معامل الارتباط المتعدد

في الإحصاء ، يُعدّ معامل الارتباط المتعدد مقياسًا لمدى دقة التنبؤ بمتغير معين باستخدام دالة خطية لمجموعة من المتغيرات الأخرى. وهو الارتباط بين قيم المتغير وأفضل التنبؤات التي يمكن حسابها خطيًا من المتغيرات التنبؤية. ^{[ 1 ]}

تتراوح قيم معامل الارتباط المتعدد بين 0 و1. تشير القيم الأعلى إلى قدرة تنبؤية أكبر للمتغير التابع من المتغيرات المستقلة ، حيث تشير القيمة 1 إلى أن التنبؤات صحيحة تمامًا، بينما تشير القيمة 0 إلى أنه لا يوجد توليفة خطية من المتغيرات المستقلة تُعد مؤشرًا أفضل من المتوسط ​​الثابت للمتغير التابع. ^{[ 2 ]}

يُعرف معامل الارتباط المتعدد باسم الجذر التربيعي لمعامل التحديد ، ولكن في ظل افتراضات محددة تتمثل في تضمين نقطة تقاطع واستخدام أفضل المتنبئات الخطية الممكنة، في حين يتم تعريف معامل التحديد لحالات أكثر عمومية، بما في ذلك حالات التنبؤ غير الخطي وتلك التي لم يتم فيها اشتقاق القيم المتوقعة من إجراء ملاءمة النموذج.

معامل الارتباط المتعدد، الذي يرمز له بـ R ، هو قيمة عددية تُعرف بأنها معامل ارتباط بيرسون بين القيم المتوقعة والقيم الفعلية للمتغير التابع في نموذج الانحدار الخطي الذي يتضمن حدًا ثابتًا .

يمكن حساب مربع معامل الارتباط المتعدد باستخدام المتجه${\displaystyle \mathbf {c} ={(r_{x_{1}y},r_{x_{2}y},\dots ,r_{x_{N}y})}^{\top }}$الارتباطات​${\displaystyle r_{x_{n}y}}$بين المتغيرات التنبؤية${\displaystyle x_{n}}$(المتغيرات المستقلة) والمتغير المستهدف${\displaystyle y}$(المتغير التابع)، ومصفوفة الارتباط${\displaystyle R_{xx}}$من الارتباطات بين المتغيرات التنبؤية. ويتم تحديدها بواسطة

${\displaystyle R^{2}=\mathbf {c} ^{\top }R_{xx}^{-1}\,\mathbf {c} ,}$

أين${\displaystyle \mathbf {c} ^{\top }}$هو منقول​${\displaystyle \mathbf {c} }$، و${\displaystyle R_{xx}^{-1}}$هو معكوس المصفوفة

${\displaystyle R_{xx}=\left({\begin{array}{cccc}r_{x_{1}x_{1}}&r_{x_{1}x_{2}}&\dots &r_{x_{1}x_{N}}\\r_{x_{2}x_{1}}&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\\r_{x_{N}x_{1}}&\dots &&r_{x_{N}x_{N}}\end{array}}\right).}$

إذا كانت جميع المتغيرات التنبؤية غير مترابطة، فإن المصفوفة${\displaystyle R_{xx}}$هي مصفوفة الوحدة و${\displaystyle R^{2}}$ببساطة يساوي${\displaystyle \mathbf {c} ^{\top }\,\mathbf {c} }$، وهو مجموع مربعات الارتباطات مع المتغير التابع. إذا كانت المتغيرات التنبؤية مرتبطة فيما بينها، فإن مقلوب مصفوفة الارتباط هو${\displaystyle R_{xx}}$وهذا يفسر ذلك.

يمكن أيضًا حساب معامل الارتباط المتعدد التربيعي كنسبة التباين في المتغير التابع التي تُفسرها المتغيرات المستقلة، وهي بدورها تساوي 1 ناقص النسبة غير المُفسَّرة. ويمكن حساب النسبة غير المُفسَّرة كمجموع مربعات البواقي - أي مجموع مربعات أخطاء التنبؤ - مقسومًا على مجموع مربعات انحرافات قيم المتغير التابع عن قيمته المتوقعة .

عندما يكون هناك أكثر من متغيرين مرتبطين ببعضهما البعض، فإن قيمة معامل الارتباط المتعدد تعتمد على اختيار المتغير التابع: انحدار لـ${\displaystyle y}$على${\displaystyle x}$و${\displaystyle z}$سيكون له بشكل عام تأثير مختلف${\displaystyle R}$ثم سيكون تراجع${\displaystyle z}$على${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$على سبيل المثال، لنفترض أن المتغير في عينة معينة${\displaystyle z}$لا توجد علاقة بينهما${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$، بينما${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$ترتبط هذه المتغيرات ببعضها البعض ارتباطًا خطيًا. ثم يتم إجراء تحليل انحدار لـ${\displaystyle z}$على${\displaystyle y}$و${\displaystyle x}$سيؤدي إلى${\displaystyle R}$من الصفر، بينما انحدار${\displaystyle y}$على${\displaystyle x}$و${\displaystyle z}$سيؤدي ذلك إلى نتيجة إيجابية تمامًا${\displaystyle R}$ويتبع ذلك ارتباط${\displaystyle y}$مع أفضل مؤشر تنبؤي يعتمد على${\displaystyle x}$و${\displaystyle z}$وفي جميع الحالات يكون حجمه على الأقل مساوياً لحجم ارتباط${\displaystyle y}$مع أفضل مؤشر تنبؤي يعتمد على${\displaystyle x}$بمفرده، وفي هذه الحالة مع${\displaystyle z}$وبدون تقديم أي قدرة تفسيرية، سيكون حجمه مماثلاً تماماً.

• أليسون، بول د. (1998). الانحدار المتعدد: مدخل تمهيدي . لندن: منشورات سيج. ISBN 9780761985334
• كوهين، جاكوب، وآخرون (2002). الانحدار المتعدد التطبيقي: تحليل الارتباط للعلوم السلوكية . ISBN 0805822232
• كراون، ويليام هـ. (1998). النماذج الإحصائية للعلوم الاجتماعية والسلوكية: الانحدار المتعدد ونماذج المتغيرات التابعة المحدودة . ISBN 0275953165
• إدواردز، ألين لويس (1985). الانحدار المتعدد وتحليل التباين والتباين المشترك . ISBN 0716710811
• كيث، تيموثي (2006). الانحدار المتعدد وما بعده . بوسطن: بيرسون للتعليم.
• فريد ن. كيرلينجر، إلعازار ج. بيدهازور (1973). الانحدار المتعدد في البحوث السلوكية. نيويورك: هولت راينهارت وينستون. ISBN 9780030862113
• ستانتون، جيفري م. (2001). "جالتون، بيرسون، والبازلاء: تاريخ موجز للانحدار الخطي لمدرسي الإحصاء" ، مجلة تعليم الإحصاء ، 9 (3).