إمكانية تحديد الهوية

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 11 صور
الموسوعة الحرة

في الإحصاء ، تُعدّ قابلية التحديد خاصيةً يجب أن يستوفيها النموذج لكي يكون الاستدلال الدقيق ممكنًا. يكون النموذج قابلاً للتحديد إذا كان من الممكن نظريًا معرفة القيم الحقيقية لمعاملاته الأساسية بعد الحصول على عدد لا نهائي من المشاهدات منه. رياضيًا، يُعادل هذا القول أن القيم المختلفة للمعاملات يجب أن تُولّد توزيعات احتمالية مختلفة للمتغيرات القابلة للملاحظة. عادةً ما يكون النموذج قابلاً للتحديد فقط في ظل قيود تقنية معينة، وفي هذه الحالة تُسمى مجموعة هذه الشروط بشروط التحديد .

يُقال عن النموذج الذي لا يمكن تحديده أنه غير قابل للتحديد : أي أن اثنين أو أكثر من المعاملات تكون متكافئة من الناحية الرصدية . في بعض الحالات، حتى وإن كان النموذج غير قابل للتحديد، فإنه لا يزال من الممكن معرفة القيم الحقيقية لمجموعة فرعية معينة من معاملات النموذج. في هذه الحالة، نقول إن النموذج قابل للتحديد جزئيًا . في حالات أخرى، قد يكون من الممكن معرفة موقع المعامل الحقيقي ضمن منطقة محدودة معينة من فضاء المعاملات، وفي هذه الحالة يُقال إن النموذج قابل للتحديد جزئيًا .

إلى جانب الاستكشاف النظري البحت لخصائص النموذج، يمكن الإشارة إلى قابلية التحديد في نطاق أوسع عند اختبار نموذج باستخدام مجموعات البيانات التجريبية، وذلك باستخدام تحليل قابلية التحديد . [ 1 ]

تعريف

يتركP={Pθ:θ∈Θ}{\displaystyle {\mathcal {P}}=\{P_{\theta }:\theta \in \Theta \}}ليكن نموذجًا إحصائيًا ذو فضاء معلماتΘ{\displaystyle \Theta }نقول ذلكP{\displaystyle {\mathcal {P}}}يمكن تحديدها إذا كانت عملية التعيينθ↦Pθ{\displaystyle \theta \mapsto P_{\theta }} هو واحد لواحد : [ 2 ]

Pθ1=Pθ2⇒θ1=θ2 للجميع θ1،θ2∈Θ.{\displaystyle P_{\theta _{1}}=P_{\theta _{2}}\quad \Rightarrow \quad \theta _{1}=\theta _{2}\quad \ {\text{لكل }}\theta _{1},\theta _{2}\in \Theta .}

يعني هذا التعريف أن القيم المختلفة لـ θ يجب أن تتوافق مع توزيعات احتمالية مختلفة: إذا كانت θ 1 ≠ θ 2 ، فإن P θ 1 ≠ P θ 2 أيضًا . [ 3 ] إذا تم تعريف التوزيعات بدلالة دوال كثافة الاحتمال (pdfs)، فيجب اعتبار دالتي كثافة احتمال مختلفتين فقط إذا اختلفتا في مجموعة ذات قياس غير صفري (على سبيل المثال، تختلف الدالتان ƒ 1 ( x )  = 1 0 ≤ x < 1 و ƒ 2 ( x ) = 1 0 ≤ x ≤ 1 فقط عند نقطة واحدة x = 1 - وهي مجموعة ذات قياس صفري - وبالتالي لا يمكن اعتبارهما دالتي كثافة احتمال مختلفتين).             

إمكانية تحديد النموذج بمعنى قابلية عكس الخريطةθ↦Pθ{\displaystyle \theta \mapsto P_{\theta }}يُعادل ذلك القدرة على معرفة المعلمة الحقيقية للنموذج إذا أمكن رصد النموذج لفترة غير محددة. في الواقع، إذا كانت { X t }  ⊆ S هي سلسلة الملاحظات من النموذج، فبموجب قانون الأعداد الكبيرة القوي ، 

1تي∑ت=1تي1{Xت∈أ} →مثل برو[Xت∈أ]،{\displaystyle {\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}\mathbf {1} _{\{X_{t}\in A\}}\ {\xrightarrow {\text{as}}}\ \Pr[X_{t}\in A],}

لكل مجموعة قابلة للقياس A  ⊆ S (حيث 1 {...} هي دالة المؤشر ). وبالتالي، مع عدد لا نهائي من المشاهدات، سنتمكن من إيجاد التوزيع الاحتمالي الحقيقي P 0 في النموذج، وبما أن شرط قابلية التحديد أعلاه يتطلب أن تكون الخريطة θ↦Pθ{\displaystyle \theta \mapsto P_{\theta }}إذا كانت قابلة للعكس، فسنتمكن أيضًا من إيجاد القيمة الحقيقية للمعامل الذي ولّد التوزيع المعطى P 0 . 

أمثلة

المثال 1

يتركP{\displaystyle {\mathcal {P}}}كن عائلة الموقع والمقياس العادية :

P={ وθ(x)=12πσهـ-12σ2(x-μ)2 | θ=(μ،σ):μ∈R،σ>0 }.{\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}(x-\mu )^{2}}\ {\Big |}\ \theta =(\mu ,\sigma ):\mu \in \mathbb {R} ,\,\sigma \!>0\ {\Big \}}.}

ثم

وθ1(x)=وθ2(x)⟺12πσ1خبرة⁡(-12σ12(x-μ1)2)=12πσ2خبرة⁡(-12σ22(x-μ2)2)⟺1σ12(x-μ1)2+ln⁡σ1=1σ22(x-μ2)2+ln⁡σ2⟺x2(1σ12-1σ22)-2x(μ1σ12-μ2σ22)+(μ12σ12-μ22σ22+ln⁡σ1-ln⁡σ2)=0{\displaystyle {\begin{aligned}&f_{\theta _{1}}(x)=f_{\theta _{2}}(x)\\[6pt]\Longleftrightarrow {}&{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{1}}}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma _{1}^{2}}}(x-\mu _{1})^{2}\right)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{2}}}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma _{2}^{2}}}(x-\mu _{2})^{2}\right)\\[6pt]\Longleftrightarrow {}&{\frac {1}{\sigma _{1}^{2}}}(x-\mu _{1})^{2}+\ln \sigma _{1}={\frac {1}{\sigma _{2}^{2}}}(x-\mu _{2})^{2}+\ln \sigma _{2}\\[6pt]\Longleftrightarrow {}&x^{2}\left({\frac {1}{\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {1}{\sigma _{2}^{2}}}\right)-2x\left({\frac {\mu _{1}}{\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {\mu _{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\right)+\left({\frac {\mu _{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {\mu _{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}+\ln \sigma _{1}-\ln \sigma _{2}\right)=0\end{aligned}}}

هذا التعبير يساوي صفرًا لجميع قيم x تقريبًا فقط عندما تكون جميع معاملاته مساوية للصفر، وهو ما لا يتحقق إلا عندما يكون | σ₁| = |σ₂| و μ₁ = μ₂ . وبما أن قيمة σ في معامل المقياس مقيدة لتكون أكبر من الصفر ، نستنتج أن النموذج قابل للتحديد : ƒθ₁ = ƒθ₂ ⇔ θ₁ = θ₂ .    

المثال 2

يتركP{\displaystyle {\mathcal {P}}}نموذج الانحدار الخطي القياسي :

y=β′x+ε،هـ[ε|x]=0{\displaystyle y=\beta 'x+\varepsilon ,\quad \mathrm {E} [\,\varepsilon \mid x\,]=0}

(حيث تشير ′ إلى منقولة المصفوفة ). عندئذٍ، يكون المعامل β قابلاً للتحديد إذا وفقط إذا كانت المصفوفةهـ[xx′]{\displaystyle \mathrm {E} [xx']}قابلة للعكس. وبالتالي، هذا هو شرط التحديد في النموذج.

المثال 3

يفترضP{\displaystyle {\mathcal {P}}}هل هو النموذج الخطي الكلاسيكي للأخطاء في المتغيرات ؟

{y=βx*+ε،x=x*+η،{\displaystyle {\begin{cases}y=\beta x^{*}+\varepsilon ,\\x=x^{*}+\eta ,\end{cases}}}

حيث ( ε , η , x* ) متغيرات عشوائية مستقلة تتبع التوزيع الطبيعي المشترك، ذات قيمة متوقعة صفرية وتباينات غير معروفة، والمتغيرات ( x , y ) فقط هي التي تُلاحظ. عندئذٍ، يكون هذا النموذج غير قابل للتحديد، [ 4 ] بينما يكون حاصل ضرب βσ² * فقط قابلاً للتحديد (حيث σ² * هو تباين المتغير الكامن x* ). وهذا أيضًا مثال على نموذج قابل للتحديد : على الرغم من أنه لا يمكن معرفة القيمة الدقيقة لـ β ، إلا أنه يمكننا ضمان أنها تقع في مكان ما ضمن الفترة ( βyx , 1÷ βxy )، حيث βyx هو معامل انحدار المربعات الصغرى العادية لـ y على x ، و βxy هو معامل انحدار المربعات الصغرى العادية لـ x على y . [ 5 ]

إذا تخلينا عن فرضية التوزيع الطبيعي واشترطنا أن x* لم تكن موزعة توزيعًا طبيعيًا، مع الاحتفاظ فقط بشرط الاستقلال ε  ⊥ η ⊥ x* ، فإن النموذج يصبح قابلاً للتحديد. [ 4 ]   

انظر أيضاً

مراجع

الاقتباسات

  1. ↑ راو، أ.؛ كرويتز، س.؛ مايوالد، ت.؛ باخمان، ج.؛ شيلينغ، م.؛ كلينغمولر، أ.؛ تيمر، ج. (2009-08-01). "تحليل قابلية التحديد الهيكلي والعملي للنماذج الديناميكية المرصودة جزئيًا من خلال استغلال احتمالية الملف الشخصي" . المعلوماتية الحيوية . 25 (15): 1923-1929 . doi : 10.1093/bioinformatics/btp358 . PMID 19505944 . 
  2. ↑ ليمان وكاسيلا 1998 ، الفصل 1، التعريف 5.2
  3. ^ فان دير فارت 1998 ، ص. 62 
  4. 1 2 رايرسول 1950
  5. ↑ كاسيلا وبيرغر 2002 ، ص 583 

مصادر

للمزيد من القراءة

  • والتر، إي.؛ برونزاتو، ل. (1997)، تحديد النماذج البارامترية من البيانات التجريبية ، سبرينغر

الاقتصاد القياسي