دالة ليجندر

في العلوم الفيزيائية والرياضيات، تُعدّ دوال ليجندر Pλ _و Qλ ، ودوال ليجندر المرتبطة بها Pμλ ^و Qμλ ، _ودوال ^ليجندر من النوع الثاني Qn ، حلولًا لمعادلة ليجندر التفاضلية. كما تُعدّ كثيرات حدود ليجندر، _{وكثيرات حدود} ليجندر المرتبطة بها، _حلولًا لهذه المعادلة التفاضلية في حالات خاصة، والتي، بحكم كونها كثيرات حدود، تتمتع بعدد كبير من الخصائص الإضافية، والبنية الرياضية، والتطبيقات. للاطلاع على هذه الحلول متعددة الحدود، يُرجى مراجعة مقالات ويكيبيديا المُخصصة.

معادلة ليجندر العامة هي $${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''-2xy'+\left[\lambda (\lambda +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-x^{2}}}\right]y=0,}$$ حيث يمكن أن يكون العددان λ و μ عددين مركبين، ويُطلق عليهما درجة ورتبة الدالة المعنية، على التوالي. حلول كثيرات الحدود عندما يكون λ عددًا صحيحًا (يُرمز له بـ n )، و μ = 0 هي كثيرات حدود ليجندر P _{_n} ؛ وعندما يكون λ عددًا صحيحًا (يُرمز له بـ n )، و μ = m عدد صحيح أيضًا بحيث | m | < n، هي كثيرات حدود ليجندر المرتبطة بها. يمكن مناقشة جميع الحالات الأخرى لـ λ و μ كحالة واحدة، وتُكتب الحلول P_^μλ و Q_^μλ . إذا كان μ = 0 ، يُحذف الرمز العلوي، ويُكتب P_{_λ} و Q_λ فقط . مع ذلك، غالبًا ما يُناقش الحل Q_λ عندما يكون λ عددًا صحيحًا بشكل منفصل كدالة ليجندر من النوع الثاني، ويُرمز له بـ Q_{_n} .

هذه معادلة خطية من الدرجة الثانية بثلاث نقاط شاذة منتظمة (عند 1 ، -1 ، و∞ ) . ومثل جميع هذه المعادلات، يمكن تحويلها إلى معادلة تفاضلية فوق هندسية بتغيير المتغير، ويمكن التعبير عن حلولها باستخدام الدوال فوق الهندسية .

بما أن المعادلة التفاضلية خطية ومتجانسة (الطرف الأيمن = صفر) ومن الرتبة الثانية، فإن لها حلين مستقلين خطيًا، ويمكن التعبير عنهما بدلالة الدالة فوق الهندسية .${\displaystyle _{2}F_{1}}$. مع${\displaystyle \Gamma }$بما أن دالة غاما ، فإن الحل الأول هو $${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {z+1}{z-1}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu$$ ;{\frac {1-z}{2}}\right),\qquad {\text{لـ }}\ |1-z|<2,} والثاني هو $${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {e^{i\mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),\qquad {\text{لـ}}\ \ |z|>1.}$$

تُعرف هذه الدوال عمومًا بدوال ليجندر من النوع الأول والثاني ذات الدرجة غير الصحيحة، مع إضافة كلمة "مرتبطة" إذا كانت قيمة μ غير صفرية. وتُعد صيغة ويبل علاقة مفيدة بين حلول P و Q.

الحل غير متعدد الحدود للحالة الخاصة ذات الدرجة الصحيحة ${\displaystyle \lambda =n\in \mathbb {N} _{0}}$، و${\displaystyle \mu =0}$غالبًا ما تتم مناقشتها بشكل منفصل. يتم تقديمها بواسطة $${\displaystyle Q_{n}(x)={\frac {n!}{1\cdot 3\cdots (2n+1)}}\left(x^{-(n+1)}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2\cdot 4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right)}$$

هذا الحل يكون بالضرورة حلاً منفرداً عندما${\displaystyle x=\pm 1}$.

يمكن أيضًا تعريف دوال ليجندر من النوع الثاني بشكل تكراري باستخدام صيغة بونيه التكرارية.$${\displaystyle Q_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\log {\frac {1+x}{1-x}}&n=0\\P_{1}(x)Q_{0}(x)-1&n=1\\{\frac {2n-1}{n}}xQ_{n-1}(x)-{\frac {n-1}{n}}Q_{n-2}(x)&n\geq 2\,.\end{cases}}}$$

الحل غير متعدد الحدود للحالة الخاصة ذات الدرجة الصحيحة${\displaystyle \lambda =n\in \mathbb {N} _{0}}$، و${\displaystyle \mu =m\in \mathbb {N} _{0}}$يُعطى بواسطة $${\displaystyle Q_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}Q_{n}(x)\,.}$$

يمكن كتابة دوال ليجندر على شكل تكاملات كونتورية. على سبيل المثال، $${\displaystyle P_{\lambda }(z)=P_{\lambda }^{0}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{1,z}{\frac {(t^{2}-1)^{\lambda }}{2^{\lambda }(t-z)^{\lambda +1}}}dt}$$ حيث يلتف المسار حول النقطتين 1 و z في الاتجاه الموجب ولا يلتف حول النقطة -1 . بالنسبة لقيم x الحقيقية ، لدينا $${\displaystyle P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C} }$$

التمثيل التكاملي الحقيقي لـ${\displaystyle P_{s}}$تُعد هذه الأدوات مفيدة للغاية في دراسة التحليل التوافقي على${\displaystyle L^{1}(G//K)}$أين${\displaystyle G//K}$هو فضاء المشاركة المزدوجة لـ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$(انظر الدالة الكروية القطاعية ). في الواقع، تحويل فورييه على${\displaystyle L^{1}(G//K)}$يُعطى بواسطة $${\displaystyle L^{1}(G//K)\ni f\mapsto {\hat {f}}}$$ أين $${\displaystyle {\hat {f}}(s)=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{s}(x)dx,\qquad -1\leq \Re (s)\leq 0}$$

_تكون دوال ليجندر Pλ ذات الدرجة غير الصحيحة غير محدودة في الفترة [-1، 1]. في التطبيقات الفيزيائية، غالبًا ما يُوفر هذا معيارًا للاختيار. في الواقع، نظرًا لأن دوال ليجندر _Qλ من النوع الثاني غير محدودة دائمًا، فإنه لكي يكون هناك حل محدود لمعادلة ليجندر، يجب أن تكون الدرجة عددًا صحيحًا: فقط للدرجات الصحيحة، تختزل دوال ليجندر من النوع الأول إلى كثيرات حدود ليجندر، وهي محدودة في الفترة [-1، 1]. يمكن إثبات ^{[ 2 ]} أن تفرد دوال ليجندر Pλ للدرجات غير الصحيحة هو نتيجة لتناظر المرآة لمعادلة ليجندر. وبالتالي _، يوجد تناظر في ظل قاعدة الاختيار المذكورة آنفًا.

• وظيفة فيريرز

• أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين آن ، محرران. (1983) [يونيو 1964]. "الفصل 8" . دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . سلسلة الرياضيات التطبيقية. المجلد  55 (الطبعة التاسعة المعاد طباعتها مع تصحيحات إضافية للطبعة العاشرة الأصلية مع التصحيحات (ديسمبر 1972)؛  الطبعة الأولى). واشنطن العاصمة؛ نيويورك: وزارة التجارة الأمريكية، المكتب الوطني للمعايير؛ منشورات دوفر. ص  332. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .   
• كوران، ريتشارد ؛ هيلبرت، ديفيد (1953)، أساليب الفيزياء الرياضية، المجلد 1 ، نيويورك: دار إنترساينس للنشر.
• دانستر، تي إم (2010)، "دوال ليجندر والدوال ذات الصلة" ، في أولفر، فرانك دبليو جيه ؛ لوزير، دانيال إم؛ بويسفيرت، رونالد إف؛ كلارك، تشارلز دبليو (محررون)، دليل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا للدوال الرياضية ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ .
• إيفانوف، أ.ب. (2001) [1994]، "دالة ليجندر" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• سنو، تشيستر (1952) [1942]، الدوال فوق الهندسية ودوال ليجندر مع تطبيقات على المعادلات التكاملية لنظرية الكمون ، سلسلة الرياضيات التطبيقية للمكتب الوطني للمعايير، رقم 19، واشنطن العاصمة: مكتب الطباعة الحكومي الأمريكي، hdl : 2027/mdp.39015011416826 ، MR 0048145 
• ويتاكر، إي تي ؛ واتسون، جي إن (1963)، دورة في التحليل الحديث ، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-58807-2{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

• دالة ليجندر P على موقع دوال وولفرام.
• دالة ليجندر Q على موقع دوال وولفرام.
• دالة ليجندر المرتبطة P على موقع دوال وولفرام.
• دالة ليجندر المرتبطة Q على موقع دوال وولفرام.