جبر الخرائط

جبر الخرائط هو نوع من الجبر يُستخدم لمعالجة البيانات الجغرافية ، وخاصة الحقول . طُوّر هذا النوع من الجبر على يد الدكتور دانا توملين وآخرين في أواخر سبعينيات القرن الماضي، وهو عبارة عن مجموعة من العمليات الأساسية في نظام المعلومات الجغرافية (GIS) التي تسمح لطبقة أو أكثر من طبقات البيانات النقطية ("الخرائط") ذات الأبعاد المتشابهة بإنتاج طبقة بيانات نقطية جديدة (خريطة) باستخدام عمليات رياضية أو غيرها مثل الجمع والطرح وما إلى ذلك.

قبل ظهور نظم المعلومات الجغرافية، تطور مبدأ التراكب كطريقة لتركيب خرائط موضوعية مختلفة (عادةً خريطة متساوية الأبعاد أو خريطة لونية ) مرسومة على غشاء شفاف (مثل أسيتات السليلوز ) لرؤية التفاعلات وتحديد المواقع ذات الخصائص المحددة. ^{[ 1 ]} وقد طُوّرت هذه التقنية بشكل كبير من قبل مهندسي المناظر الطبيعية ومخططي المدن ، بدءًا من وارن مانينغ ، ثم جرى تحسينها ونشرها على نطاق واسع من قبل جاكلين تيرويت وإيان ماكهارغ وآخرين خلال الخمسينيات والستينيات. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

في منتصف سبعينيات القرن العشرين، طوّر طالب هندسة المناظر الطبيعية، سي. دانا توملين، بعضًا من أوائل الأدوات لتحليل التراكب في البيانات النقطية كجزء من مشروع IMGRID في مختبر هارفارد لرسومات الحاسوب والتحليل المكاني ، والذي حوّله لاحقًا إلى حزمة تحليل الخرائط (MAP)، وهي نظام معلومات جغرافية نقطي شائع خلال ثمانينيات القرن العشرين. وأثناء دراسته العليا في جامعة ييل ، أعاد توملين وجوزيف ك. بيري صياغة هذه الأدوات كنموذج رياضي، أطلقوا عليه بحلول عام 1983 اسم "جبر الخرائط". ^{[ 5 ] [ 6 ]} وكان هذا الجهد جزءًا من تطوير توملين للنمذجة الخرائطية ، وهي تقنية تستخدم عمليات البيانات النقطية هذه لتنفيذ إجراءات التراكب اليدوية لماكهارج. على الرغم من أن العمليات الأساسية قد حُدِّدت في أطروحته للدكتوراه عام 1983، إلا أن توملين كان قد صقل مبادئ جبر الخرائط والنمذجة الكارتوغرافية إلى شكلها الحالي بحلول عام 1990. ^{[ 7 ] [ 8 ]} ورغم أن مصطلح "النمذجة الكارتوغرافية" لم يحظَ بقبول واسع النطاق مثل مرادفاته كتحليل الملاءمة ، ونمذجة الملاءمة، واتخاذ القرارات متعددة المعايير، فقد أصبح "جبر الخرائط" جزءًا أساسيًا من نظم المعلومات الجغرافية. ولأن توملين قد نشر الشفرة المصدرية لبرنامج MAP، فقد تم تطبيق خوارزمياته (مع درجات متفاوتة من التعديل) كأداة تحليل في جميع برامج نظم المعلومات الجغرافية النقطية تقريبًا بدءًا من ثمانينيات القرن الماضي، بما في ذلك GRASS وIDRISI (التي تُعرف الآن باسم TerrSet ) ووحدة GRID في برنامج ARC/INFO (التي دُمجت لاحقًا في وحدة Spatial Analyst في برنامج ArcGIS).

أدى هذا التطبيق الواسع النطاق إلى تطوير العديد من الإضافات لجبر الخرائط، وذلك في أعقاب الجهود المبذولة لتوسيع نموذج بيانات الصور النقطية ، مثل إضافة وظائف جديدة لتحليل الشبكات المكانية والزمانية والثلاثية الأبعاد . ^{[ 9 ] [ 10 ]}

كغيرها من البنى الجبرية ، تتألف جبر الخرائط من مجموعة من الكائنات ( المجال ) ومجموعة من العمليات التي تُجري على هذه الكائنات بطريقة مغلقة (أي أن نتيجة العملية تقع ضمن المجال نفسه، وليست شيئًا مختلفًا تمامًا). في هذه الحالة، يُمثل المجال مجموعة جميع "الخرائط" الممكنة، والتي تُنفذ عادةً على شكل شبكات نقطية . الشبكة النقطية عبارة عن مصفوفة ثنائية الأبعاد من الخلايا (أطلق عليها توملين اسم المواقع أو النقاط )، حيث تشغل كل خلية مساحة مربعة من الفضاء الجغرافي، ويتم ترميزها بقيمة تُمثل الخاصية المقاسة لظاهرة جغرافية معينة (عادةً حقل ) في ذلك الموقع. تقوم كل عملية بما يلي: 1) استقبال شبكة نقطية واحدة أو أكثر كمدخلات، 2) إنشاء شبكة إخراج ذات هندسة خلايا مطابقة، 3) مسح كل خلية من شبكة الإدخال (أو الخلايا المتطابقة مكانيًا في مدخلات متعددة)، 4) إجراء العملية على قيمة (قيم) الخلية، وكتابة النتيجة في الخلية المقابلة في شبكة الإخراج. ^{[ 7 ]} في الأصل، كان يُشترط أن تتطابق هندسة خلايا شبكات الإدخال والإخراج (أي تغطي نفس النطاق المكاني بنفس ترتيب الخلايا، بحيث تتوافق كل خلية بين المدخلات والمخرجات)، ولكن العديد من تطبيقات نظم المعلومات الجغرافية الحديثة لا تشترط ذلك، حيث تُجري الاستيفاء حسب الحاجة لاستخلاص القيم في المواقع المتناظرة. ^{[ 11 ]}

قام توملين بتصنيف العديد من عمليات جبر الخرائط الممكنة إلى ثلاثة أنواع، والتي تضيف إليها بعض الأنظمة نوعًا رابعًا: ^{[ 12 ]}

المشغلون المحليون

العمليات التي تُجرى على موقع خلية واحد في كل مرة خلال مرحلة المسح. مثال بسيط على ذلك هو عملية الجمع: لحساب MAP3 = MAP1 + MAP2، يقوم البرنامج بمسح كل خلية متطابقة في شبكات الإدخال، ويجمع القيم العددية في كل خلية باستخدام العمليات الحسابية العادية، ويضع النتيجة في الخلية المتطابقة في شبكة الإخراج. بفضل هذا التقسيم للعمليات على الخرائط إلى عمليات على قيم الخلايا الفردية، يمكن تنفيذ أي عملية تُجرى على الأرقام (مثل الحساب، والإحصاء، وعلم المثلثات، والمنطق) في جبر الخرائط. على سبيل المثال، تأخذ عملية المتوسط ​​المحلي شبكتين أو أكثر وتحسب المتوسط ​​الحسابي لكل مجموعة من الخلايا المتناظرة مكانيًا. بالإضافة إلى ذلك، تم تحديد مجموعة من العمليات الخاصة بنظم المعلومات الجغرافية، مثل إعادة تصنيف نطاق كبير من القيم إلى نطاق أصغر من القيم (على سبيل المثال، 45 فئة من فئات الغطاء الأرضي إلى 3 مستويات من ملاءمة الموائل)، والتي يعود تاريخها إلى تطبيق IMGRID الأصلي في عام 1975. ^{[ 13 ]} يتمثل الاستخدام الشائع للوظائف المحلية في تنفيذ النماذج الرياضية ، مثل المؤشر ، المصممة لحساب قيمة ناتجة في موقع ما من مجموعة من متغيرات الإدخال.

مشغلات التركيز

تُستخدم الدوال التي تعمل على نطاق هندسي حول كل خلية. ومن الأمثلة الشائعة حساب الميل من شبكة قيم الارتفاع. عند النظر إلى خلية واحدة ذات ارتفاع واحد، يستحيل تحديد اتجاه مثل الميل. لذا، يُحسب ميل كل خلية من قيمة الخلية المقابلة لها في شبكة الارتفاع المدخلة وقيم جيرانها المباشرين. تسمح دوال أخرى بتحديد حجم وشكل النطاق (مثل دائرة أو مربع بأي حجم). على سبيل المثال، يمكن استخدام عامل FocalMean لحساب متوسط ​​جميع الخلايا ضمن دائرة قطرها 1000 متر من كل خلية.

المشغلون الإقليميون

الدوال التي تعمل على مناطق ذات قيم متطابقة. تُستخدم هذه الدوال عادةً مع الحقول المنفصلة (المعروفة أيضًا بالتغطيات الفئوية)، حيث يُقسّم الفضاء إلى مناطق ذات قيمة اسمية أو فئوية متجانسة لخاصية ما، مثل الغطاء الأرضي ، أو استخدام الأراضي ، أو نوع التربة ، أو التكوين الجيولوجي السطحي . على عكس الدوال المحلية والبؤرية، لا تعمل الدوال المناطقية على كل خلية على حدة؛ بل تُؤخذ جميع خلايا القيمة المعطاة كمدخلات لعملية حسابية واحدة، مع كتابة مخرجات متطابقة في جميع الخلايا المقابلة. على سبيل المثال، تأخذ دالة المتوسط ​​المناطقي طبقتين، إحداهما تحتوي على قيم تمثل المناطق (مثل أنواع النباتات السائدة )، والأخرى تحتوي على خاصية كمية ذات صلة (مثل النسبة المئوية لتغطية الغطاء النباتي). لكل قيمة فريدة موجودة في الشبكة الأولى، يجمع البرنامج جميع الخلايا المقابلة في الشبكة الثانية، ويحسب المتوسط ​​الحسابي ، ويكتب هذه القيمة في جميع الخلايا المقابلة في شبكة المخرجات.

المشغلون العالميون

الدوال التي تلخص الشبكة بأكملها. لم تُدرج هذه الدوال في عمل توملين، ولا تُعد جزءًا من جبر الخرائط من الناحية التقنية، لأن نتيجة العملية ليست شبكة نقطية (أي أنها ليست مغلقة )، بل قيمة واحدة أو جدول ملخص. مع ذلك، من المفيد إدراجها ضمن مجموعة العمليات العامة. على سبيل المثال، يحسب عامل GlobalMean المتوسط ​​الحسابي لجميع خلايا شبكة الإدخال ويعيد قيمة متوسطة واحدة. يعتبر البعض أيضًا العوامل التي تُنشئ شبكة جديدة بتقييم الأنماط عبر شبكة الإدخال بأكملها عوامل شاملة، والتي يمكن اعتبارها جزءًا من الجبر. ومن أمثلة هذه العوامل عوامل تقييم مسافة التكلفة . ^{[ 14 ]}

تقوم العديد من حزم برامج نظم المعلومات الجغرافية بتطبيق مفاهيم جبر الخرائط، بما في ذلك PostGIS و ERDAS Imagine و QGIS و GRASS GIS و TerrSet و PCRaster و ArcGIS .

في صياغة توملين الأصلية لنمذجة الخرائط في حزمة تحليل الخرائط، صمم لغة إجرائية بسيطة تعتمد على عوامل الجبر، مما يسمح بدمجها في إجراء كامل مع هياكل إضافية مثل التفرع الشرطي والتكرار. ^{[ 8 ]} مع ذلك، في معظم التطبيقات الحديثة، تُعد عمليات جبر الخرائط عادةً أحد مكونات نظام معالجة إجرائي عام، مثل أداة النمذجة المرئية أو لغة البرمجة النصية. على سبيل المثال، يُنفذ ArcGIS جبر الخرائط في كلٍ من أداة ModelBuilder المرئية وفي لغة بايثون . هنا، تتيح إمكانية التحميل الزائد في بايثون ^{[ 15 ]} استخدام عوامل ووظائف بسيطة لشبكات البيانات النقطية. على سبيل المثال، يمكن ضرب البيانات النقطية باستخدام عامل الضرب الحسابي "*" نفسه المستخدم لضرب الأرقام. ^{[ 16 ]}

إليكم تطبيقًا حديثًا لتقنية MapAlgebra، يقوم بتضمين تعبيرات جبر الخرائط في لغة SQL (لبرنامج PostGIS وغيره)، انظر دليل الوظائفST_MapAlgebra() :

WITH foo AS ( SELECT ST_AddBand ( ST_MakeEmptyRaster ( 10 , 10 , 0 , 0 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0 ), '32BF' :: text , 1 , - 1 ) AS rast ) SELECT ST_MapAlgebra ( rast , 1 , NULL , 'ceil([rast]*[rast.x]/[rast.y]+[rast.val])' ) FROM foo ;

فيما يلي بعض الأمثلة بلغة MapBasic ، وهي لغة البرمجة النصية لبرنامج MapInfo Professional :

# عرض توضيحي لمجموعة بيانات بركة براون | أضف طبقات الارتفاع # التطوير – 0: شاغر، 1: رئيسي، 2: ثانوي، 3: منازل، 4: مبانٍ، 5: أسمنت # الماء – 0: جاف، 2: رطب، 3: بركة # حساب الميل عند كل موقع بناءً على الارتفاع الميل = الانحدار المتزايد للارتفاع # تحديد المناطق شديدة الانحدار الانحدار الشديد = التصنيف المحلي للانحدار حيث يحل الرقم 1 محل الأرقام 4 و5 و6 حيث يحل VOID محل ... # إنشاء طبقة توحد المياه والتنمية مشغول = التقييم المحلي للتطوير حيث يحل الماء محل الفراغ ليس سيئًا = التقييم المحلي للمكان المأهول والمنحدر بشدة حيث يحل الرقم 1 محل كلمتي VOID و VOID حيث يحل VOID محل ... و ... الطرق = التقييم المحلي للتطوير حيث يحل الرقم 1 محل الرقم 1 2 حيث يحل VOID محل ... nearread = FocalNeighbor للطرق عند 0 ... 10 الجانب = الجانب التزايدي للارتفاع الواجهة الجنوبية = التقييم المحلي للاتجاه حيث يحل الرقم 1 محل الأرقام من 135 إلى 225 حيث يحل VOID محل ... المواقع = الحد الأدنى المحلي من قرب الطريق والواجهة الجنوبية، وليست سيئة sitenums = FocalInsularity للمواقع عند 0 ... 1 حجم الموقع = مجموع المناطق الذي يساوي 1 ضمن أرقام المواقع bestsites = LocalRating لحجم الموقع حيث يحل حجم الموقع محل 100 ... 300 حيث يحل VOID محل ... 

• علم التشكل الرياضي
• المجال (الجغرافيا)

• osGeo-RFC-39 حول جبر الطبقات

• BE Davis GIS: A Visual Approach (2001 Cengage Learning) ص.  249 وما بعدها.