مبدأ الحد الأدنى لإجمالي الطاقة الكامنة

يُعد مبدأ الحد الأدنى للطاقة الكامنة الكلية مفهومًا أساسيًا يُستخدم في الفيزياء والهندسة . وينص على أنه عند درجات الحرارة المنخفضة ، يجب أن يتشوه الهيكل أو الجسم أو ينزاح إلى وضع يقلل (محليًا) من إجمالي الطاقة الكامنة ، مع تحويل الطاقة الكامنة المفقودة إلى طاقة حركية (وتحديدًا حرارة).

• يميل البروتون الحر والإلكترون الحر إلى الاتحاد لتكوين أدنى حالة طاقة ( الحالة الأرضية ) لذرة الهيدروجين ، وهي الحالة الأكثر استقرارًا . ويعود ذلك إلى أن طاقة هذه الحالة أقل بمقدار 13.6 إلكترون فولت (eV) من طاقة الجسيمين عندما يفصل بينهما مسافة لانهائية . ويتخذ التبديد في هذا النظام شكل انبعاث تلقائي للإشعاع الكهرومغناطيسي ، مما يزيد من إنتروبيا المحيط.
• ستستقر الكرة المتدحرجة في أسفل التل، عند نقطة أدنى طاقة كامنة. والسبب هو أنه أثناء تدحرجها للأسفل تحت تأثير الجاذبية ، ينقل الاحتكاك الناتج عن حركتها الطاقة على شكل حرارة إلى المحيط ، مما يؤدي إلى زيادة في الإنتروبيا.
• تتخذ البروتينات شكلاً ذا أدنى طاقة كامنة . في هذه الحالة ، يتخذ التبديد شكل اهتزاز الذرات داخل البروتين أو بالقرب منه.

إجمالي الطاقة الكامنة،${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}}$، هو مجموع طاقة الانفعال المرن، U ، المخزنة في الجسم المشوه والطاقة الكامنة، V ، المرتبطة بالقوى المطبقة: ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}=\mathbf {U} +\mathbf {V} }$$

1

تكون هذه الطاقة في وضع ثابت عندما لا ينطوي أي تغيير متناهي الصغر عن هذا الوضع على أي تغيير في الطاقة: ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle \delta {\boldsymbol {\Pi }}=\delta (\mathbf {U} +\mathbf {V} )=0}$$

2

يمكن اشتقاق مبدأ الحد الأدنى من إجمالي الطاقة الكامنة كحالة خاصة من مبدأ الشغل الافتراضي للأنظمة المرنة الخاضعة لقوى محافظة .

إن المساواة بين العمل الافتراضي الخارجي والداخلي (بسبب الإزاحات الافتراضية) هي:

$${\displaystyle \int _{S_{t}}\delta \ \mathbf {u} ^{T}\mathbf {T} dS+\int _{V}\delta \ \mathbf {u} ^{T}\mathbf {f} dV=\int _{V}\delta {\boldsymbol {\epsilon }}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}dV}$$

3

أين

• ${\displaystyle \mathbf {u} }$= متجه الإزاحات
• ${\displaystyle \mathbf {T} }$= متجه القوى الموزعة المؤثرة على الجزء${\displaystyle S_{t}}$من السطح
• ${\displaystyle \mathbf {f} }$= متجه قوى الجسم

في الحالة الخاصة للأجسام المرنة، يمكن اعتبار الجانب الأيمن من المعادلة ( 3 ) هو التغيير.${\displaystyle \delta \mathbf {U} }$، من طاقة الانفعال المرن U نتيجةً للتغيرات المتناهية الصغر في الإزاحات الحقيقية. بالإضافة إلى ذلك، عندما تكون القوى الخارجية قوى محافظة ، يمكن اعتبار الطرف الأيسر من المعادلة ( 3 ) بمثابة التغير في دالة طاقة الوضع V للقوى. تُعرَّف الدالة V على النحو التالي: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \mathbf {V} =-\int _{S_{t}}\mathbf {u} ^{T}\mathbf {T} dS-\int _{V}\mathbf {u} ^{T}\mathbf {f} dV}$$ حيث تشير الإشارة السالبة إلى فقدان طاقة الوضع نتيجة إزاحة القوة في اتجاهها. وبوجود هذين الشرطين الفرعيين، تصبح المعادلة 3 كما يلي: $${\displaystyle -\delta \ \mathbf {V} =\delta \ \mathbf {U} }$$ وهذا يؤدي إلى ( 2 ) كما هو مطلوب. غالبًا ما يُستخدم الشكل التبايني لـ ( 2 ) كأساس لتطوير طريقة العناصر المحدودة في ميكانيكا الإنشاءات .