن العشرين، تم وضع نظرية الاحتمالات على أساس بديهي بواسطة أندريه كولموغوروف ، باستخدام نظرية القياس .

في عام 1932، حاول جون فون نيومان، استنادًا إلى أعماله السابقة، وضع أسس رياضية دقيقة لميكانيكا الكم في كتابه " الأسس الرياضية لميكانيكا الكم" [ ^{6 ]} . ورغم أن هذا الكتاب اعتُبر عند صدوره الكتاب الأكثر شمولًا في مجال ميكانيكا الكم ^{[ 7 ] ، إلا أن} التطورات اللاحقة جعلته غير كافٍ.

منذ الستينيات، وبعد أعمال آرثر وايتمان ورودولف هاج ، يمكن اعتبار نظرية المجال الكمومي الحديثة قريبة من الوصف البديهي.

في تسعينيات القرن العشرين وبداية الألفية الجديدة، تناول العديد من مجموعات علماء الرياضيات مسألة "العمليات الحدية، المشار إليها هنا فقط، والتي تقود من المنظور الذري إلى قوانين حركة الأوساط المتصلة". وقد لخصت لور سانت ريمون ^{[ 8 ]} ، ومارشال سليمرود ^{[ 9 ]} ، وألكسندر ن . غوربان، وإيليا كارلين ^{[ 10 ] أهم النتائج الحديثة في هذا المجال.}

في عام 2025، ادّعت مجموعة من علماء الرياضيات أنهم استنتجوا المجموعة الكاملة لمعادلات الموائع، بما في ذلك معادلات أويلر للموائع القابلة للانضغاط ومعادلات نافيير-ستوكس-فورييه للموائع غير القابلة للانضغاط، مباشرةً من قوانين نيوتن. اعتبارًا من مايو 2025 يخضع عملهم للدراسة من قبل علماء رياضيات آخرين. ^{[ 11 ] [ 12 ]} وقد أدى هذا العمل الذي قام به يو دينغ إلى فوزه بميدالية فيلدز لعام 2026. ^{[ 13 ]}

تمثلت المشكلة السادسة لهيلبرت في اقتراح توسيع نطاق المنهج البديهي ليشمل الفيزياء وما وراءها، خارج نطاق التخصصات الرياضية القائمة. ويتطلب هذا التوسع تطوير دلالات الفيزياء من خلال تحليل رسمي لمفهوم الواقع الفيزيائي. ^{[ 14 ]} وتغطي نظريتان أساسيتان غالبية الظواهر الأساسية في الفيزياء:

• نظرية المجال الكمومي ، ^{[ 15 ]} التي توفر الإطار الرياضي للنموذج القياسي ؛
• النسبية العامة ، التي تصف الزمكان والجاذبية على نطاق واسع.

اعتبر هيلبرت النسبية العامة جزءًا أساسيًا من أسس الفيزياء. ^{[ 16 ] [ 17 ]} ومع ذلك، فإن نظرية الحقل الكمومي لا تتوافق منطقيًا مع النسبية العامة، مما يشير إلى الحاجة إلى نظرية غير معروفة حتى الآن للجاذبية الكمومية ، حيث يُتوقع أن تلعب دلالات الفيزياء دورًا محوريًا. وبالتالي، تبقى مشكلة هيلبرت السادسة مفتوحة. ^{[ 18 ]}

• بديهيات وايتمان
• نظرية المجال الكمومي البنّاءة

• ساور، تيلمان (1999). "نسبية الاكتشاف: أول ملاحظة لهيلبرت حول أسس الفيزياء". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة 53 (6): 529-575 . arXiv : physics/9811050 . Bibcode : 1998physics..11050S . Zbl 0926.01004 . 
• وايتمان، أ.س. (1976). "مسألة هيلبرت السادسة: المعالجة الرياضية لبديهيات الفيزياء". في: فيليكس إي. براودر (محرر). التطورات الرياضية الناشئة عن مسائل هيلبرت . وقائع ندوات في الرياضيات البحتة . المجلد  الثامن والعشرون. الجمعية الرياضية الأمريكية . الصفحات 147-240 . ISBN  0-8218-1428-1.

• ديفيد هيلبرت، مسائل رياضية، المسألة 6، في الترجمة الإنجليزية .