التحكم في المعاوقة

يمكن التعبير عن الروبوت غير المتحكم به في صيغة لاغرانجية على النحو التالي:

أين${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$يشير إلى الوضع الزاوي للمفصل،${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$هي مصفوفة القصور الذاتي المتناظرة والموجبة المحددة ،${\displaystyle {\boldsymbol {c}}}$عزم الدوران كوريوليس وعزم الدوران الطارد المركزي،${\displaystyle {\boldsymbol {g}}}$عزم الدوران الناتج عن الجاذبية،${\displaystyle {\boldsymbol {h}}}$ويشمل ذلك عزم دوران إضافي ناتج عن عوامل مثل الصلابة الذاتية والاحتكاك وما إلى ذلك، و${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }} _ {\mathrm {ext} }}$يلخص جميع القوى الخارجية من البيئة. عزم التشغيل${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$يوجد على الجانب الأيسر متغير الإدخال للروبوت.

يمكن اقتراح قانون تحكم بالشكل التالي:

أين${\displaystyle {\boldsymbol {q}}_{\mathrm {d} }}$يشير إلى الوضع الزاوي المطلوب للمفصل،${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$و${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$هي معايير التحكم، و${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {M}}}}$،${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {c}}}}$،${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {g}}}}$، و${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {h}}}}$هي النموذج الداخلي للمصطلحات الميكانيكية المقابلة.

بإدخال ( 2 ) في ( 1 ) نحصل على معادلة النظام ذي الحلقة المغلقة (الروبوت المتحكم به):

${\displaystyle {\boldsymbol {K}}({\boldsymbol {q}}_{\mathrm {d} }-{\boldsymbol {q}})+{\boldsymbol {D}}({\dot {\boldsymbol {q}}}_{\mathrm {d} }-{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\boldsymbol {M}}({\boldsymbol {q}})({\ddot {\boldsymbol {q}}}_{\mathrm {d} }-{\ddot {\boldsymbol {q}}})={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {ext} }.}$

يترك${\displaystyle {\boldsymbol {e}}={\boldsymbol {q}}_{\mathrm {d} }-{\boldsymbol {q}}}$، يحصل المرء

${\displaystyle {\boldsymbol {K}}{\boldsymbol {e}}+{\boldsymbol {D}}{\dot {\boldsymbol {e}}}+{\boldsymbol {M}}{\ddot {\boldsymbol {e}}}={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {ext} }}$

بما أن المصفوفات${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$و${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$نظرًا لأن وحدات الصلابة والتخميد تُستخدم، يُشار إليهما عادةً باسم مصفوفة الصلابة ومصفوفة التخميد ، على التوالي. من الواضح أن الروبوت المُتحكم به هو في الأساس مُعاوقة ميكانيكية متعددة الأبعاد (كتلة-نابض-مخمد) للبيئة، والتي يتم التعامل معها بواسطة${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {ext} }}$.

ينطبق المبدأ نفسه على فضاء المهام. يمتلك الروبوت غير المتحكم به تمثيل فضاء المهام التالي في صياغة لاغرانجية:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}={\boldsymbol {\Lambda }}({\boldsymbol {q}}){\ddot {\boldsymbol {x}}}+{\boldsymbol {\mu }}({\boldsymbol {x}},{\dot {\boldsymbol {x}}})+{\boldsymbol {\gamma }}({\boldsymbol {q}})+{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\boldsymbol {\mathcal {F}}}_{\mathrm {ext} }}$،

أين${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$يشير إلى الوضع الزاوي للمفصل،${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$موقع مساحة العمل،${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$مصفوفة القصور الذاتي المتناظرة والموجبة المحددة لمساحة المهمة. المصطلحات${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$،${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}}$،${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$، و${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}_{\mathrm {ext} }}$تمثل القوة المعممة لقوة كوريوليس وقوة الطرد المركزي، وقوة الجاذبية، وحدود غير خطية أخرى، وتأثيرات البيئة. تجدر الإشارة إلى أن هذا التمثيل ينطبق فقط على الروبوتات ذات الحركة الزائدة . القوة المعممة${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}}$يتوافق الجانب الأيسر مع عزم الدوران المدخل للروبوت.

وبالمثل، يمكن اقتراح قانون التحكم التالي:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}={\boldsymbol {K}}_{\mathrm {x} }({\boldsymbol {x}}_{\mathrm {d} }-{\boldsymbol {x}})+{\boldsymbol {D}}_{\mathrm {x} }({\dot {\boldsymbol {x}}}_{\mathrm {d} }-{\dot {\boldsymbol {x}}})+{\hat {\boldsymbol {\Lambda }}}({\boldsymbol {q}}){\ddot {\boldsymbol {x}}}_{\mathrm {d} }+{\hat {\boldsymbol {\mu }}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\hat {\boldsymbol {\gamma }}}({\boldsymbol {q}})+{\hat {\boldsymbol {\eta }}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}}),}$

أين${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{\mathrm {d} }}$يشير إلى موضع مساحة المهمة المطلوب،${\displaystyle {\boldsymbol {K}}_{\mathrm {x} }}$و${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{\mathrm {x} }}$وهي مصفوفات الصلابة والتخميد في فضاء المهمة، و${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\Lambda }}}}$،${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\mu }}}}$،${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\gamma }}}}$، و${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}$هي النموذج الداخلي للمصطلحات الميكانيكية المقابلة.

وبالمثل، لدى المرء

${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{\mathrm {x} }={\boldsymbol {x}}_{\mathrm {d} }-{\boldsymbol {x}}}$،

باعتباره نظام الحلقة المغلقة، والذي يمثل في الأساس مقاومة ميكانيكية متعددة الأبعاد للبيئة (${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}_{\mathrm {ext} }}$كذلك. وبالتالي، يمكن اختيار المعاوقة المطلوبة (الصلابة بشكل أساسي) في نطاق المهمة. على سبيل المثال، قد يرغب المرء في جعل الروبوت المتحكم به شديد الصلابة في اتجاه واحد بينما يكون مرنًا نسبيًا في الاتجاهات الأخرى عن طريق ضبط

${\displaystyle {\boldsymbol {K}}_{\mathrm {x} }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1000\end{pmatrix}}\mathrm {N/m} ,}$

بافتراض أن فضاء المهمة هو فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد . مصفوفة التخميد${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{\mathrm {x} }}$يتم اختيارها عادة بحيث يكون نظام الحلقة المغلقة ( 3 ) مستقرًا . ^{[ 3 ]}