نظرية ماكسويل

في نظرية الاحتمالات ، تنص نظرية ماكسويل (المعروفة أيضًا باسم نظرية هيرشل-ماكسويل واشتقاق هيرشل-ماكسويل ) على أنه إذا كان التوزيع الاحتمالي لمتجه عشوائي في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$لا تتغير بفعل الدوران، وإذا كانت المكونات مستقلة، فإن المكونات موزعة بشكل متطابق وموزعة بشكل طبيعي.

إذا كان التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي متجهي X = ( X₁ _, ..., Xₙ ) ^T هو نفسه توزيع GX لكل مصفوفة متعامدة G من الرتبة n × n _، وكانت مكوناته مستقلة ، فإن المكونات X₁ , ..., Xₙ تتوزع توزيعًا طبيعيًا بقيمة متوقعة تساوي _{صفرًا ،} ولها جميعًا نفس التباين . تُعد هذه النظرية إحدى خصائص التوزيع الطبيعي.

التوزيعات الاحتمالية الوحيدة الثابتة دورانيًا على R ⁿ والتي لها مكونات مستقلة هي التوزيعات الطبيعية متعددة المتغيرات ذات القيمة المتوقعة 0 والتباين σ 2 I n ، ⁽ حيث _I n = _مصفوفة الوحدة n × n )، لبعض الأرقام الموجبة σ ² .

أثبت جون هيرشل النظرية في عام 1850. ^{[ 1 ] [ 2 ]} وبعد عشر سنوات، أثبت جيمس كلارك ماكسويل النظرية في الاقتراح الرابع من بحثه الذي نُشر عام 1860. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

نحتاج فقط إلى إثبات النظرية للحالة ثنائية الأبعاد، لأنه يمكننا بعد ذلك تعميم النظرية إلى n-أبعاد عن طريق تطبيق النظرية الخاصة بالبعدين على كل زوج من الإحداثيات بشكل متسلسل.

بما أن الدوران بزاوية 90 درجة يحافظ على التوزيع المشترك ،${\displaystyle X_{1}}$و${\displaystyle X_{2}}$لنفترض أن لها نفس مقياس الاحتمالية :${\displaystyle \mu }$. لو${\displaystyle \mu }$إذا كان توزيع ديراك دلتا عند الصفر، فهو على وجه الخصوص توزيع غاوسي منحل. لنفترض الآن أن${\displaystyle \mu }$لا يمثل توزيع ديراك دلتا عند الصفر.

باستخدام نظرية تفكيك لوبيغ ، يمكننا التفكيك${\displaystyle \mu }$إلى مجموع مقياس منتظم ومقياس ذري :${\displaystyle \mu =\mu _{r}+\mu _{s}}$علينا أن نثبت ذلك${\displaystyle \mu _{s}=0}$نمضي قدماً بالتناقض . لنفترض${\displaystyle \mu _{s}}$إذا احتوى على جزء ذري، فإنه يوجد بعض${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$بحيث${\displaystyle \mu _{s}(\{x\})>0}$باستقلال${\displaystyle X_{1},X_{2}}$المتغير الشرطي${\displaystyle X_{2}|\{X_{1}=x\}}$يتم توزيعها بنفس طريقة${\displaystyle X_{2}}$. يفترض${\displaystyle x=0}$، ثم بما أننا افترضنا${\displaystyle \mu }$لا تتركز عند الصفر،${\displaystyle Pr(X_{2}\neq 0)>0}$وهكذا الشعاع المزدوج${\displaystyle \{(x_{1},x_{2}):x_{1}=0,x_{2}\neq 0\}}$له احتمال غير صفري. الآن، بسبب التناظر الدوراني لـ${\displaystyle \mu \times \mu }$، أي دوران للشعاع المزدوج له نفس الاحتمالية غير الصفرية، وبما أن أي دورانين منفصلان، فإن اتحادهما له احتمالية لا نهائية، وهو أمر متناقض.

يترك${\displaystyle \mu }$دالة كثافة الاحتمال${\displaystyle \rho }$وتتلخص المسألة في حل المعادلة الوظيفية

$${\displaystyle \rho (x)\rho (y)=\rho (x\cos \theta +y\sin \theta )\rho (x\sin \theta -y\cos \theta ).}$$

• برايك، فلودزيميرز (1995). التوزيع الطبيعي: خصائصه وتطبيقاته . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-0-387-97990-8.
• فيلر، ويليام (1966). مقدمة في نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها . المجلد  الثاني (  الطبعة الأولى). وايلي. ص  187.
• Maxwell, James Clerk (1860). "Illustrations of the dynamical theory of gases". Philosophical Magazine. 4th Series. 19: 390–393.

• Maxwell's theorem in a video by 3blue1brown