دوال كلفن

في الرياضيات التطبيقية، تمثل دالتا كلفن ber _ν ( x ) و bei _ν ( x ) الأجزاء الحقيقية والخيالية ، على التوالي، لـ

${\displaystyle J_{\nu }\left(xe^{\frac {3\pi i}{4}}\right),\,}$

حيث x عدد حقيقي، و J _ν ( z ) هي دالة بيسل من النوع الأول من ^الرتبة ν . وبالمثل، فإن الدالتين ker _ν ( x ) و kei _ν ( x ) هما الجزءان الحقيقي والخيالي، على التوالي، من

${\displaystyle e^{-\nu \pi i/2}K_{\nu }\left(xe^{\frac {\pi i}{4}}\right),\,}$

حيث K _ν ( z ) هي دالة بيسل المعدلة من النوع الثاني من الرتبة ^ν .

هذه الوظائف سميت على اسم ويليام طومسون، البارون الأول كلفن .

بينما تُعرَّف دوال كلفن بأنها الأجزاء الحقيقية والخيالية لدوال بيسل عندما يكون x عددًا حقيقيًا، يمكن تمديد هذه الدوال تحليليًا للمتغيرات المركبة xe ^iφ ، حيث 0 ≤ φ < 2π . باستثناء ber _n ( x ) و bein _n ( x ) عندما يكون n عددًا صحيحًا ، فإن دوال كلفن لها نقطة تفرع عند x  =  0.

فيما يلي، Γ( z ) هي دالة جاما و ψ ( z ) هي دالة ديجاما .

بالنسبة للأعداد الصحيحة n ، فإن ber _n ( x ) لها متسلسلة توسيع

${\displaystyle \mathrm {ber} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k},}$

حيث Γ( z ) هي دالة غاما . الحالة الخاصة ber₀ ₍ x ) ، والتي يُشار إليها عادةً بـ ber( x )، لها متسلسلة تايلور.

${\displaystyle \mathrm {ber} (x)=1+\sum _{k\geq 1}{\frac {(-1)^{k}}{[(2k)!]^{2}}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{4k}}$

والمتسلسلات التقاربية

${\displaystyle \mathrm {ber} (x)\sim {\frac {e^{\frac {x}{\sqrt {2}}}}{\sqrt {2\pi x}}}\left(f_{1}(x)\cos \alpha +g_{1}(x)\sin \alpha \right)-{\frac {\mathrm {kei} (x)}{\pi }}}$،

أين

${\displaystyle \alpha ={\frac {x}{\sqrt {2}}}-{\frac {\pi }{8}},}$

${\displaystyle f_{1}(x)=1+\sum _{k\geq 1}{\frac {\cos(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}}$

${\displaystyle g_{1}(x)=\sum _{k\geq 1}{\frac {\sin(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}.}$

بالنسبة للأعداد الصحيحة n ، فإن الدالة bein ₍ x ) لها متسلسلة تايلور.

${\displaystyle \mathrm {bei} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}.}$

الحالة الخاصة bei ₀ ( x )، والتي يُشار إليها عادةً باسم bei( x )، لها متسلسلة توسيع

${\displaystyle \mathrm {bei} (x)=\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{[(2k+1)!]^{2}}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{4k+2}}$

والمتسلسلات التقاربية

${\displaystyle \mathrm {bei} (x)\sim {\frac {e^{\frac {x}{\sqrt {2}}}}{\sqrt {2\pi x}}}[f_{1}(x)\sin \alpha -g_{1}(x)\cos \alpha ]-{\frac {\mathrm {ker} (x)}{\pi }},}$

حيث α،${\displaystyle f_{1}(x)}$، و${\displaystyle g_{1}(x)}$يتم تعريفها على النحو التالي لـ ber( x ).

بالنسبة للأعداد الصحيحة n ، فإن ker _n ( x ) له متسلسلة (معقدة)

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {ker} _{n}(x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {ber} _{n}(x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {bei} _{n}(x)\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}.\end{aligned}}}$

الحالة الخاصة ker ₀ ( x )، والتي يُشار إليها عادةً باسم ker( x )، لها متسلسلة توسيع

${\displaystyle \mathrm {ker} (x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {ber} (x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {bei} (x)+\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}{\frac {\psi (2k+1)}{[(2k)!]^{2}}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{2k}}$

والمتسلسلة التقاربية

${\displaystyle \mathrm {ker} (x)\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-{\frac {x}{\sqrt {2}}}}[f_{2}(x)\cos \beta +g_{2}(x)\sin \beta ],}$

أين

${\displaystyle \beta ={\frac {x}{\sqrt {2}}}+{\frac {\pi }{8}},}$

${\displaystyle f_{2}(x)=1+\sum _{k\geq 1}(-1)^{k}{\frac {\cos(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}}$

${\displaystyle g_{2}(x)=\sum _{k\geq 1}(-1)^{k}{\frac {\sin(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}.}$

بالنسبة لعدد صحيح n ، فإن kein ₍ x ) لها متسلسلة تايلور

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {kei} _{n}(x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {bei} _{n}(x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {ber} _{n}(x)\\&-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}.\end{aligned}}}$

الحالة الخاصة kei ₀ ( x )، والتي يُشار إليها عادةً بـ kei( x )، لها متسلسلة توسيع

${\displaystyle \mathrm {kei} (x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {bei} (x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {ber} (x)+\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}{\frac {\psi (2k+2)}{[(2k+1)!]^{2}}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{2k+1}}$

والمتسلسلة التقاربية

${\displaystyle \mathrm {kei} (x)\sim -{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-{\frac {x}{\sqrt {2}}}}[f_{2}(x)\sin \beta +g_{2}(x)\cos \beta ],}$

حيث يتم تعريف β و f ₂ ( x ) و g ₂ ( x ) كما هو الحال بالنسبة لـ ker( x ).

• دالة بيسل

• أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين آن ، محرران. (1983) [يونيو 1964]. "الفصل 9" . دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . سلسلة الرياضيات التطبيقية. المجلد  55 (الطبعة التاسعة المعاد طباعتها مع تصحيحات إضافية للطبعة العاشرة الأصلية مع التصحيحات (ديسمبر 1972)؛  الطبعة الأولى). واشنطن العاصمة؛ نيويورك: وزارة التجارة الأمريكية، المكتب الوطني للمعايير؛ منشورات دوفر. ص  379. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .   
• أولفر، فرانك دبليو جيه؛ ماكسيمون، إل سي (2010)، "دوال بيسل" ، في أولفر، فرانك دبليو جيه ؛ لوزير، دانيال إم؛ بويسفيرت، رونالد إف؛ كلارك، تشارلز دبليو (محررون)، دليل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا للدوال الرياضية ، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ .

• وايسشتاين، إريك دبليو. "دوال كلفن". من MathWorld - مورد ويب من Wolfram.
• شفرة مصدرية بلغة C/C++ مرخصة بموجب رخصة GPL لحساب دوال كلفن على موقع codecogs.com: