تغير المعلمات

${\displaystyle y'+p(x)y=q(x)}$

الحل التكميلي لمعادلتنا الأصلية (غير المتجانسة) هو الحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة (المكتوبة أدناه):

${\displaystyle y'+p(x)y=0}$

يمكن حل هذه المعادلة التفاضلية المتجانسة بطرق مختلفة، على سبيل المثال فصل المتغيرات :

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}y+p(x)y=0}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-p(x)y}$

${\displaystyle {dy \over y}=-{p(x)\,dx},}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{y}}\,dy=-\int p(x)\,dx}$

${\displaystyle \ln |y|=-\int p(x)\,dx+C}$

${\displaystyle y=\pm e^{-\int p(x)\,dx+C}=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}}$

وبالتالي، فإن الحل التكميلي لمعادلتنا الأصلية هو:

${\displaystyle y_{c}=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}}$

والآن نعود إلى حل المعادلة غير المتجانسة:

${\displaystyle y'+p(x)y=q(x)}$

باستخدام طريقة تغيير المعاملات، يتم تكوين الحل الخاص عن طريق ضرب الحل التكميلي بدالة غير معروفة C ( x ):

${\displaystyle y_{p}=C(x)e^{-\int p(x)\,dx}}$

عن طريق استبدال الحل الخاص في المعادلة غير المتجانسة، يمكننا إيجاد C ( x ):

${\displaystyle C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}-C(x)p(x)e^{-\int p(x)\,dx}+p(x)C(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)}$

${\displaystyle C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)}$

${\displaystyle C'(x)=q(x)e^{\int p(x)\,dx}}$

${\displaystyle C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+C_{1}}$

نحن نحتاج فقط إلى حل واحد محدد، لذلك نختار بشكل عشوائي${\displaystyle C_{1}=0}$لتبسيط الأمر. لذلك، الحل المحدد هو:

${\displaystyle y_{p}=e^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx}$

الحل النهائي للمعادلة التفاضلية هو:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=y_{c}+y_{p}\\&=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}+e^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx\end{aligned}}}$

وهذا يعيد إنشاء طريقة دمج العوامل .

دعونا نحل الأمر

${\displaystyle y''+4y'+4y=\cosh x}$

نريد إيجاد الحل العام للمعادلة التفاضلية، أي نريد إيجاد حلول للمعادلة التفاضلية المتجانسة

${\displaystyle y''+4y'+4y=0.}$

المعادلة المميزة هي:

${\displaystyle \lambda ^{2}+4\lambda +4=(\lambda +2)^{2}=0}$

منذ${\displaystyle \lambda =-2}$إذا كان الجذر متكرراً، فيجب علينا إدخال عامل x لأحد الحلول لضمان الاستقلال الخطي:${\displaystyle u_{1}=e^{-2x}}$و${\displaystyle u_{2}=xe^{-2x}}$. محدد فرونسكي لهاتين الدالتين هو

${\displaystyle W={\begin{vmatrix}e^{-2x}&xe^{-2x}\\-2e^{-2x}&-e^{-2x}(2x-1)\\\end{vmatrix}}=-e^{-2x}e^{-2x}(2x-1)+2xe^{-2x}e^{-2x}=e^{-4x}.}$

لأن Wronskian غير صفري، فإن الدالتين مستقلتان خطيًا، لذا فهذا في الواقع هو الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة (وليس مجرد مجموعة فرعية منها).

نسعى إلى الوظائف${\displaystyle A(x)}$و${\displaystyle B(x)}$لذا${\displaystyle A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x)}$هو حل خاص للمعادلة غير المتجانسة. كل ما نحتاجه هو حساب التكاملات.

${\displaystyle A(x)=-\int {1 \over W}u_{2}(x)b(x)\,\mathrm {d} x,\;B(x)=\int {1 \over W}u_{1}(x)b(x)\,\mathrm {d} x}$

تذكر أنه في هذا المثال

${\displaystyle b(x)=\cosh x}$

إنه،

${\displaystyle A(x)=-\int {1 \over e^{-4x}}xe^{-2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=-\int xe^{2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=-{1 \over 18}e^{x}\left(9(x-1)+e^{2x}(3x-1)\right)+C_{1}}$

${\displaystyle B(x)=\int {1 \over e^{-4x}}e^{-2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=\int e^{2x}\cosh x\,\mathrm {d} x={1 \over 6}e^{x}\left(3+e^{2x}\right)+C_{2}}$

أين${\displaystyle C_{1}}$و${\displaystyle C_{2}}$هي ثوابت التكامل.

لدينا معادلة تفاضلية على الصورة التالية

${\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=f(x)}$

ونعرّف المؤثر الخطي

${\displaystyle L=D^{2}+p(x)D+q(x)}$

حيث يمثل D المؤثر التفاضلي . لذلك علينا حل المعادلة${\displaystyle Lu(x)=f(x)}$ل${\displaystyle u(x)}$، أين${\displaystyle L}$و${\displaystyle f(x)}$معروفة.

يجب علينا أولاً حل المعادلة المتجانسة المقابلة:

${\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=0}$

باستخدام التقنية التي نختارها. بمجرد حصولنا على حلين مستقلين خطيًا لهذه المعادلة التفاضلية المتجانسة (لأن هذه المعادلة التفاضلية العادية من الدرجة الثانية) - لنسميهما u1 و u2 - يمكننا _{المتابعة بتغيير} المعاملات.

والآن، نبحث عن الحل العام للمعادلة التفاضلية${\displaystyle u_{G}(x)}$والتي نفترض أنها على شكل

${\displaystyle u_{G}(x)=A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x).}$

هنا،${\displaystyle A(x)}$و${\displaystyle B(x)}$غير معروفة و${\displaystyle u_{1}(x)}$و${\displaystyle u_{2}(x)}$هي حلول المعادلة المتجانسة. (لاحظ أنه إذا${\displaystyle A(x)}$و${\displaystyle B(x)}$إذا كانت ثوابت، فإن${\displaystyle Lu_{G}(x)=0}$بما أن المعادلة أعلاه هي معادلة واحدة فقط، ولدينا دالتان مجهولتان، فمن المنطقي فرض شرط ثانٍ. نختار الشرط التالي:

${\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0.}$

الآن،

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{G}'(x)&=\left(A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x)\right)'\\&=\left(A(x)u_{1}(x)\right)'+\left(B(x)u_{2}(x)\right)'\\&=A'(x)u_{1}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}(x)+B(x)u_{2}'(x)\\&=A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\\&=A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\end{aligned}}}$

التفاضل مرة أخرى (مع حذف الخطوات الوسيطة)

${\displaystyle u_{G}''(x)=A(x)u_{1}''(x)+B(x)u_{2}''(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).}$

الآن يمكننا كتابة تأثير L على u _G على النحو التالي

${\displaystyle Lu_{G}=A(x)Lu_{1}(x)+B(x)Lu_{2}(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).}$

بما أن _u1 و u2 هما _حلان ، فإن

${\displaystyle Lu_{G}=A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).}$

لدينا نظام المعادلات

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}.}$

توسع،

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)\\A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}.}$

لذا فإن النظام المذكور أعلاه يحدد الشروط بدقة

${\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0.}$

${\displaystyle A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)=Lu_{G}=f.}$

نسعى إلى إيجاد A ( x ) و B ( x ) من هذه الشروط، لذلك، بالنظر إلى

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}}$

يمكننا إيجاد قيمة ( A ′( x ), B ′( x )) ^T ، لذا

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}={\frac {1}{W}}{\begin{bmatrix}u_{2}'(x)&-u_{2}(x)\\-u_{1}'(x)&u_{1}(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}},}$

حيث يرمز W إلى محدد فرونسكي للمتغيرين u1 _و u2 _. (نعلم أن W لا يساوي الصفر، من _خلال افتراض أن u1 و u2 مستقلان خطيًا ). لذا _،

${\displaystyle {\begin{aligned}A'(x)&=-{1 \over W}u_{2}(x)f(x),&B'(x)&={1 \over W}u_{1}(x)f(x)\\A(x)&=-\int {1 \over W}u_{2}(x)f(x)\,\mathrm {d} x,&B(x)&=\int {1 \over W}u_{1}(x)f(x)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}$

في حين أن المعادلات المتجانسة سهلة الحل نسبياً، فإن هذه الطريقة تسمح بحساب معاملات الحل العام للمعادلة غير المتجانسة، وبالتالي يمكن تحديد الحل العام الكامل للمعادلة غير المتجانسة.

لاحظ أن${\displaystyle A(x)}$و${\displaystyle B(x)}$يتم تحديد كل منها فقط حتى ثابت جمعي اختياري ( ثابت التكامل ). إضافة ثابت إلى${\displaystyle A(x)}$أو${\displaystyle B(x)}$لا يغير قيمة${\displaystyle Lu_{G}(x)}$لأن الحد الإضافي هو مجرد توليفة خطية من u1 و u2 _، وهو _حل لـ${\displaystyle L}$بحسب التعريف.