نظرية لاغرانج العكسية

توجد حالة خاصة من نظرية لاغرانج العكسية تُستخدم في التوافقية وتُطبق عندما${\displaystyle f(w)=w/\phi (w)}$لبعض التحليلات${\displaystyle \phi (w)}$مع${\displaystyle \phi (0)\neq 0.}$يأخذ${\displaystyle a=0}$للحصول على${\displaystyle f(a)=f(0)=0.}$ثم بالنسبة للعكس${\displaystyle g(z)}$(مرضي)${\displaystyle f(g(z))\equiv z}$لدينا

${\displaystyle {\begin{aligned}g(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left(\left({\frac {w}{w/\phi (w)}}\right)^{n}\right)\right]{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left[{\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}(\phi (w)^{n})\right]z^{n},\end{aligned}}}$

والتي يمكن كتابتها بشكل بديل على النحو التالي

${\displaystyle [z^{n}]g(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}]\phi (w)^{n},}$

أين${\displaystyle [w^{r}]}$هو عامل يستخرج معامل${\displaystyle w^{r}}$في متسلسلة تايلور لدالة w .

يُعرف تعميم الصيغة باسم صيغة لاغرانج-بورمان :

${\displaystyle [z^{n}]H(g(z))={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](H'(w)\phi (w)^{n})}$

حيث H دالة تحليلية اختيارية.

في بعض الأحيان، قد يكون المشتق H ′ ( w ) معقدًا للغاية. يستبدل إصدار أبسط من الصيغة H ′ ( w ) بـ H ( w )(1 − φ ′ ( w )/ φ ( w )) للحصول على

${\displaystyle [z^{n}]H(g(z))=[w^{n}]H(w)\phi (w)^{n-1}(\phi (w)-w\phi '(w)),}$

والتي تتضمن φ ′ ( w ) بدلاً من H ′ ( w ) .

دالة لامبرت W هي الدالة${\displaystyle W(z)}$ذلك يتم تحديده ضمنيًا بواسطة المعادلة

${\displaystyle W(z)e^{W(z)}=z.}$

يمكننا استخدام النظرية لحساب متسلسلة تايلور لـ${\displaystyle W(z)}$في${\displaystyle z=0.}$نحن نأخذ${\displaystyle f(w)=we^{w}}$و${\displaystyle a=0.}$إدراكًا لذلك

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{\alpha x}=\alpha ^{n}e^{\alpha x},}$

هذا يعطي

${\displaystyle {\begin{aligned}W(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}e^{-nw}\right]{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).\end{aligned}}}$

نصف قطر تقارب هذه المتسلسلة هو${\displaystyle e^{-1}}$(مما يعطي الفرع الرئيسي لدالة لامبرت).

سلسلة تتقارب من أجل${\displaystyle |\ln(z)-1|<{\sqrt {4+\pi ^{2}}}}$(تقريبًا${\displaystyle 0.0655<z<112.63}$يمكن أيضًا اشتقاقها عن طريق عكس المتسلسلة. الدالة${\displaystyle f(z)=W(e^{z})-1}$يحقق المعادلة

${\displaystyle 1+f(z)+\ln(1+f(z))=z.}$

ثم${\displaystyle z+\ln(1+z)}$يمكن توسيعها إلى متسلسلة قوى وعكسها. ^{[ 12 ]} وهذا يعطي متسلسلة لـ${\displaystyle f(z+1)=W(e^{z+1})-1{\text{:}}}$

${\displaystyle W(e^{1+z})=1+{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{16}}-{\frac {z^{3}}{192}}-{\frac {z^{4}}{3072}}+{\frac {13z^{5}}{61440}}-O(z^{6}).}$

${\displaystyle W(x)}$يمكن حسابها عن طريق الاستبدال${\displaystyle \ln x-1}$بالنسبة لـ z في السلسلة أعلاه. على سبيل المثال، استبدال z بـ -1 يعطي قيمة${\displaystyle W(1)\approx 0.567143.}$

لننظر إلى المجموعة ^{[ 13 ]}${\displaystyle {\mathcal {B}}}$من الأشجار الثنائية غير المصنفة . عنصر من${\displaystyle {\mathcal {B}}}$إما أن تكون ورقة بحجم صفر، أو عقدة جذرية ذات شجرتين فرعيتين. يُرمز لها بـ${\displaystyle B_{n}}$عدد الأشجار الثنائية على${\displaystyle n}$العقد.

يؤدي حذف الجذر إلى تقسيم الشجرة الثنائية إلى شجرتين أصغر حجماً. وهذا ينتج عنه المعادلة الوظيفية للدالة المولدة.${\displaystyle \textstyle B(z)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}z^{n}{\text{:}}}$

${\displaystyle B(z)=1+zB(z)^{2}.}$

تأجير${\displaystyle C(z)=B(z)-1}$وبالتالي، يكون لدى المرء${\displaystyle C(z)=z(C(z)+1)^{2}.}$تطبيق النظرية مع${\displaystyle \phi (w)=(w+1)^{2}}$العائد

${\displaystyle B_{n}=[z^{n}]C(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](w+1)^{2n}={\frac {1}{n}}{\binom {2n}{n-1}}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}.}$

هذا يدل على أن${\displaystyle B_{n}}$هو العدد الكاتالوني رقم ن .

في نظرية لابلاس-إرديلي التي تعطي التقريب التقاربي للتكاملات من نوع لابلاس، يتم اعتبار عكس الدالة خطوة حاسمة.