إجهاد الأسطوانة

الإجهاد المحيطي هو القوة المؤثرة على مساحة محيطية (عمودية على محور ونصف قطر الجسم) في كلا الاتجاهين على كل جسيم في جدار الأسطوانة. ويمكن وصفه كما يلي:

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {F}{tl}}\ }$

أين:

• F هي القوة المؤثرة محيطيًا على مساحة من جدار الأسطوانة التي لها الطولان التاليان كأضلاع:
• t هو السماكة الشعاعية للأسطوانة
• يمثل l الطول المحوري للأسطوانة.

يُعد إجهاد الجدار أو شد الجدار ( T ) بديلاً عن إجهاد الحلقة في وصف الإجهاد المحيطي ، والذي يُعرَّف عادةً بأنه إجمالي القوة المحيطية المؤثرة على طول السماكة الشعاعية بأكملها: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle T={\dfrac {F}{l}}\ }$

إلى جانب الإجهاد المحوري والإجهاد القطري ، يعتبر الإجهاد المحيطي أحد مكونات موتر الإجهاد في الإحداثيات الأسطوانية .

من المفيد عادةً تحليل أي قوة مطبقة على جسم ذي تناظر دوراني إلى مركبات موازية للإحداثيات الأسطوانية r و z و θ . وتُحدث هذه المركبات من القوة إجهادات مقابلة: الإجهاد القطري، والإجهاد المحوري، والإجهاد المحيطي، على التوالي.

لكي يكون افتراض الجدار الرقيق صحيحًا، يجب ألا يتجاوز سمك جدار الوعاء عُشر نصف قطره تقريبًا (يُشار إليه غالبًا بـ Diameter / t > 20). ^{[ 4 ]} وهذا يسمح بمعاملة الجدار كسطح، ومن ثم استخدام معادلة يونغ-لابلاس لتقدير الإجهاد المحيطي الناتج عن الضغط الداخلي على وعاء ضغط أسطواني ذي جدار رقيق.

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{t}}\ }$ (للأسطوانة)

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{2t}}\ }$ (للكرة)

أين

• P هو الضغط الداخلي
• t هو سمك الجدار
• r هو متوسط ​​نصف قطر الأسطوانة
• ${\displaystyle \sigma _{\theta }\!}$هو الإجهاد الحلقي.

تُعدّ معادلة الإجهاد المحيطي للأغلفة الرقيقة صالحةً تقريبًا للأوعية الكروية، بما في ذلك الخلايا النباتية والبكتيريا التي قد يصل فيها ضغط الامتلاء الداخلي إلى عدة ضغوط جوية. في التطبيقات الهندسية العملية للأسطوانات (الأنابيب)، يُعاد ترتيب الإجهاد المحيطي غالبًا ليتناسب مع الضغط، ويُطلق عليه صيغة بارلو .

وحدات النظام الدولي للوحدات (SI) للضغط ( P) هي الباسكال (Pa)، بينما يُقاس كل من الزمن (t ) ونصف القطر (r) بالمتر (m). أما وحدات نظام البوصة-الرطل-الثانية (IPS) للضغط ( P ) فهي رطل-قوة لكل بوصة مربعة (psi). ووحدات الزمن (t) ونصف القطر ( r) هي البوصة (in).

عندما يكون للوعاء نهايات مغلقة، يؤثر الضغط الداخلي عليها لتوليد قوة على طول محور الأسطوانة. يُعرف هذا بالإجهاد المحوري، وعادةً ما يكون أقل من الإجهاد المحيطي.

${\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {F}{A}}={\dfrac {Pr^{2}}{(r+t)^{2}-r^{2}}}\ }$

على الرغم من أنه يمكن تقريب هذا إلى

${\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {Pr}{2t}}\ }$

يوجد أيضًا إجهاد شعاعي${\displaystyle \sigma _{r}\ }$والتي تتطور بشكل عمودي على السطح ويمكن تقديرها في الأسطوانات ذات الجدران الرقيقة على النحو التالي:

${\displaystyle \sigma _{r}={-P}\ }$

في حالة افتراض الجدران الرقيقة، تكون النسبة${\displaystyle {\dfrac {r}{t}}\ }$ونظرًا لكبر حجمها، فإن هذا المكون يُعتبر في معظم الحالات ضئيلاً مقارنةً بالإجهادات المحيطية والمحورية. ^{[ 5 ]}

عندما تحتوي الأسطوانة المراد دراستها على${\displaystyle {\text{نصف القطر}}/{\text{السماكة}}}$نسبة أقل من 10 (غالباً ما يُشار إليها باسم${\displaystyle {\text{القطر}}/{\text{السُمك}}<20}$) لم تعد معادلات الأسطوانة ذات الجدران الرقيقة صالحة لأن الإجهادات تختلف بشكل كبير بين الأسطح الداخلية والخارجية، ولم يعد من الممكن إهمال إجهاد القص عبر المقطع العرضي.

يمكن حساب هذه الإجهادات والانفعالات باستخدام معادلات لاميه ، ^{[ 6 ]} وهي مجموعة من المعادلات التي طورها عالم الرياضيات الفرنسي غابرييل لاميه .

${\displaystyle \sigma _{r}=A-{\dfrac {B}{r^{2}}}\ }$

${\displaystyle \sigma _{\theta }=A+{\dfrac {B}{r^{2}}}\ }$

أين:

${\displaystyle A}$و ${\displaystyle B}$هي ثوابت التكامل، والتي يمكن إيجادها من الشروط الحدية.

${\displaystyle r}$يمثل نصف القطر عند نقطة الاهتمام (على سبيل المثال، عند الجدران الداخلية أو الخارجية).

بالنسبة للأسطوانة ذات الشروط الحدية:

${\displaystyle p(r=a)=P_{a}}$(أي الضغط الداخلي)${\displaystyle P_{a}}$(على السطح الداخلي)،

${\displaystyle p(r=b)=P_{b}}$(أي الضغط الخارجي)${\displaystyle P_{b}}$(على السطح الخارجي)،

تم الحصول على الثوابت التالية:

${\displaystyle A={\dfrac {P_{a}a^{2}-P_{b}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}\ }$،

${\displaystyle B={\dfrac {a^{2}b^{2}(P_{a}-P_{b})}{b^{2}-a^{2}}}\ }$.

باستخدام هذه الثوابت، يتم الحصول على المعادلة التالية للإجهاد القطري والإجهاد المحيطي، على التوالي:

${\displaystyle \sigma _{r}={\dfrac {P_{a}a^{2}-P_{b}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}-{\dfrac {a^{2}b^{2}(P_{a}-P_{b})}{(b^{2}-a^{2})r^{2}}}\ }$،

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {P_{a}a^{2}-P_{b}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}+{\dfrac {a^{2}b^{2}(P_{a}-P_{b})}{(b^{2}-a^{2})r^{2}}}\ }$.

لاحظ أنه عندما تكون نتائج هذه الإجهادات موجبة، فإنها تشير إلى الشد، والقيم السالبة تشير إلى الضغط.

بالنسبة للأسطوانة الصلبة:${\displaystyle R_{i}=0}$ثم${\displaystyle B=0}$ولا يمكن أن يكون للأسطوانة الصلبة ضغط داخلي،${\displaystyle A=P_{o}}$.

وبما أن النسبة خاصة بالأسطوانات ذات الجدران السميكة${\displaystyle {\dfrac {r}{t}}\ }$إذا كانت أقل من 10، فإن الإجهاد القطري، بالنسبة للإجهادات الأخرى، يصبح غير مهمل (أي أن P لم يعد أقل بكثير من Pr/t و Pr/2t)، وبالتالي يصبح سمك الجدار اعتبارًا رئيسيًا للتصميم (هارفي، 1974، ص 57).

في نظرية أوعية الضغط، يُقيّم أي عنصر من عناصر الجدار ضمن نظام إجهاد ثلاثي المحاور، حيث تكون الإجهادات الرئيسية الثلاثة هي الإجهاد المحيطي، والإجهاد الطولي، والإجهاد القطري. ولذلك، بحسب التعريف، لا توجد إجهادات قص على المستويات العرضية أو المماسية أو القطرية. ^{[ 1 ]}

في الأسطوانات ذات الجدران السميكة، يُعطى أقصى إجهاد قص عند أي نقطة بنصف الفرق الجبري بين أقصى وأدنى إجهاد، وهو ما يساوي بالتالي نصف الفرق بين الإجهاد المحيطي والإجهاد القطري. يصل إجهاد القص إلى أقصى قيمة له عند السطح الداخلي، وهو أمر بالغ الأهمية لأنه يُعد معيارًا للفشل نظرًا لارتباطه الوثيق بنتائج اختبارات التمزق الفعلية للأسطوانات السميكة (هارفي، 1974، ص 57).

يخضع الكسر لإجهاد الحلقة في غياب الأحمال الخارجية الأخرى، كونه الإجهاد الرئيسي الأكبر. تجدر الإشارة إلى أن الحلقة تتعرض لأكبر قدر من الإجهاد من داخلها (يتعرض كل من السطح الخارجي والداخلي لنفس الانفعال الكلي، الموزع على محيطين مختلفين)؛ لذا، من المفترض نظريًا أن تبدأ الشقوق في الأنابيب من داخلها . لهذا السبب، تتضمن عمليات فحص الأنابيب بعد الزلازل عادةً إدخال كاميرا داخل الأنبوب للبحث عن الشقوق. أما الخضوع، فيخضع لإجهاد مكافئ يشمل إجهاد الحلقة والإجهاد الطولي أو القطري في حال غيابه.

في علم أمراض جدران الأوعية الدموية أو الجهاز الهضمي ، يُمثل توتر الجدار التوتر العضلي الواقع على جدار الوعاء. ونتيجةً لقانون لابلاس ، إذا تشكل تمدد وعائي في جدار وعاء دموي، يزداد نصف قطر الوعاء. وهذا يعني أن القوة الداخلية المؤثرة على الوعاء تقل، وبالتالي يستمر التمدد في التوسع حتى يتمزق. وينطبق منطق مماثل على تكوّن الرتوج في الأمعاء . ^{[ 7 ]}