نصف حلقة خشبية

في الرياضيات ، وتحديدًا في مجال التحليل الاستوائي ، تُعرف شبه الحلقة اللوغاريتمية بأنها بنية شبه الحلقة على المقياس اللوغاريتمي ، والتي تُحصل عليها من خلال اعتبار الأعداد الحقيقية الموسعة كلوغاريتمات . أي أن عمليتي الجمع والضرب تُحددان بالاقتران : رفع الأعداد الحقيقية إلى أس، فنحصل على عدد موجب (أو صفر)، ثم نجمع أو نضرب هذه الأعداد بالعمليات الجبرية المعتادة على الأعداد الحقيقية، ثم نأخذ اللوغاريتم لعكس عملية الرفع إلى الأس. تُعرف هذه العمليات أيضًا، على سبيل المثال، بالجمع اللوغاريتمي ، وما إلى ذلك. وكما هو معتاد في التحليل الاستوائي، يُرمز للعمليات بالرمزين ⊕ و ⊗ لتمييزها عن الجمع + والضرب × (أو ⋅) المعتادين. تعتمد هذه العمليات على اختيار الأساس b للأس واللوغاريتم (حيث b هو اختيار وحدة لوغاريتمية )، والذي يُقابل عامل المقياس، وهي مُعرّفة جيدًا لأي أساس موجب غير 1. إن استخدام أساس b < 1 يكافئ استخدام إشارة سالبة واستخدام المعكوس 1/ b > 1. [ ^{أ ] إذا} لم يتم تحديد الأساس، فإنه يُؤخذ عادةً على أنه e أو 1/ e ، وهو ما يتوافق مع e مع إشارة سالبة.

الحلقة شبه اللوغاريتمية لها الحلقة شبه الاستوائية كحد (" الاستوائية "، "إلغاء التكميم") عندما تؤول القاعدة إلى اللانهاية .${\displaystyle b\to \infty }$( حلقة شبه قصوى زائدة ) أوإلى الصفر${\displaystyle b\to 0}$( حلقة شبهية دنيا زائدة )، وبالتالي يمكن اعتبارها تشويهاً ("تكميماً") للحلقة شبهية الاستوائية. والجدير بالذكر أن عملية الجمع، logadd (للحدود المتعددة، LogSumExp ) ،يمكن اعتبارها تشويهاً للقيمة العظمى أو الصغرى . للحلقة شبهية اللوغاريتمية تطبيقات في التحسين الرياضي ، لأنها تستبدل القيم العظمى والصغرى غير الملساء بعملية سلسة. كما تظهر الحلقة شبهية اللوغاريتمية عند التعامل مع الأعداد اللوغاريتمية (المقاسة على مقياس لوغاريتمي )، مثل الديسيبل (انظر الديسيبل §  الجمع )، أو لوغاريتم الاحتمالية ، أو لوغاريتمات الاحتمالية .

يمكن تعريف العمليات على شبه الحلقة اللوغاريتمية خارجيًا عن طريق ربطها بالأعداد الحقيقية غير السالبة، وإجراء العمليات عليها، ثم إعادتها إلى شبه الحلقة اللوغاريتمية. تشكل الأعداد الحقيقية غير السالبة، مع عمليتي الجمع والضرب المعتادتين، شبه حلقة (لا توجد أعداد سالبة)، تُعرف بشبه حلقة الاحتمالات ، لذا يمكن اعتبار عمليات شبه الحلقة اللوغاريتمية بمثابة عمليات عكسية للعمليات على شبه حلقة الاحتمالات، وهذه العمليات متماثلة كحلقات.

بصورة رسمية، بالنظر إلى الأعداد الحقيقية الموسعة R ∪ {–∞, +∞ } ^{[ b ]} وقاعدة موجبة b ≠ 1 ، يتم تعريف ما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}x\oplus _{b}y&=\log _{b}\left(b^{x}+b^{y}\right)\\x\otimes _{b}y&=\log _{b}\left(b^{x}\times b^{y}\right)=\log _{b}\left(b^{x+y}\right)=x+y.\end{aligned}}}$

بغض النظر عن الأساس، فإن ضرب اللوغاريتمات هو نفسه الجمع المعتاد.${\displaystyle x\otimes _{b}y=x+y}$بما أن اللوغاريتمات تحول الضرب إلى جمع، فإن جمع اللوغاريتمات يعتمد على الأساس. وحدات الجمع والضرب المعتادة هي 0 و1؛ وبناءً على ذلك، فإن وحدة جمع اللوغاريتمات هي 1.${\displaystyle \log _{b}0=-\infty }$ل${\displaystyle b>1}$و${\displaystyle \log _{b}0=-\log _{1/b}0=+\infty }$ل${\displaystyle b<1}$ووحدة ضرب اللوغاريتمات هي${\displaystyle \log 1=0}$بغض النظر عن القاعدة.

وبصورة أكثر إيجازًا، يمكن تعريف حلقة اللوغاريتمات الوحدوية ذات الأساس e على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}x\oplus y&=\log \left(e^{x}+e^{y}\right)\\x\otimes y&=x+y.\end{aligned}}}$

مع وحدة جمع −∞ ووحدة ضرب 0؛ وهذا يتوافق مع اتفاقية الحد الأقصى.

كما أن الاصطلاح المعاكس شائع أيضًا، ويتوافق مع الأساس 1/ e ، وهو الاصطلاح الأدنى: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x\oplus y&=-\log \left(e^{-x}+e^{-y}\right)\\x\otimes y&=x+y.\end{aligned}}}$

بوحدة جمع +∞ ووحدة ضرب 0.

إن شبه الحلقة اللوغاريتمية هي في الواقع شبه حقل ، لأن جميع الأعداد باستثناء الوحدة الجمعية −∞ (أو +∞ ) لها معكوس ضربي، يُعطى بواسطة${\displaystyle -x,}$منذ${\displaystyle x\otimes -x=\log _{b}(b^{x}\cdot b^{-x})=\log _{b}(1)=0.}$وبالتالي، فإن قسمة اللوغاريتم ⊘ معرفة جيدًا، على الرغم من أن طرح اللوغاريتم ⊖ ليس معرفًا دائمًا.

يمكن تعريف المتوسط ​​عن طريق جمع اللوغاريتمات وقسمتها ( كمتوسط ​​حسابي شبه مطابق للأس)، كما

${\displaystyle M_{\mathrm {lm} }(x,y):=(x\oplus y)\oslash 2=\log _{b}{\bigl (}(b^{x}+b^{y})/2{\bigr )}=\log _{b}(b^{x}+b^{y})-\log _{b}2=(x\oplus y)-\log _{b}2.}$

هذا مجرد جمع تم إزاحته بمقدار${\displaystyle -\log _{b}2,}$لأن القسمة اللوغاريتمية تقابل الطرح الخطي.

الحلقة شبه اللوغاريتمية لها المقياس الإقليدي المعتاد، والذي يتوافق مع المقياس اللوغاريتمي على الأعداد الحقيقية الموجبة .

وبالمثل، فإن شبه الحلقة اللوغاريتمية لها مقياس ليبيغ المعتاد ، وهو مقياس ثابت بالنسبة للضرب اللوغاريتمي (الجمع المعتاد، والتحويل الهندسي) والذي يتوافق مع المقياس اللوغاريتمي على شبه الحلقة الاحتمالية .

• المتوسط ​​اللوغاريتمي
• لوغاريتم المجموع الأسي
• سوفتماكس