نموذج هاول الطبيعي

في الجبر الخطي ونظرية الحلقات ، يُعد الشكل الطبيعي لهويل تعميمًا لشكل الصف المتدرج للمصفوفة على${\displaystyle \mathbb {Z} _{N}}$، حلقة الأعداد الصحيحة modulo N. تتطابق امتدادات الصفوف لمصفوفتين إذا، وفقط إذا، تطابقت صيغ هاول الطبيعية لهما. تعمم صيغة هاول الطبيعية صيغة هيرميت الطبيعية ، المعرفة للمصفوفات على${\displaystyle \mathbb {Z} }$[ ^{1 ]​}

مصفوفة${\displaystyle A\in \mathbb {Z} _{N}^{n\times m}}$زيادة${\displaystyle \mathbb {Z} _{N}}$يُطلق عليه اسم الشكل الصفّي المتدرج إذا كان يتمتع بالخصائص التالية:

• يترك${\displaystyle r}$ليكن عدد الصفوف غير الصفرية من${\displaystyle A}$ثم الأعلى${\displaystyle r}$صفوف المصفوفة غير صفرية،
• ل${\displaystyle 1\leq i\leq r}$، يترك${\displaystyle j_{i}}$ليكن فهرس العنصر غير الصفري الأيسر في الصف${\displaystyle i}$. ثم${\displaystyle j_{1}<j_{2}<\dots <j_{r}}$.

باستخدام التحويلات الأولية ، يمكن اختزال كل مصفوفة في شكل الصف المتدرج بطريقة تضمن تحقق الخصائص التالية:

• لكل${\displaystyle 1\leq i\leq r}$العنصر الرئيسي${\displaystyle A_{ij_{i}}}$هو قاسم لـ${\displaystyle N}$،
• لكل${\displaystyle 1\leq k<i\leq r}$وهذا يعني أن${\displaystyle 0\leq A_{kj_{i}}<A_{ij_{i}}}$.

لو${\displaystyle A}$وبما أنه يلتزم بالخاصيتين المذكورتين أعلاه، فإنه يقال إنه في شكل صفوف مخفضة .

لو${\displaystyle A}$يلتزم بالخاصية الإضافية التالية، ويُقال إنه في شكل هاول الطبيعي (${\displaystyle S(A)}$يشير إلى امتداد الصف من${\displaystyle A}$):

• يترك${\displaystyle v\in S(A)}$أن يكون عنصرًا من امتداد الصف لـ${\displaystyle A}$بحيث${\displaystyle v_{k}=0}$لكل${\displaystyle 1\leq k<j_{i}}$. ثم${\displaystyle v\in S(A_{i\dots m})}$، أين${\displaystyle A_{i\dots m}}$هي المصفوفة التي تم الحصول عليها من الصفوف من${\displaystyle i}$-th إلى${\displaystyle m}$العنصر رقم - من المصفوفة${\displaystyle A}$.

لكل مصفوفة${\displaystyle A}$زيادة${\displaystyle \mathbb {Z} _{N}}$، هناك مصفوفة فريدة${\displaystyle H}$في الصيغة الطبيعية لهويل، بحيث${\displaystyle S(A)=S(H)}$المصفوفة${\displaystyle H}$يمكن الحصول عليها من المصفوفة${\displaystyle A}$عبر سلسلة من التحويلات الأولية.

ويترتب على ذلك أنه بالنسبة لمصفوفتين${\displaystyle A,B\in \mathbb {Z} _{N}^{n\times m}}$زيادة${\displaystyle \mathbb {Z} _{N}}$تكون امتدادات صفوفها متساوية إذا وفقط إذا كانت أشكالها الطبيعية لهويل متساوية. ^{[ 2 ]}

على سبيل المثال، المصفوفات

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}4&1&0\\0&0&5\\0&0&0\end{bmatrix}},\;\;\;B={\begin{bmatrix}8&5&5\\0&9&8\\0&0&10\end{bmatrix}}}$

لها نفس الشكل الطبيعي لهويل${\displaystyle \mathbb {Z} _{12}}$:

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}4&1&0\\0&3&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

لاحظ أن${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هما مصفوفتان مختلفتان في شكل صفوف متدرجة، مما يعني أن امتدادهما متساوٍ إذا تم التعامل معهما كمصفوفتين على حقل ما. علاوة على ذلك، فهما في الشكل الطبيعي لهيرميت ، مما يعني أن امتداد صفوفهما متساوٍ أيضًا إذا تم اعتبارهما على${\displaystyle \mathbb {Z} }$، حلقة الأعداد الصحيحة . ^{[ 2 ]}

لكن،${\displaystyle \mathbb {Z} _{12}}$ليس حقلاً، وفي الحلقات العامة، من الممكن أحيانًا إلغاء عنصر محور الصف بضرب الصف في عدد قياسي دون إلغاء الصف بأكمله. في هذه الحالة تحديدًا،

${\displaystyle 3\cdot {\begin{bmatrix}4&1&0\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}0&3&0\end{bmatrix}}{\pmod {12}}.}$

وهذا يعني${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&3&0\end{bmatrix}}\in S(A)}$، وهو ما لن يكون صحيحاً على أي حقل أو على الأعداد الصحيحة.