بدون فقدان العمومية
بدون فقدان العمومية (غالبًا ما يتم اختصاره إلى WOLOG أو WLOG أو wlog ؛ أقل شيوعًا كما هو موضح بدون أي فقدان للعمومية أو بدون فقدان العمومية ) هو تعبير يستخدم بشكل متكرر في الرياضيات . يستخدم المصطلح للإشارة إلى الافتراض بأن ما يلي يتم اختياره بشكل تعسفي، مما يضيق الفرضية إلى حالة معينة، ولكن لا يؤثر على صحة الإثبات بشكل عام. الحالات الأخرى متشابهة بدرجة كافية مع الحالة المقدمة بحيث يتبع إثباتها نفس المنطق بشكل أساسي. [1] ونتيجة لذلك، بمجرد تقديم دليل للحالة المعينة، يكون من السهل تكييفه لإثبات الاستنتاج في جميع الحالات الأخرى.
في العديد من السيناريوهات، يصبح استخدام "بدون فقدان العمومية" ممكنًا من خلال وجود التناظر . [2] على سبيل المثال، إذا كان من المعروف أن بعض خصائص P ( x ، y ) للأعداد الحقيقية متناظرة في x و y ، أي أن P ( x ، y ) تعادل P ( y ، x )، فعند إثبات أن P ( x ، y ) تنطبق على كل x و y ، يمكن للمرء أن يفترض "بدون فقدان العمومية" أن x ≤ y . لا يوجد فقدان للعمومية في هذا الافتراض، لأنه بمجرد إثبات الحالة x ≤ y ⇒ P ( x ، y )، تتبع الحالة الأخرى عن طريق تبادل x و y : y ≤ x ⇒ P ( y ، x )، ومن خلال تناظر P ، فإن هذا يعني P ( x ، y )، مما يدل على أن P ( x ، y ) تنطبق على جميع الحالات.
من ناحية أخرى، إذا لم يكن من الممكن إثبات مثل هذا التناظر أو أي شكل آخر من أشكال التكافؤ، فإن استخدام "دون فقدان العمومية" غير صحيح ويمكن أن يرقى إلى حالة من الإثبات بالمثال - مغالطة منطقية لإثبات الادعاء من خلال إثبات مثال غير تمثيلي. [3]
مثال
خذ بعين الاعتبار النظرية التالية (وهي حالة من مبدأ برج الحمام ):
إذا تم طلاء ثلاثة أشياء باللون الأحمر أو الأزرق، فيجب أن يكون هناك على الأقل شيئان من نفس اللون.
دليل:
لنفترض، دون فقدان العمومية، أن الجسم الأول أحمر. إذا كان أي من الجسمين الآخرين أحمر، فهذا يعني أننا انتهينا؛ وإذا لم يكن كذلك، فيجب أن يكون الجسمان الآخران أزرقين وننتهي.
الحجة المذكورة أعلاه صحيحة لأن نفس المنطق يمكن تطبيقه إذا تم وضع الافتراض البديل، أي أن الجسم الأول أزرق اللون، أو على نحو مماثل، إذا كان من الممكن تبادل الكلمتين "أحمر" و"أزرق" بحرية في صياغة الإثبات. ونتيجة لهذا، فإن استخدام "دون فقدان العمومية" صحيح في هذه الحالة.
انظر أيضا
مراجع
- ^ Chartrand, Gary ; Polimeni, Albert D.; Zhang, Ping (2008). Mathematical Proofs / A Transition to Advanced Mathematics (الطبعة الثانية). Pearson/Addison Wesley. ص 80-81. ISBN 978-0-321-39053-0.
- ^ Dijkstra, Edsger W. (1997). "WLOG, or the misery of the unordered pair (EWD1223)". في Broy, Manfred; Schieder, Birgit (eds.). الطرق الرياضية في تطوير البرامج (PDF) . سلسلة NATO ASI F: علوم الحاسب والأنظمة. المجلد 158. سبرينغر. ص 33-34. doi :10.1007/978-3-642-60858-2_9.
- ^ "متباينة غير دورية في ثلاثة متغيرات". www.cut-the-knot.org . تم الاسترجاع في 2019-10-21 .
روابط خارجية
- WLOG في PlanetMath .
- "بدون فقدان العمومية" بقلم جون هاريسون - مناقشة رسمية لحجج "WLOG" في أداة إثبات النظريات الآلية.
