طريقة الخطوط

الموسوعة الحرة
طريقة الخطوط - المثال الذي يوضح أصل اسم الطريقة.

طريقة الخطوط (MOL، NMOL، NUMOL [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] ) هي تقنية لحل المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs) التي تُجزأ فيها جميع الأبعاد باستثناء بُعد واحد. من خلال اختزال المعادلة التفاضلية الجزئية إلى بُعد واحد متصل، تسمح طريقة الخطوط بحساب الحلول باستخدام طرق وبرامج طُوّرت للتكامل العددي للمعادلات التفاضلية العادية (ODEs) وأنظمة المعادلات التفاضلية الجبرية (DAEs). وقد طُوّرت العديد من إجراءات التكامل على مر السنين بلغات برمجة مختلفة، ونُشر بعضها كموارد مفتوحة المصدر . [ 4 ]

يشير مصطلح "طريقة الخطوط" في أغلب الأحيان إلى بناء أو تحليل الطرق العددية للمعادلات التفاضلية الجزئية، والتي تبدأ بتقسيم المشتقات المكانية فقط إلى عناصر منفصلة، ​​مع إبقاء متغير الزمن متصلاً. ينتج عن ذلك نظام من المعادلات التفاضلية العادية، والتي يمكن تطبيق طريقة عددية عليها، وهي طريقة معادلات القيمة الابتدائية العادية. يعود استخدام طريقة الخطوط في هذا السياق إلى أوائل ستينيات القرن العشرين على الأقل. [ 5 ] وقد نُشرت منذ ذلك الحين العديد من الأبحاث التي تناقش دقة واستقرار طريقة الخطوط لأنواع مختلفة من المعادلات التفاضلية الجزئية. [ 6 ] [ 7 ]

تطبيق على المعادلات الإهليلجية

تتطلب طريقة MOL أن تكون مسألة المعادلات التفاضلية الجزئية مُصاغة جيدًا كمسألة قيمة ابتدائية ( كوشي ) في بُعد واحد على الأقل، لأن مُكاملات المعادلات التفاضلية العادية (ODE) والمعادلات التفاضلية الجبرية (DAE) هي حلول لمسائل القيمة الابتدائية (IVP). لذا، لا يمكن استخدامها مباشرةً على المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية البحتة ، مثل معادلة لابلاس . مع ذلك، استُخدمت MOL لحل معادلة لابلاس باستخدام طريقة العابرين الزائفين . [ 1 ] [ 8 ] في هذه الطريقة، تُضاف مشتقة زمنية للمتغير التابع إلى معادلة لابلاس. ثم تُستخدم الفروق المحدودة لتقريب المشتقات المكانية، ويُحل نظام المعادلات الناتج بواسطة MOL. من الممكن أيضًا حل المسائل الإهليلجية باستخدام طريقة الخطوط شبه التحليلية . [ 9 ] في هذه الطريقة، تُنتج عملية التقطيع مجموعة من المعادلات التفاضلية العادية التي تُحل باستغلال خصائص المصفوفة الأسية المرتبطة بها.

في الآونة الأخيرة، وللتغلب على مشكلات الاستقرار المرتبطة بطريقة العابرين الزائفين، تم اقتراح نهج الاضطراب الذي وُجد أنه أكثر قوة من الطريقة القياسية للعابرين الزائفين لمجموعة واسعة من المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية. [ 10 ]

مراجع

  1. 1 2 شييسر، دبليو إي (1991). الطريقة العددية للخطوط . دار النشر الأكاديمية. ISBN 0-12-624130-9.
  2. ↑ حمدي، س.؛ و. إي. شييسر؛ ج. و. غريفيث (2007)، "طريقة الخطوط"، سكولاربيديا ، 2 (7): 2859، رمز Bibcode : 2007SchpJ...2.2859H ، doi : 10.4249/scholarpedia.2859
  3. ↑ شييسر، دبليو إي؛ جي دبليو غريفيثس (2009). موسوعة نماذج المعادلات التفاضلية الجزئية: تحليل طريقة الخطوط باستخدام ماتلاب . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-51986-1.
  4. ↑ لي، إتش جيه؛ دبليو إي شييسر (2004). إجراءات المعادلات التفاضلية العادية والجزئية في لغات C وC++ وFortran وJava وMaple وMatlab . مطبعة CRC. رقم ISBN 1-58488-423-1.
  5. ↑ إي إن سارمين؛ إل إيه تشودوف (1963)، "حول استقرار التكامل العددي لأنظمة المعادلات التفاضلية العادية الناشئة عن استخدام طريقة الخط المستقيم"، الرياضيات الحاسوبية والفيزياء الرياضية في الاتحاد السوفيتي ، 3 (6): 1537-1543 ، doi : 10.1016/0041-5553(63)90256-8
  6. ↑ أ. ظفر الله (1970)، "تطبيق طريقة الخطوط على المعادلات التفاضلية الجزئية المكافئة مع تقديرات الخطأ"، مجلة رابطة آلات الحوسبة ، المجلد 17، العدد 2، الصفحات 294-302 ، doi : 10.1145/321574.321583 ، S2CID 15114435    
  7. ↑ JG Verwer; JM Sanz-Serna (1984)، "تقارب تقريبات طريقة الخطوط للمعادلات التفاضلية الجزئية" ، الحوسبة ، 33 ( 3-4 ): 297-313 ، doi : 10.1007/bf02242274 ، S2CID 30171258 
  8. ↑ شييسر، دبليو إي (1994). الرياضيات الحسابية في الهندسة والعلوم التطبيقية: المعادلات التفاضلية العادية، والمعادلات التفاضلية الجبرية، والمعادلات التفاضلية الجزئية . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 0-8493-7373-5.
  9. ↑ سوبرامانيان، في آر؛ آر إي وايت (2004)، "طريقة شبه تحليلية للخطوط لحل المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية"، مجلة علوم الهندسة الكيميائية ، 59 (4): 781-788 ، رمز Bibcode : 2004ChEnS..59..781S ، doi : 10.1016/j.ces.2003.10.019
  10. ↑ بي دبليو سي نورثروب؛ بي إيه راماتشاندران؛ دبليو إي شييسر؛ في آر سوبرامانيان (2013)، "طريقة خطوط عابرة زائفة قوية للمعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية"، مجلة علوم الهندسة الكيميائية ، المجلد 90، الصفحات 32-39 ، رمز Bibcode : 2013ChEnS..90...32N ، doi : 10.1016/j.ces.2012.11.033