معادلة التكامل والفرق

في الرياضيات ، معادلة التكامل التفاضلي هي علاقة تكرارية على فضاء دالة ، على الشكل التالي:

${\displaystyle n_{t+1}(x)=\int _{\أوميغا }k(x,y)\,f(n_{t}(y))\,dy,}$

أين${\displaystyle \{n_{t}\}\,}$هي متتالية في فضاء الدوال و${\displaystyle \Omega \,}$هذا هو مجال عمل تلك الوظائف. في معظم التطبيقات، لأي${\displaystyle y\in \Omega \,}$، ${\displaystyle k(x,y)\,}$هي دالة كثافة احتمالية على${\displaystyle \Omega \,}$لاحظ أنه في التعريف أعلاه،${\displaystyle n_{t}}$يمكن أن تكون قيمها متجهة، وفي هذه الحالة يكون كل عنصر من عناصرها متجهًا.${\displaystyle \{n_{t}\}}$يرتبط بها معادلة تكاملية تفاضلية ذات قيمة عددية. تُستخدم المعادلات التكاملية التفاضلية على نطاق واسع في علم الأحياء الرياضي ، وخاصة علم البيئة النظري ، لنمذجة انتشار ونمو التجمعات السكانية. ^{[ 1 ]} في هذه الحالة،${\displaystyle n_{t}(x)}$هل هو حجم السكان أو كثافتهم في الموقع؟${\displaystyle x}$في ذلك الوقت${\displaystyle t}$،${\displaystyle f(n_{t}(x))}$يصف نمو السكان المحليين في الموقع${\displaystyle x}$و${\displaystyle k(x,y)}$، هو احتمال الانتقال من النقطة${\displaystyle y}$للإشارة${\displaystyle x}$يُشار إليها غالبًا باسم نواة الانتشار. تُستخدم معادلات التكامل التفاضلي بشكل شائع لوصف التجمعات السكانية أحادية الجيل ، بما في ذلك، على سبيل المثال لا الحصر، العديد من المفصليات وأنواع النباتات الحولية . ومع ذلك، يمكن أيضًا نمذجة التجمعات السكانية متعددة الأجيال باستخدام معادلات التكامل التفاضلي، ^{[ 2 ]} طالما أن الكائن الحي له أجيال غير متداخلة. في هذه الحالة،${\displaystyle t}$لا يتم قياسها بالسنوات، بل بالزيادة الزمنية بين الفقسات.

في بُعد مكاني واحد، غالبًا ما تعتمد دالة الانتشار فقط على المسافة بين المصدر والوجهة، ويمكن كتابتها على النحو التالي:${\displaystyle k(xy)}$في هذه الحالة، تشير بعض الشروط الطبيعية على f و k إلى وجود سرعة انتشار محددة جيدًا لموجات الغزو المتولدة من شروط ابتدائية مضغوطة. غالبًا ما تُحسب سرعة الموجة بدراسة المعادلة الخطية.

${\displaystyle n_{t+1}=\int _{-\infty }^{\infty }k(xy)Rn_{t}(y)dy}$

أين${\displaystyle R=\left.{\dfrac {df}{dn}}\right|_{n=0}}$يمكن كتابة ذلك على شكل عملية الالتفاف

${\displaystyle n_{t+1}=f'(0)k*n_{t}}$

باستخدام تحويل دالة توليد العزوم

${\displaystyle M(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{sx}n(x)dx}$

لقد ثبت أن سرعة الموجة الحرجة

${\displaystyle c^{*}=\min _{w>0}\left[{\frac {1}{w}}\ln \left(R\int _{-\infty }^{\infty }k(s)e^{ws}ds\right)\right]}$

تشمل أنواع المعادلات الأخرى المستخدمة لنمذجة ديناميكيات السكان عبر المكان معادلات التفاعل والانتشار ومعادلات التجمعات السكانية المترابطة . مع ذلك، لا تسمح معادلات الانتشار بسهولة بإدراج أنماط الانتشار الصريحة، وتكون دقيقة بيولوجيًا فقط بالنسبة للسكان ذوي الأجيال المتداخلة. ^{[ 3 ]} تختلف معادلات التجمعات السكانية المترابطة عن معادلات التكامل والفرق في أنها تقسم السكان إلى بقع منفصلة بدلًا من اعتبارها مشهدًا متصلًا.