دالة غرين متعددة المقاييس

دالة غرين متعددة المقاييس (MSGF) هي نسخة معممة وموسعة من تقنية دالة غرين الكلاسيكية (GF) ^{[ 1 ]} لحل المعادلات الرياضية. يُستخدم MSGF بشكل أساسي في نمذجة المواد النانوية ^{[ 2 ]} . تتميز هذه المواد بصغر حجمها، حيث يبلغ حجمها بضعة نانومترات . تتطلب النمذجة الرياضية للمواد النانوية تقنيات خاصة، وهي تُعتبر الآن فرعًا مستقلاً من فروع العلم ^{[ 3 ]} . يلزم وجود نموذج رياضي لحساب إزاحات الذرات في البلورة استجابةً لقوة ثابتة أو متغيرة مع الزمن، وذلك لدراسة الخصائص الميكانيكية والفيزيائية للمواد النانوية. ومن المتطلبات الأساسية لنموذج المواد النانوية أن يكون متعدد المقاييس، وأن يوفر ربطًا سلسًا بين مختلف أطوال المقاييس ^{[ 4 ] .}

صاغ الفيزيائي الرياضي البريطاني جورج غرين دالة غرين (GF) في الأصل عام 1828 كتقنية عامة لحل معادلات المؤثرات. ^{[ 1 ]} وقد استُخدمت على نطاق واسع في الفيزياء الرياضية على مدى قرنين تقريبًا، وطُبقت في مجالات متنوعة. ^{[ 1 ] [ 5 ]} تتوفر مراجعات لبعض تطبيقات دالة غرين، مثل نظرية الأجسام المتعددة ومعادلة لابلاس ، في ويكيبيديا. تُستخدم التقنيات القائمة على دالة غرين لنمذجة عمليات فيزيائية مختلفة في المواد، مثل الفونونات ، ^{[ 6 ]} وبنية النطاق الإلكتروني ^{، [ 7 ]} وعلم المرونة الساكنة . ^{[ 5 ]}

طريقة MSGF هي تقنية GF حديثة نسبيًا للنمذجة الرياضية للمواد النانوية. تُستخدم النماذج الرياضية لحساب استجابة المواد للقوة المطبقة بهدف محاكاة خصائصها الميكانيكية. تربط تقنية MSGF بين مختلف المقاييس الطولية في نمذجة المواد النانوية. ^{[ 2 ] [ 8 ]} تتميز المواد النانوية بأبعاد ذرية، ولذا يجب نمذجتها على مقاييس طولية نانومترية. على سبيل المثال، يحتوي سلك نانوي من السيليكون ، يبلغ عرضه حوالي خمسة نانومترات، على 10-12 ذرة فقط. مثال آخر هو الجرافين ^{[ 9 ]} والعديد من المواد الصلبة ثنائية الأبعاد (2D) الجديدة. ^{[ 10 ]} تتميز هذه المواد الجديدة برقتها الفائقة، إذ لا يتجاوز سمكها ذرة أو ذرتين. تُعد النمذجة متعددة المقاييس ضرورية لمثل هذه المواد لأن خصائصها تتحدد بانفصال ترتيباتها الذرية، بالإضافة إلى أبعادها الكلية. ^{[ 2 ] [ 4 ]}

تُعدّ طريقة MSGF متعددة المقاييس، إذ تربط استجابة المواد للقوة المؤثرة على المستوى الذري باستجابتها على المستوى العياني. تُحسب استجابة المواد على المستوى العياني باستخدام نموذج الوسط المتصل للمواد الصلبة، حيث يُحوّل التركيب الذري المنفصل للمواد الصلبة إلى وسط متصل. تتأثر خصائص المواد النانوية بتركيبها الذري وأبعادها الكلية، كما تتأثر بالتركيب العياني للمادة الأساسية التي تُدمج فيها. تُستخدم طريقة MSGF لنمذجة هذه الأنظمة المركبة.

تُستخدم طريقة MSGF أيضًا لتحليل سلوك البلورات التي تحتوي على عيوب في الشبكة البلورية، مثل الفراغات والذرات البينية والذرات الغريبة. وتكتسب دراسة هذه العيوب أهمية بالغة نظرًا لدورها في تكنولوجيا المواد. ^{[ 11 ] [ 12 ]} يؤدي وجود عيب في الشبكة البلورية إلى إزاحة ذرات المادة المضيفة من مواقعها الأصلية أو إلى تشوه الشبكة. يوضح الشكل 1 ذلك لشبكة أحادية البعد كمثال. يتطلب حساب هذا التشوه بالقرب من العيب نمذجة على المستوى الذري، ^{[ 13 ] [ 14 ]} بينما يُستخدم نموذج الوسط المتصل لحساب التشوه بعيدًا عن العيب. تربط طريقة MSGF هذين المقياسين بسلاسة.

يُراعي نموذج دالة غرين للشبكات النانوية (MSGF) الجسيمات المتعددة والمقاييس المتعددة في المواد. ^{[ 8 ]} وهو امتداد لطريقة دالة غرين للشبكات الساكنة (LSGF) التي طُورت في الأصل في مركز أبحاث الطاقة الذرية في هارويل بالمملكة المتحدة عام 1973. ^{[ 11 ] [ 15 ]} ويُشار إليه أيضًا في الأدبيات العلمية باسم منهج هارويل أو طريقة تيواري. ^{[ 16 ] [ 17 ]} تُكمل طريقة LSGF طريقة الديناميكا الجزيئية ^{[ 18 ]} (MD) لنمذجة أنظمة الجسيمات المتعددة. وتعتمد طريقة LSGF على استخدام نموذج بورن فون كارمان (BvK) ^{[ 6 ] [ 19 ]} ، ويمكن تطبيقها على هياكل شبكية وعيوب مختلفة. ^{[ 11 ] [ 17 ] [ 20 ]} طريقة MSGF هي نسخة موسعة من طريقة LSGF وقد تم تطبيقها على العديد من المواد النانوية والمواد ثنائية الأبعاد ^{[ 2 ]}

على المستوى الذري، تُمثَّل البلورة أو المادة الصلبة البلورية بمجموعة من الذرات المتفاعلة الموجودة في مواقع منفصلة على شبكة هندسية . ^{[ 19 ]} تتكون البلورة المثالية من شبكة هندسية منتظمة ودورية. تتمتع الشبكة المثالية بتناظر انتقالي، مما يعني أن جميع خلايا الوحدة متطابقة. في الشبكة الدورية المثالية، التي يُفترض أنها لانهائية، تكون جميع الذرات متطابقة. عند الاتزان، يُفترض أن كل ذرة موجودة في موقعها الشبكي. تتلاشى القوة المؤثرة على أي ذرة من الذرات الأخرى، لذا فإن محصلة القوى المؤثرة على كل ذرة تساوي صفرًا. تنهار هذه الشروط في الشبكة المشوهة حيث تُزاح الذرات عن مواقع اتزانها. ^{[ 15 ]} قد ينتج تشوه الشبكة عن قوة خارجية. يمكن أيضًا تشويه الشبكة البلورية بإدخال عيب فيها أو بإزاحة ذرة تُخلّ بتوازنها وتُحدث قوةً على مواقعها. يوضح الشكل 1 ذلك. يهدف النموذج الرياضي إلى حساب قيم الإزاحات الذرية الناتجة.

يتم حساب دالة غرين (GF) في طريقة MSGF عن طريق تقليل الطاقة الكلية للشبكة. ^{[ 15 ]} طاقة الوضع للشبكة على شكل متسلسلة تايلور لانهائية في الإزاحات الذرية في التقريب التوافقي كما يلي

${\displaystyle W=-\sum _{L,a}f_{a}(L)u_{a}(L)+{\frac {1}{2}}\sum _{L,a}\sum _{L',b}K_{ab}(L,L')u_{a}(L)u_{b}(L')\qquad \qquad (1)}$

حيث يشير L و L ′ إلى الذرات، و a و b إلى الإحداثيات الديكارتية، و u إلى الإزاحة الذرية، و − f و K هما المعاملان الأول والثاني في متسلسلة تايلور . ويتم تعريفها بواسطة ^{[ 1 ]}

${\displaystyle f_{a}(L)=-{\frac {\partial W}{\partial u_{a}(L)}},\qquad \qquad (2)}$

و

${\displaystyle K_{ab}(L,L')={\frac {\partial ^{2}W}{\partial u_{a}(L)\,\partial u_{b}(L')}},\qquad \qquad (3)}$

حيث تُحسب المشتقات عند الإزاحات الصفرية. أُدخلت الإشارة السالبة في تعريف f للتسهيل. بالتالي، فإن f ( L ) متجه ثلاثي الأبعاد يُمثل القوة عند الذرة L. ويُرمز إلى مركباته الديكارتية الثلاث بـ f_a ₍ L) حيث a = x أو y أو z . وبالمثل، فإن K (L,L') مصفوفة 3×3، تُسمى مصفوفة ثابت القوة بين الذرتين L و L'.. يتم الإشارة إلى عناصرها التسعة بواسطة K _ab ( L , L ′ ) لـ a , b = x , y , أو z .

عند الاتزان، تكون الطاقة W في أدنى قيمة لها. ^{[ 8 ]} وبناءً على ذلك، يجب أن تكون المشتقة الأولى لـ W بالنسبة لكل u مساوية للصفر. وهذا يعطي العلاقة التالية من المعادلة (1).

${\displaystyle \sum _{L',b}K_{ab}(L,L')u_{b}(L')=f_{a}(L).\qquad \qquad (4)}$

يمكن إثبات ذلك بالتعويض المباشر، حيث يمكن كتابة حل المعادلة (4) على النحو التالي:

${\displaystyle u_{a}(L)=\sum _{L',b}G_{ab}(L,L')f_{b}(L')\qquad \qquad (5)}$

حيث يتم تعريف G بواسطة علاقة الانعكاس التالية

${\displaystyle \sum _{L'',b''}K_{ab''}(L,L'')G_{b''b}(L'',L')=\delta (a,b)\delta (L,L').\qquad \qquad (6)}$

في المعادلة (6)، δ ( m , n ) هي دالة دلتا المنفصلة لمتغيرين منفصلين m و n . وكما هو الحال مع دالة ديراك دلتا للمتغيرات المستمرة، تُعرَّف هذه الدالة بأنها تساوي 1 إذا كان m = n و 0 فيما عدا ذلك. ^{[ 6 ]}   

يمكن كتابة المعادلات (4)–(6) في صيغة المصفوفة على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}Ku&=f&&(7)\\u&=Gf&&(8)\\{\text{and }}G&=K^{-1}&&(9)\end{aligned}}}$

المصفوفتان K و G في المعادلات أعلاه هما مصفوفتان مربعتان من الرتبة 3N × 3N، بينما u و  f  متجهان عموديان من الرتبة 3N ، حيث N هو العدد الإجمالي للذرات في الشبكة. المصفوفة G هي دالة غرين متعددة الجسيمات، وتُعرف بدالة غرين لسكون الشبكة (LSGF). ^{[ 15 ]} إذا عُرفت G ، يُمكن حساب الإزاحات الذرية لجميع الذرات باستخدام المعادلة (8).

يُعدّ حساب الإزاحات الذرية u الناتجة عن قوة خارجية f أحد الأهداف الرئيسية للنمذجة . ^{[ 21 ]} تُعطى هذه الإزاحات، من حيث المبدأ، بالمعادلة (8). إلا أن ذلك يتطلب قلب المصفوفة K التي تبلغ أبعادها 3N × 3N. ولأي حساب ذي أهمية عملية، يُقدّر حجم المصفوفة K بحوالي 10000، ويُفضّل أن يكون مليونًا لإجراء محاكاة أكثر واقعية. يُعدّ قلب هذه المصفوفة الكبيرة عملية حسابية مُرهقة، وتتطلب تقنيات خاصة لحساب u. بالنسبة للشبكات الدورية المنتظمة، تُعدّ طريقة LSGF إحدى هذه التقنيات. وتتمثل هذه الطريقة في حساب G بدلالة تحويل فورييه الخاص بها ، وهي مشابهة لحساب دالة GF للفونون. ^{[ 6 ]}

تم تعميم طريقة LSGF لتشمل تأثيرات المقاييس المتعددة في طريقة MSGF. ^{[ 8 ]} تتميز طريقة MSGF بقدرتها على ربط أطوال المقاييس بسلاسة. وقد استُخدمت هذه الخاصية في تطوير طريقة MSGF هجينة تجمع بين طريقتي GF وMD، واستُخدمت لمحاكاة الجسيمات النانوية الأقل تناظرًا، مثل النقاط الكمومية في أشباه الموصلات. ^{[ 22 ]}

بالنسبة للشبكة المثالية الخالية من العيوب، يربط نموذج MSGF مباشرةً المقاييس الذرية في نموذج LSGF بالمقاييس العيانية من خلال نموذج الاستمرارية. تتمتع الشبكة المثالية بتناظر انتقالي كامل، لذا فإن جميع الذرات متكافئة. في هذه الحالة، يمكن اختيار أي ذرة كنقطة أصل، ويمكن التعبير عن G(L,L') بمؤشر واحد (L'-L) ^{[ 6 ]} يُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle G(L,L')=G(0,L-L')=G(L'-L)\qquad \qquad (10)}$

يتم إعطاء الحد التقاربي لـ G ( L )، الذي يحقق المعادلة (10)، للقيم الكبيرة لـ R ( L ) بواسطة ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \lim _{R(L)\to \infty }[G(0,L)]\rightarrow G_{c}(x)+O(1/x^{4})\qquad \qquad (11)}$

حيث x = R ( L ) هو متجه موضع الذرة L ، و Gc ₍ x ) هي دالة غرين المتصلة (CGF)، والتي تُعرَّف بدلالة ثوابت المرونة وتُستخدم في نمذجة المواد الصلبة التقليدية على المقاييس الكبيرة. [ ^{5 ] [ 11 ] في} المعادلة (11)، O(1/ xn ) هو الترميز الرياضي القياسي للحد من الرتبة 1/ ^xn وما فوق. مقدار Gc ( x ) هو O(1/ x² ). ^{[ 21 ]} _{تتحول دالة غرين} الخطية المحدودة G (0, L ) في هذه المعادلة بسلاسة وتلقائية إلى دالة غرين المتصلة (CGF) عندما تكون قيمة x كبيرة بما يكفي، ^{حيث تصبح} الحدود O (1/ x⁴ ) صغيرة تدريجيًا ويمكن إهمالها. وهذا يضمن الربط السلس بين مقياس الطول الذري ^ومقياس الاستمرارية العياني. ^{[ 8 ]}

تشكل المعادلتان (8) و(9)، بالإضافة إلى العلاقة الحدية الموضحة في المعادلة (11)، المعادلات الأساسية لدالة MSGF. ^{[ 8 ]} تعطي المعادلة (9) دالة LSGF، وهي صالحة على المقاييس الذرية، بينما تربطها المعادلة (11) بدالة CGF، وهي صالحة على مقاييس الوسط المتصل الكلي. كما توضح هذه المعادلة أن دالة LSGF تختزل بسلاسة إلى دالة CGF.

إذا احتوت الشبكة على عيوب، فإن تناظرها الانتقالي ينكسر. وبالتالي، لا يمكن التعبير عن G بدلالة متغير مسافة واحد R ( L ). ومن ثم، فإن المعادلة (10) لم تعد صالحة، وينهار التوافق بين LSGF وCGF، اللازم لربطهما بسلاسة. ^{[ 15 ]} في مثل هذه الحالات، يربط MSGF الشبكة ومقاييس الوسط المتصل باستخدام الإجراء التالي: ^{[ 15 ]}

إذا كان p يمثل التغير في المصفوفة K الناتج عن العيب (العيوب)، فإن مصفوفة ثابت القوة K* للشبكة المعيبة تُكتب على النحو التالي

${\displaystyle K^{*}=K-p\qquad \qquad (12)}$

كما هو الحال بالنسبة للشبكة المثالية في المعادلة (9)، يُعرَّف عامل غالاكتين (GF) المقابل للعيوب بأنه معكوس مصفوفة K* الكاملة . وباستخدام المعادلة (12)، نحصل على معادلة دايسون التالية لعامل غالاكتين (GF) للعيوب: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle G^{*}=G+GpG^{*}\qquad \qquad (13)}$

تتألف طريقة MSGF من حل المعادلة (13) لـ G* باستخدام تقنية تقسيم المصفوفة أو تحويل فورييه المزدوج. ^{[ 6 ]}

بمجرد معرفة G* ، يُعطى متجه الإزاحة بواسطة معادلة GF التالية المشابهة للمعادلة (8):

u = G* f (14)

تُعطي المعادلة (14) الحل المطلوب، أي الإزاحات الذرية أو تشوه الشبكة الناتج عن القوة f . مع ذلك، فهي لا تُظهر الربط بين الشبكة والوسط المتصل على مستويات متعددة، لأن المعادلتين (10) و(11) غير صالحتين لنموذج LSGF G* المعيب . ويتحقق الربط بين نموذج الشبكة ونموذج الوسط المتصل في حالة الشبكة المعيبة باستخدام تحويل دقيق موصوف أدناه. ^{[ 8 ]}

باستخدام المعادلة (13)، يمكن كتابة المعادلة (14) بالشكل المكافئ تمامًا التالي:

u = Gf + G p G* f . (15)

وباستخدام المعادلة (14) مرة أخرى على الجانب الأيمن من المعادلة (15)، نحصل على:

u = G f* (16)

أين

f* = f + pu . (17)

لاحظ أن المعادلة (17) تحدد قوة فعالة f* بحيث تكون المعادلتان (14) و (16) متكافئتين تمامًا.

تعبر المعادلة (16) عن الإزاحات الذرية u بدلالة G ، وهي دالة LSGF المثالية حتى في الشبكات التي تحتوي على عيوب. ويُدرج تأثير العيوب بدقة في f* . دالة LSGF G مستقلة عن f أو f* ، وتؤول إلى دالة CGF تقاربياً وسلساً كما هو موضح في المعادلة (11). يمكن تحديد القوة الفعالة f* في حساب منفصل باستخدام طريقة مستقلة عند الحاجة، ويمكن استخدام سكون الشبكة أو نموذج الوسط المتصل لحساب G. هذا هو أساس نموذج هجين يجمع بين MSGF وMD لمحاكاة نقطة كمومية من الجرمانيوم في شبكة سيليكون. ^{[ 22 ]}

المعادلة (16) هي المعادلة الرئيسية لطريقة MSGF. ^{[ 2 ] [ 8 ]} وهي متعددة المقاييس حقًا. جميع المساهمات الذرية المنفصلة مُضمنة في f*. يمكن حساب دالة غرين G بشكل مستقل، والتي يمكن أن تكون ذرية بالكامل للمواد النانوية أو متصلة جزئيًا أو كليًا للمقاييس الكبيرة لمراعاة الأسطح والواجهات في أنظمة المواد حسب الحاجة. ^{[ 8 ]}

اقترح كل من Tewary و Quardokus و DelRio ^{[ 23 ]} أن دالة Green ليست مجرد قطعة أثرية رياضية، ولكنها خاصية فيزيائية للمادة الصلبة، والتي يمكن قياسها باستخدام مجهر المسح الضوئي .

يستند اقتراحهم إلى حقيقة أن أي عملية قياس على نظام ما تتطلب تحديد استجابة النظام لمسبار خارجي، وأن دالة غرين تعطي الاستجابة الكلية للنظام لهذا المسبار. ^{[ 24 ]} على سبيل المثال، إذا أردنا قياس خصائص نابض، نثبته من أحد طرفيه ونطبق قوة f أو f* على الطرف الآخر. سيعطينا قياس استطالة النابض u قيمة دالة غرين الخاصة به باستخدام المعادلة 14 أو 16. في هذا المثال، القوة المطبقة هي المسبار، واستطالة النابض هي استجابته له. إذا توفرت القيم المقاسة لدوال غرين لجسم صلب، فإنها ستصف بدقة استجابة هذا الجسم في التطبيقات الهندسية. لهذا السبب، تُسمى دالة غرين أيضًا بدالة الاستجابة.

يُعدّ نمذجة العمليات الزمنية (المعتمدة على الزمن) في المواد الصلبة، وخاصةً في المواد النانوية، تطبيقًا هامًا لطريقة MSGF. ويُعدّ هذا ضروريًا في تطبيقات متنوعة مثل اختبار المواد وتوصيفها، وانتشار الموجات والحرارة في المواد النانوية، ونمذجة أضرار الإشعاع في أشباه الموصلات. ^{[ 2 ] [ 18 ]} وتتطلب هذه العمليات محاكاةً على نطاق زمني واسع، من الفيمتوثانية إلى النانوثانية، أو حتى الميكروثانية، وهو ما يُمثّل تحديًا متعدد المقاييس في المواد النانوية. وقد بيّن تيواري ^{[ 25 ]} أن استخدام دوال غرين السببية في الديناميكا الجزيئية يُمكن أن يُسرّع بشكل كبير التقارب الزمني لهذه الديناميكا. وتُعتبر الطريقة الجديدة، المسماة CGFMD (ديناميكا الجزيئات باستخدام دوال غرين السببية)، المكافئ الزمني لطريقة MSGF، وهي تعتمد على استخدام دوال غرين السببية أو المتأخرة . تم تطبيقها ^{[ 25 ]} لمحاكاة انتشار التموجات في الجرافين، ^{[ 9 ]} حيث ثبت أن نموذج CGFMD قادر على نمذجة نطاقات زمنية تتراوح بين 6 و9 مراتب من حيث الحجم على المستوى الذري. على الأقل في بعض الحالات المثالية، مثل انتشار التموجات في الجرافين، يمكن لنموذج CGFMD أن يغطي نطاقات زمنية تتراوح من الفيمتو ثانية إلى الميكروثانية. وقد تم تحسين نموذج CGFMD وتطويره بشكل أكبر في أبحاث كولوتشي، ودانتاس، وتيواري . ^{[ 26 ] [ 27 ]}

• نماذج على المستوى الميكروي والمستوى الماكروي