الأساليب الصريحة والضمنية

تُستخدم الطرق الصريحة والضمنية في التحليل العددي للحصول على تقريبات عددية لحلول المعادلات التفاضلية العادية والجزئية المعتمدة على الزمن ، كما هو مطلوب في المحاكاة الحاسوبية للعمليات الفيزيائية . تحسب الطرق الصريحة حالة النظام في وقت لاحق انطلاقًا من حالته في الوقت الحالي، بينما تجد الطرق الضمنية الحل بحل معادلة تتضمن كلًا من الحالة الحالية للنظام والحالة اللاحقة. رياضيًا، إذا${\displaystyle Y(t)}$هي حالة النظام الحالية و${\displaystyle Y(t+\Delta t)}$هي الحالة في وقت لاحق (${\displaystyle \Delta t}$إذا كانت خطوة زمنية صغيرة)، فبالتالي، بالنسبة لطريقة صريحة

${\displaystyle Y(t+\Delta t)=F(Y(t))\,}$

أما بالنسبة للطريقة الضمنية، فيتم حل معادلة

${\displaystyle G{\Big (}Y(t),Y(t+\Delta t){\Big )}=0\qquad (1)\,}$

للعثور${\displaystyle Y(t+\Delta t).}$

تتطلب الطرق الضمنية عملية حسابية إضافية (حل المعادلة المذكورة أعلاه)، وقد يكون تطبيقها أكثر صعوبة. تُستخدم الطرق الضمنية لأن العديد من المشكلات التي تظهر في الممارسة العملية تكون جامدة ، حيث يتطلب استخدام طريقة صريحة خطوات زمنية صغيرة بشكل غير عملي.${\displaystyle \Delta t}$للحفاظ على هامش الخطأ في النتيجة ضمن حدود معينة (انظر الاستقرار العددي ). في مثل هذه المسائل، ولتحقيق دقة محددة، يتطلب استخدام طريقة ضمنية بخطوات زمنية أكبر وقتًا حسابيًا أقل بكثير، حتى مع الأخذ في الاعتبار ضرورة حل معادلة من الشكل (1) في كل خطوة زمنية. ومع ذلك، فإن اختيار الطريقة الصريحة أو الضمنية يعتمد على طبيعة المسألة المراد حلها.

بما أنه لا يمكن تطبيق الطريقة الضمنية على كل نوع من أنواع المؤثرات التفاضلية ، فمن المستحسن أحيانًا استخدام ما يسمى بطريقة تجزئة المؤثرات، والتي تعني إعادة كتابة المؤثر التفاضلي كمجموع مؤثرين متكاملين.

${\displaystyle Y(t+\Delta t)=F(Y(t+\Delta t))+G(Y(t)),\,}$

بينما يُعالج أحدهما صراحةً والآخر ضمنيًا. في التطبيقات الاعتيادية، يُختار الحد الضمني ليكون خطيًا، بينما يمكن أن يكون الحد الصريح غير خطي. يُطلق على هذا المزيج من الطريقة الأولى اسم طريقة الضمني-الصريح (IMEX اختصارًا، ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} ).

لنفترض المعادلة التفاضلية العادية

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-y^{2},\ t\in [0,a]\quad \quad (2)}$

مع الشرط الأولي${\displaystyle y(0)=1.}$لهذه المسألة حل دقيق${\displaystyle y={\frac {1}{t+1}}}$والتي لا يمكن عادةً كتابتها للمشاكل التي تواجهنا في الممارسة العملية، ولكنها في هذه الحالة تسمح بالمقارنة مع الحلول العددية. لنفترض وجود شبكة${\displaystyle t_{k}=a{\frac {k}{n}}}$بالنسبة لـ 0  ≤ k ≤ n ، أي أن الخطوة الزمنية هي   ${\displaystyle \Delta t=a/n,}$ويدل على${\displaystyle y_{k}=y(t_{k})}$لكل${\displaystyle k}$. قم بتقسيم هذه المعادلة باستخدام أبسط الطرق الصريحة والضمنية، وهي طرق أويلر الأمامية والخلفية (انظر المعادلات التفاضلية العادية العددية ) وقارن المخططات التي تم الحصول عليها.

طريقة أويلر الأمامية

طريقة أويلر الأمامية

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)_{k}\approx {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-y_{k}^{2}}$

العائد

${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}-\Delta ty_{k}^{2}\quad \quad \quad (3)\,}$

لكل${\displaystyle k=0,1,\dots ,n.}$هذه صيغة صريحة لـ${\displaystyle y_{k+1}}$.

طريقة أويلر العكسية

باستخدام طريقة أويلر العكسية

${\displaystyle {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-y_{k+1}^{2}}$

يجد المرء المعادلة الضمنية

${\displaystyle y_{k+1}+\Delta ty_{k+1}^{2}=y_{k}}$

ل${\displaystyle y_{k+1}}$(قارن هذا بالصيغة (3) حيث${\displaystyle y_{k+1}}$(تم إعطاؤها بشكل صريح بدلاً من كونها مجهولة في معادلة).

هذه معادلة تربيعية ، لها جذر سالب وجذر موجب . تم اختيار الجذر الموجب لأن الشرط الابتدائي في المعادلة الأصلية موجب، وبالتالي${\displaystyle y}$في الخطوة الزمنية التالية يتم تحديدها بواسطة

${\displaystyle y_{k+1}={\frac {-1+{\sqrt {1+4\Delta ty_{k}}}}{2\Delta t}}.\quad \quad (4)}$

في أغلب الحالات، تكون المعادلة المراد حلها باستخدام طريقة ضمنية أكثر تعقيدًا بكثير من المعادلة التربيعية، ولا يوجد لها حل تحليلي. عندئذٍ، تُستخدم خوارزميات إيجاد الجذور ، مثل طريقة نيوتن ، لإيجاد الحل العددي.

طريقة كرانك-نيكلسون

باستخدام طريقة كرانك-نيكلسون

${\displaystyle {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-{\frac {1}{2}}y_{k+1}^{2}-{\frac {1}{2}}y_{k}^{2}}$

يجد المرء المعادلة الضمنية

${\displaystyle y_{k+1}+{\frac {1}{2}}{\Delta t}y_{k+1}^{2}=y_{k}-{\frac {1}{2}}\Delta ty_{k}^{2}}$

ل${\displaystyle y_{k+1}}$(قارن هذا بالصيغة (3) حيث${\displaystyle y_{k+1}}$(تم إعطاؤها بشكل صريح بدلاً من كونها مجهولة في معادلة). يمكن حل ذلك عدديًا باستخدام خوارزميات إيجاد الجذور ، مثل طريقة نيوتن ، للحصول على${\displaystyle y_{k+1}}$.

يمكن اعتبار Crank-Nicolson شكلاً من أشكال مخططات IMEX ( الضمنية - الصريحة ) الأكثر عمومية.

طريقة أويلر الأمامية والخلفية

لتطبيق مخطط IMEX، ضع في اعتبارك معادلة تفاضلية مختلفة قليلاً:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=yy^{2},\ t\in [0,a]\quad \quad (5)}$

ويترتب على ذلك أن

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)_{k}\approx y_{k+1}-y_{k}^{2},\ t\in [0,a]}$

وبالتالي

${\displaystyle y_{k+1}={\frac {y_{k}(1-y_{k}\Delta t)}{1-\Delta t}}\quad \quad (6)}$

لكل${\displaystyle k=0,1,\dots ,n.}$

• حالة كورانت-فريدريكس-ليوي
• خوارزمية SIMPLE ، وهي طريقة شبه ضمنية للمعادلات المرتبطة بالضغط