بندول كاتر

كان العالم الفرنسي جان ريشر أول من اكتشف اختلاف الجاذبية على سطح الأرض ، حيث أُرسل عام 1671 في رحلة استكشافية إلى كايين ، غويانا الفرنسية ، من قِبل الأكاديمية الفرنسية للعلوم ، وكُلِّف بمهمة إجراء قياسات باستخدام ساعة بندول . ومن خلال الملاحظات التي أجراها في العام التالي، حدد ريشر أن الساعة كانت أبطأ بمقدار دقيقتين ونصف يوميًا من ساعتها في باريس، أو ما يعادل طول بندول يتأرجح لمدة ثانية واحدة، حيث كان أقصر بمقدار دقيقة وربع من خط باريس ، أو 2.6 ملم ، من طوله في باريس. ^{[ 4 ] [ 5 ]} أدرك علماء ذلك العصر، وأثبت إسحاق نيوتن ذلك عام 1687، أن هذا يعود إلى حقيقة أن الأرض ليست كروية تمامًا بل مفلطحة قليلًا ؛ إذ كانت أكثر سمكًا عند خط الاستواء بسبب دورانها . بما أن سطح الأرض في كايين كان أبعد عن مركزها منه في باريس، فقد كانت الجاذبية أضعف هناك. بعد هذا الاكتشاف، بدأ استخدام البندولات الحرة كمقاييس دقيقة للجاذبية، حيث تم اصطحابها في رحلات إلى مختلف أنحاء العالم لقياس تسارع الجاذبية المحلي. وقد أدى تراكم بيانات الجاذبية الجغرافية إلى نماذج أكثر دقة للشكل العام للأرض. 

كانت البندولات تُستخدم على نطاق واسع لقياس الجاذبية، لدرجة أنه في زمن كاتر، لم يكن يُعبَّر عن قوة الجاذبية المحلية عادةً بقيمة التسارع g المستخدم حاليًا، بل بطول البندول عند ذلك الموضع ، وهو بندول ذو دورة مدتها ثانيتان، بحيث تستغرق كل تأرجحة ثانية واحدة. ويمكن ملاحظة من المعادلة (1) أن طول البندول في حالة البندول ذي الدورة يتناسب طرديًا مع g .

${\displaystyle g=\pi ^{2}L\,}$

في زمن كاتر، كان بالإمكان قياس دورة البندول T بدقة متناهية عن طريق ضبط توقيته باستخدام ساعات دقيقة تُضبط بمرور النجوم فوق الرأس. قبل اكتشاف كاتر، كانت دقة قياسات تسارع الجاذبية الأرضية (g) محدودة بصعوبة قياس العامل الآخر L ، وهو طول البندول، بدقة. يُمثل L في المعادلة (1) أعلاه طول "البندول البسيط" المثالي رياضيًا، والذي يتكون من كتلة نقطية تتأرجح في نهاية خيط عديم الكتلة. مع ذلك، فإن "طول" البندول الحقيقي، وهو جسم صلب متأرجح، والمعروف في الميكانيكا باسم البندول المركب ، يصعب تحديده. في عام 1673، بيّن العالم الهولندي كريستيان هويغنز، في تحليله الرياضي للبندولات (Horologium Oscillatorium )، أن للبندول الحقيقي نفس دورة البندول البسيط الذي يساوي طوله المسافة بين نقطة الارتكاز ونقطة تُسمى مركز التذبذب ، والتي تقع أسفل مركز ثقل البندول وتعتمد على توزيع الكتلة على طوله. لكن المشكلة كانت تكمن في استحالة تحديد موقع مركز التذبذب بدقة في البندول الحقيقي. نظريًا، كان من الممكن حسابه من شكل البندول إذا كانت أجزاؤه المعدنية ذات كثافة منتظمة، إلا أن جودة المعادن والقدرات الرياضية في ذلك الوقت لم تسمح بإجراء الحساب بدقة.

للتغلب على هذه المشكلة، قام معظم الباحثين الأوائل في مجال الجاذبية، مثل جان بيكار (1669)، وشارل ماري دي لا كوندامين (1735)، وجان شارل دي بوردا (1792)، بتقريب نموذج البندول البسيط باستخدام كرة معدنية معلقة بسلك خفيف. إذا كانت كتلة السلك مهملة، فإن مركز التذبذب يكون قريبًا من مركز ثقل الكرة. ولكن حتى تحديد مركز ثقل الكرة بدقة كان صعبًا. إضافةً إلى ذلك، لم يكن هذا النوع من البندول دقيقًا بطبيعته. فالكرة والسلك لا يتأرجحان ذهابًا وإيابًا كوحدة صلبة، لأن الكرة تكتسب زخمًا زاويًا طفيفًا خلال كل تأرجح. كما أن السلك يتمدد مرنًا أثناء تأرجح البندول، مما يُغير طوله (L) قليلًا خلال الدورة.

مع ذلك، أثبت هيغنز في كتابه "ساعة التذبذب" أن نقطة الارتكاز ومركز التذبذب قابلان للتبديل. أي أنه إذا عُلِّق أي بندول رأسًا على عقب من مركز تذبذبه، فإنه يحتفظ بنفس دورة التأرجح، ويكون مركز التذبذب الجديد هو نقطة الارتكاز القديمة. والمسافة بين هاتين النقطتين المترافقتين تساوي طول بندول بسيط له نفس الدورة.

بصفته عضوًا في لجنة شكلتها الجمعية الملكية عام ١٨١٦ لإصلاح المقاييس البريطانية، تعاقد مجلس العموم مع كاتر لتحديد طول بندول الثواني في لندن بدقة. ^{[ ٦ ]} أدرك كاتر إمكانية استخدام مبدأ هيغنز لإيجاد مركز التذبذب، وبالتالي طول البندول المركب ( L ). فإذا عُلِّق بندول رأسًا على عقب من نقطة ارتكاز ثانية قابلة للتعديل لأعلى ولأسفل على قضيب البندول، وضُبطت نقطة الارتكاز الثانية حتى يصبح للبندول نفس دورة تذبذبه عند تأرجحه في الوضع الصحيح من نقطة الارتكاز الأولى، فإن نقطة الارتكاز الثانية ستكون في مركز التذبذب، والمسافة بين نقطتي الارتكاز ستكون L.

لم يكن كاتر أول من خطرت له هذه الفكرة. ^{[ 7 ] [ 8 ]} فقد اقترح عالم الرياضيات الفرنسي غاسبار دي بروني البندول العكسي لأول مرة في عام 1800، لكن عمله لم يُنشر حتى عام 1889. وفي عام 1811، اكتشفه فريدريك بوننبرغر مرة أخرى، لكن كاتر اخترعه بشكل مستقل وكان أول من طبقه عمليًا.

صنع كاتر بندولًا يتكون من قضيب نحاسي طوله حوالي مترين، وعرضه بوصة ونصف ، وسُمكه ثُمن بوصة، مع ثقل ( د) في أحد طرفيه. ^{[ 1 ] [ 9 ]} وللحصول على محور دوران منخفض الاحتكاك، استخدم زوجًا من شفرات مثلثة قصيرة تُشبه السكاكين، مُثبتة على القضيب. عند الاستخدام، كان البندول يُعلق من دعامة على الحائط، مدعومًا بحواف الشفرات التي تستند على صفائح عقيق مسطحة. كان للبندول محوران من هذه الشفرات (أ) ، متقابلان، يفصل بينهما حوالي متر واحد (40 بوصة)، بحيث تستغرق دورة تأرجح البندول حوالي ثانية واحدة عند تعليقه من كل محور. 

وجد كاتر أن جعل أحد المحاور قابلاً للتعديل يُسبب عدم دقة، مما يُصعّب الحفاظ على محوري المحورين متوازيين تمامًا. لذا، قام بتثبيت شفرات السكين على القضيب بشكل دائم، وعدّل دورات البندول بواسطة ثقل صغير متحرك (ب، ج) على عمود البندول. ولأن الجاذبية لا تتغير إلا بنسبة 0.5% كحد أقصى على سطح الأرض، وفي معظم المواقع أقل من ذلك بكثير، كان لا بد من تعديل الثقل بشكل طفيف. تحريك الثقل باتجاه أحد المحاور يُقلل الدورة عند تعليقه من ذلك المحور، ويزيدها عند تعليقه من المحور الآخر. كما أن هذه الطريقة تُتيح ميزة قياس المسافة بين المحورين بدقة مرة واحدة فقط.

للاستخدام، عُلِّق البندول من دعامة على الحائط، بحيث استندت محاور شفراته على لوحين صغيرين أفقيين من العقيق، أمام ساعة بندول دقيقة لقياس زمن الدورة. أُرجح البندول أولًا من أحد المحاور، وسُجِّل زمن التذبذبات، ثم قُلِب رأسًا على عقب وأُرجح من المحور الآخر، وسُجِّل زمن التذبذبات مرة أخرى. ضُبط الوزن الصغير (b) باستخدام برغي الضبط، وتكررت العملية حتى أصبح للبندول نفس زمن الدورة عند تأرجحه من كلا المحورين. وبوضع زمن الدورة المقاس T والمسافة المقاسة بين شفرات المحور L في معادلة زمن الدورة (1)، أمكن حساب قيمة g بدقة عالية.

أجرى كاتر 12 تجربة. ^{[ 1 ]} قاس دورة بندوله بدقة متناهية باستخدام بندول الساعة بطريقة التزامن ؛ حيث قام بحساب الفاصل الزمني بين التزامنات عندما كان البندولان يتأرجحان بتزامن تام. وقاس المسافة بين شفرتي المحور باستخدام مجهر مقارن، بدقة تصل إلى 2.5 ^{ميكرومتر} (10⁻⁴ بوصة). وكما هو الحال مع قياسات الجاذبية الأخرى باستخدام البندول، كان عليه إجراء تصحيحات طفيفة على النتيجة لعدد من العوامل المتغيرة.

• عرض تأرجح البندول غير الصفري، مما زاد من الفترة الزمنية
• درجة الحرارة، مما تسبب في تغير طول القضيب بسبب التمدد الحراري
• الضغط الجوي ، الذي قلل من الكتلة الفعالة للبندول بفعل قوة الطفو للهواء المزاح، مما زاد من الفترة الزمنية
• يؤثر الارتفاع على قوة الجاذبية، حيث تقل هذه القوة مع زيادة المسافة من مركز الأرض. وتُقاس الجاذبية دائماً بالنسبة لمستوى سطح البحر .

قدّم نتيجته على أنها طول بندول الثواني . بعد إجراء التصحيحات، وجد أن متوسط ​​طول بندول الثواني الشمسية في لندن، عند مستوى سطح البحر، ودرجة حرارة 17 درجة مئوية (62 فهرنهايت) ، وهو يتأرجح في الفراغ، يبلغ 39.1386 بوصة. وهذا يعادل تسارعًا جاذبيًا قدره 9.81158 متر/ثانية ^مربعة . وكان أكبر انحراف لنتائجه عن المتوسط ​​0.00028 بوصة (7.1 ميكرومتر) . وهذا يمثل دقة قياس للجاذبية تبلغ 0.7 × 10⁻⁵ ⁽ 7 مليغال ).     

في عام 1824، اعتمد البرلمان البريطاني قياس كاتر لبندول الثواني كمعيار احتياطي رسمي لتحديد طول الياردة في حال تدمير النموذج الأولي للياردة. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

أدى التحسن الكبير في دقة قياس الجاذبية، الذي أتاحته بنادول كاتر، إلى ترسيخ علم قياس الجاذبية كجزء أساسي من علم الجيوديسيا . ولضمان فائدة هذه القياسات، كان من الضروري تحديد الموقع الدقيق (خط العرض وخط الطول) للمحطة التي أُجري فيها قياس الجاذبية، ولذا أصبحت قياسات البندول جزءًا لا يتجزأ من أعمال المسح . وقد استُخدمت بنادولات كاتر في المسوحات الجيوديسية التاريخية الكبرى التي شملت أجزاءً واسعة من العالم خلال القرن التاسع عشر. وعلى وجه الخصوص، استُخدمت بنادولات كاتر في المسح المثلثي الكبير للهند.

ظلت البندولات العكسية هي الطريقة القياسية المستخدمة لقياسات الجاذبية المطلقة حتى تم استبدالها بمقاييس الجاذبية ذات السقوط الحر في الخمسينيات من القرن العشرين. ^{[ 14 ]}

_كان قياس كل دورة من دورات بندول كاتر بشكل متكرر، وتعديل الأوزان حتى تتساوى، عمليةً تستغرق وقتًا طويلاً وعرضةً للأخطاء. وقد أثبت فريدريك بيسل في عام 1826 أن هذا غير ضروري. فما دامت الدورات المقاسة من كل محور، T1 و T2 _، متقاربة في القيمة، يمكن حساب دورة البندول البسيط المكافئ T منها: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle T^{2}={\frac {T_{1}^{2}+T_{2}^{2}}{2}}+{\frac {T_{1}^{2}-T_{2}^{2}}{2}}\left({\frac {h_{1}+h_{2}}{h_{1}-h_{2}}}\right)\,\qquad \qquad \qquad (2)}$

هنا${\displaystyle h_{1}\,}$و${\displaystyle h_{2}\,}$تمثل هذه المسافات بين محوري الدوران ومركز ثقل البندول. المسافة بين محوري الدوران،${\displaystyle h_{1}+h_{2}\,}$، ويمكن قياسها بدقة عالية. ${\displaystyle h_{1}\,}$و${\displaystyle h_{2}\,}$وبالتالي اختلافهما${\displaystyle h_{1}-h_{2}\,}$لا يمكن قياسها بدقة مماثلة. يتم تحديدها عن طريق موازنة البندول على حافة سكين للعثور على مركز ثقله، وقياس المسافات بين كل محور من محاور الدوران ومركز الثقل. ومع ذلك، نظرًا لأن${\displaystyle T_{1}^{2}-T_{2}^{2}\,}$أصغر بكثير من${\displaystyle T_{1}^{2}+T_{2}^{2}\,}$الحد الثاني على اليمين في المعادلة أعلاه صغير مقارنة بالحد الأول، لذا${\displaystyle h_{1}-h_{2}\,}$لا يلزم تحديدها بدقة عالية، وإجراء الموازنة الموصوف أعلاه كافٍ لإعطاء نتائج دقيقة.

لذا، لا يشترط أن يكون البندول قابلاً للتعديل، بل يمكن أن يكون مجرد قضيب ذي محورين. طالما أن كل محور قريب من مركز تذبذب الآخر، وبالتالي يكون زمن الدورة متقاربًا، يمكن حساب زمن الدورة T للبندول البسيط المكافئ باستخدام المعادلة (2)، ويمكن حساب زمن الجاذبية من T و L باستخدام المعادلة (1).

بالإضافة إلى ذلك، بيّن بيسل أنه إذا صُنع البندول بشكل متناظر، ولكن مع ثقل داخلي في أحد طرفيه، فإن الخطأ الناتج عن مقاومة الهواء سيتلاشى. كما يمكن تلاشي خطأ آخر ناتج عن نصف قطر غير صفري لحواف سكين المحور عن طريق تبديل هذه الحواف.

لم يصنع بيسل بندولًا كهذا، ولكن في عام 1864، قام أدولف ريبسولد، بموجب عقد مع اللجنة الجيوديسية السويسرية، بتطوير بندول متناظر بطول 56 سم مزود  بشفرات محورية قابلة للتبديل، بفترة دوران تبلغ حوالي 0.75 ثانية. وقد استُخدم بندول ريبسولد على نطاق واسع من قبل الهيئات الجيوديسية السويسرية والروسية، وفي هيئة مسح الهند . كما صنع تشارلز بيرس وسي. ديفورج بندولات أخرى واسعة الانتشار من هذا التصميم.

تناول مؤتمر قياس القوس الأوروبي لعام 1875 أفضل أداة يمكن استخدامها لتحديد الجاذبية. قررت الجمعية لصالح البندول العكسي، وتقرر إعادة إجراء قياسات الجاذبية في برلين، في المحطة التي أجرى فيها فريدريك فيلهلم بيسل قياساته الشهيرة، باستخدام أجهزة متنوعة مستخدمة في بلدان مختلفة، وذلك لمقارنتها وبالتالي التوصل إلى معادلة لمقاييسها، بعد مناقشة معمقة شارك فيها الباحث الأمريكي تشارلز ساندرز بيرس . ^{[ 16 ]} في الواقع، بما أنه يمكن استنتاج شكل الأرض من تغيرات طول ثواني البندول ، فقد كلفت إدارة المسح الساحلي للولايات المتحدة تشارلز ساندرز بيرس في ربيع عام 1875 بالتوجه إلى أوروبا لإجراء تجارب البندول في المحطات الأولية الرئيسية لمثل هذه العمليات، وذلك لربط قياسات قوى الجاذبية في أمريكا بتلك الموجودة في أجزاء أخرى من العالم؛ وكذلك لغرض إجراء دراسة متأنية لأساليب إجراء هذه البحوث في مختلف دول أوروبا. ^{[ 17 ]}

كان قياس الجاذبية باستخدام البندول العكسي عرضةً لنوعين من الخطأ. أولهما مقاومة الهواء، وثانيهما الحركات التي تُحدثها تذبذبات البندول في مستوى تعليقه. وقد كانت هذه الحركات بالغة الأهمية في الجهاز الذي صممه الأخوان ريبسولد بناءً على توجيهات بيسل، نظرًا لكتلة البندول الكبيرة التي تُعادل تأثير لزوجة الهواء. وبينما كان إميل بلانتامور يُجري سلسلة من التجارب على هذا الجهاز، وجد أدولف هيرش طريقةً لإثبات حركات مستوى تعليق البندول من خلال عملية تضخيم بصري مبتكرة. وقد طوّر كلٌ من إسحاق-شارل إليزيه سيليرييه، عالم الرياضيات من جنيف، وتشارلز ساندرز بيرس، بشكلٍ مستقل، صيغة تصحيح سمحت باستخدام الملاحظات التي أُجريت باستخدام هذا النوع من مقاييس الجاذبية. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

شغل كارلوس إيبانيز إيبانيز دي إيبيرو منصب رئيس اللجنة الدائمة لقياس القوس الأوروبي من عام 1874 إلى عام 1886، ثم أصبح أول رئيس للجمعية الجيوديسية الدولية (1887-1891) بعد وفاة يوهان جاكوب باير . وخلال فترة رئاسة إيبانيز، اكتسبت الجمعية الجيوديسية الدولية بُعدًا عالميًا بانضمام الولايات المتحدة والمكسيك وتشيلي والأرجنتين واليابان . ونتيجةً لجهود الجمعية، تمكن فريدريش روبرت هيلمرت ^، عام 1901، من تحديد معايير القطع الناقص بدقةٍ ملحوظة، وذلك بالاعتماد بشكل أساسي على قياس الجاذبية . [ ^{20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}