موران الأول

قيمة${\displaystyle I}$قد يعتمد ذلك إلى حد كبير على الافتراضات المضمنة في مصفوفة الأوزان المكانية${\displaystyle w_{ij}}$المصفوفة ضرورية لأنه لمعالجة الارتباط الذاتي المكاني ونمذجة التفاعل المكاني، نحتاج إلى فرض بنية لتقييد عدد الجيران الذين يجب أخذهم في الاعتبار. يرتبط هذا بقانون توبلر الأول في الجغرافيا ، الذي ينص على أن كل شيء يعتمد على كل شيء آخر، ولكن الأشياء الأقرب تعتمد عليه أكثر - بعبارة أخرى، يشير القانون إلى دالة اضمحلال المسافة المكانية ، بحيث أنه على الرغم من أن جميع المشاهدات تؤثر على جميع المشاهدات الأخرى، إلا أنه بعد تجاوز عتبة مسافة معينة، يمكن إهمال هذا التأثير.

الفكرة هي إنشاء مصفوفة تعكس بدقة افتراضاتك حول الظاهرة المكانية المحددة قيد الدراسة. يتمثل أحد الأساليب الشائعة في إعطاء وزن 1 إذا كانت منطقتان متجاورتين، و0 خلاف ذلك، على الرغم من أن تعريف "التجاور" قد يختلف. وقد يكون هناك أسلوب شائع آخر يتمثل في إعطاء وزن 1 لـ${\displaystyle k}$أقرب الجيران، وصفر فيما عدا ذلك. بديلًا لذلك، يمكن استخدام دالة تناقص المسافة لتعيين الأوزان. أحيانًا يُستخدم طول الحافة المشتركة لتعيين أوزان مختلفة للجيران. يجب أن يسترشد اختيار مصفوفة الأوزان المكانية بنظرية الظاهرة قيد الدراسة. قيمة${\displaystyle I}$إنها حساسة للغاية للأوزان ويمكن أن تؤثر على الاستنتاجات التي تتوصل إليها بشأن ظاهرة ما، خاصة عند استخدام المسافات.

القيمة المتوقعة لمؤشر موران I في ظل الفرضية الصفرية لعدم وجود ارتباط مكاني هي

${\displaystyle E(I)={\frac {-1}{N-1}}}$

التوزيع الصفري المستخدم لهذا التوقع هو أن${\displaystyle x}$يتم تبديل المدخلات بواسطة تبديل${\displaystyle \pi }$يتم اختيارها بشكل عشوائي منتظم (والتوقع هو على اختيار التبديل).

عند أحجام العينات الكبيرة (أي عندما يقترب N من اللانهاية)، تقترب القيمة المتوقعة من الصفر.

تباينه يساوي

${\displaystyle \operatorname {Var} (I)={\frac {NS_{4}-S_{3}S_{5}}{(N-1)(N-2)(N-3)S_{0}^{2}}}-(E(I))^{2}}$

أين

${\displaystyle S_{0}=\sum _{i}\sum _{j}w_{ij}}$^{[ 3 ]}

${\displaystyle S_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j}(w_{ij}+w_{ji})^{2}}$^{[ 3 ]}

${\displaystyle S_{2}=\sum _{i}\left(\sum _{j}w_{ij}+\sum _{j}w_{ji}\right)^{2}}$^{[ 3 ]}

${\displaystyle S_{3}={\frac {N^{-1}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{(N^{-1}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2})^{2}}}}$

${\displaystyle S_{4}=(N^{2}-3N+3)S_{1}-NS_{2}+3S_{0}^{2}}$

${\displaystyle S_{5}=(N^{2}-N)S_{1}-2NS_{2}+6S_{0}^{2}}$^{[ 5 ]}

تشير القيم الأقل بكثير من -1/(N-1) إلى ارتباط مكاني سلبي، بينما تشير القيم الأعلى بكثير من -1/(N-1) إلى ارتباط مكاني إيجابي. ولأغراض اختبار الفرضيات الإحصائية، يمكن تحويل قيم معامل موران ( I) إلى درجات معيارية (z-scores) .

قيم${\displaystyle I}$نطاق${\displaystyle {\frac {N}{S}}_{0}w_{min}}$و${\displaystyle {\frac {N}{S}}_{0}w_{max}}$^{[ 6 ]} حيث${\displaystyle w_{min}}$و${\displaystyle w_{max}}$تمثل القيم الذاتية الدنيا والقصوى المقابلة لمصفوفة الأوزان. بالنسبة لمصفوفة مُعَيَّرة صفياً${\displaystyle {\frac {N}{S}}_{0}=1}$.

يرتبط مؤشر موران I عكسياً بمؤشر جيري C ، ولكنهما ليسا متطابقين. يُعد مؤشر موران I مقياساً للارتباط الذاتي المكاني العالمي، بينما يُعد مؤشر جيري C أكثر حساسية للارتباط الذاتي المكاني المحلي.