الاستقلال (المنطق الرياضي)

في المنطق الرياضي ، الاستقلال هو عدم إمكانية إثبات جملة معينة من مجموعة معينة من الجمل الأخرى. وتُسمى الجمل في هذه المجموعة "بديهيات".

تكون الجملة σ مستقلة عن نظرية الرتبة الأولى المعطاة T إذا لم تثبت T صحة σ أو تنفيها؛ أي أنه من المستحيل إثبات صحة σ انطلاقًا من T ، كما أنه من المستحيل إثبات خطأ σ انطلاقًا من T. أحيانًا، يُقال (بمعنى آخر) إن σ غير قابلة للتقرير من T. (هذا المفهوم لا يرتبط بفكرة " قابلية التقرير " كما في مسألة القرار ).

تكون النظرية T مستقلة إذا لم يكن بالإمكان إثبات أي بديهية فيها من البديهيات المتبقية فيها . والنظرية التي توجد لها مجموعة بديهيات مستقلة هي نظرية قابلة للتحديد البديهي المستقل .

يقول بعض المؤلفين إن σ مستقلة عن T عندما تعجز T عن إثبات σ، ولا يؤكدون بالضرورة بذلك أن T لا تستطيع دحض σ. ويقول هؤلاء المؤلفون أحيانًا "σ مستقلة عن T ومتوافقة معها " للدلالة على أن T لا تستطيع إثبات σ ولا دحضها.

توجد العديد من العبارات المهمة في نظرية المجموعات بشكل مستقل عن نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (ZF). ومن المعروف أن العبارات التالية في نظرية المجموعات مستقلة عن ZF، بافتراض أن ZF متسقة:

• بديهية الاختيار
• فرضية الاستمرارية وفرضية الاستمرارية المعممة
• تخمين سوسلين

لا يمكن إثبات أن العبارات التالية (التي لم يثبت خطأ أي منها) مستقلة عن ZFC (نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل بالإضافة إلى بديهية الاختيار) في ZFC، وذلك في ظل الفرضية الإضافية بأن ZFC متسقة.

• وجود الكاردينالات الذين يصعب الوصول إليهم بشدة
• وجود الكاردينالات الكبيرة
• عدم وجود أشجار الكوريبا

تتعارض العبارات التالية مع بديهية الاختيار، وبالتالي مع نظرية ZFC. مع ذلك، يُحتمل أن تكون مستقلة عن ZF، بمعنى مماثل لما سبق: لا يمكن إثباتها في ZF، وقليل من علماء نظرية المجموعات يتوقعون إيجاد دحض لها في ZF. ومع ذلك، لا تستطيع ZF إثبات استقلالها عنها، حتى مع افتراض اتساقها.

• بديهية الحتمية
• بديهية الحتمية الحقيقية
• AD+

تُعتبر مجموعة من الجمل مستقلة، أو ببساطة مستقلة، إذا لم يكن بالإمكان إثبات أي جملة فيها من خلال الجمل الأخرى. وهذا يُعادل القول بأنه لكل جملة في المجموعة تفسيرٌ يجعلها خاطئة، بينما تكون جميع الجمل الأخرى صحيحة.

هناك معنى آخر للاستقلال، يُسمى الاستقلال التام أو الاستقلال القوي. تُوصف مجموعة من الجمل بأنها مستقلة تمامًا إذا كان لكل مجموعة جزئية منها تفسيرٌ تكون فيه جميع عناصر تلك المجموعة الجزئية صحيحة، وجميع عناصر المجموعات الأخرى خاطئة. وهذا يُعادل القول بأن جميع تركيبات الجمل التي تكون صحيحة أو خاطئة متسقة.

منذ عام 2000، أصبح يُنظر إلى الاستقلال المنطقي على أنه ذو أهمية بالغة في أسس الفيزياء. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

• قائمة بالعبارات المستقلة عن ZFC
• مسلمة التوازي كمثال في الهندسة

• مندلسون، إليوت (1997)، مقدمة في المنطق الرياضي (  الطبعة الرابعة)، لندن: تشابمان وهول ، رقم ISBN 978-0-412-80830-2
• مونك، ج. دونالد (1976)، المنطق الرياضي ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-90170-1
• ستابلر، إدوارد راسل (1948)، مدخل إلى الفكر الرياضي ، ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي