قاعدة المنتج

في علم التوافيق ، تُعد قاعدة الضرب أو مبدأ الضرب مبدأً أساسياً من مبادئ العد (أو المبدأ الجوهري للعد ). ببساطة، هي الفكرة البديهية التي تنص على أنه إذا كانت هناك أ طريقة لفعل شيء ما، و ب طريقة لفعل شيء آخر، فإن هناك أ  × ب  طريقة لفعل كلا الفعلين. ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{matrix}&\underbrace {\left\{A,B,C\right\}} &&\underbrace {\left\{X,Y\right\}} \\\mathrm {To} \ \mathrm {choose} \ \mathrm {one} \ \mathrm {of} &\mathrm {these} &\mathrm {AND} \ \mathrm {one} \ \mathrm {من} &\mathrm {هذه} \end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {is} \ \mathrm {to} \ \mathrm {choose} \ \mathrm {one} \ \mathrm {of} &\mathrm {these} .\\&\overbrace {\left\{AX,AY,BX,BY,CX,CY\right\}} \end{matrix}}}$

في هذا المثال، تنص القاعدة على: اضرب 3 في 2، لتحصل على 6.

في هذا المثال، المجموعتان { A , B , C } و{ X , Y } مجموعتان منفصلتان ، ولكن هذا ليس شرطًا. عدد طرق اختيار عنصر من { A , B , C }، ثم تكرار ذلك، أي اختيار زوج مرتب كل عنصر من عناصره ينتمي إلى { A , B , C }، هو 3 × 3 = 9.    

كمثال آخر، عندما تقرر طلب بيتزا، يجب عليك أولاً اختيار نوع العجينة: رقيقة أو سميكة (خياران). ثم تختار إضافة واحدة: جبن، بيبروني، أو سجق (ثلاثة  خيارات).

باستخدام قاعدة الضرب، تعلم أن هناك 2 × 3 = 6 احتمالات ممكنة لطلب البيتزا.    

في نظرية المجموعات ، يُعتبر مبدأ الضرب هذا غالبًا تعريفًا لحاصل ضرب الأعداد الأصلية . ^{[ 1 ]} لدينا

${\displaystyle |S_{1}|\cdot |S_{2}|\cdots |S_{n}|=|S_{1}\times S_{2}\times \cdots \times S_{n}|}$

أين${\displaystyle \times }$هو عامل الضرب الديكارتي . لا يشترط أن تكون هذه المجموعات منتهية، كما لا يشترط أن يكون عدد العوامل في الضرب منتهياً.

يُفترض في امتداد قاعدة الضرب وجود n نوعًا مختلفًا من الأشياء، كالحلويات مثلاً، والتي يجب ربطها بـ k نوعًا من الأشياء، كالأشخاص مثلاً. ما عدد الطرق المختلفة التي يمكن للأشخاص من خلالها الحصول على حلوياتهم؟

يمكن لكل شخص الحصول على أي من الحلويات المتوفرة وعددها n ، وهناك k من الأشخاص، لذلك هناك${\displaystyle \overbrace {n\cdots \cdot n} ^{k}=n^{k}}$طرق القيام بذلك.

قاعدة الجمع هي مبدأ أساسي آخر من مبادئ العد . ببساطة، هي فكرة أنه إذا كان لدينا أ طريقة لفعل شيء ما و ب طريقة لفعل شيء آخر، ولا يمكننا فعل كليهما في نفس الوقت، فإن هناك أ + ب طريقة لاختيار أحد الفعلين. ^{[ 2 ]}

• المبادئ التوافقية