مشكلة الهروب الضيق

مشكلة الهروب الضيق ^{[ 1 ] [ 2 ]} هي مشكلة منتشرة في علم الأحياء والفيزياء الحيوية وعلم الأحياء الخلوي .

الصيغة الرياضية هي كالتالي: جسيم براوني ( أيون ، جزيء ، أو بروتين ) محصور في نطاق محدود (حجرة أو خلية) بواسطة حد عاكس، باستثناء نافذة صغيرة يمكنه من خلالها الهروب. تكمن مشكلة الهروب الضيق في حساب متوسط ​​زمن الهروب. يتباعد هذا الزمن مع تقلص النافذة، مما يجعل الحساب مسألة اضطراب منفرد . ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

عندما يصبح الهروب أكثر صعوبة بسبب القيود الهندسية الشديدة في مكان الهروب، تتحول مشكلة الهروب الضيق إلى مشكلة المضيق الحرج . ^{[ 10 ] [ 11 ]}

طُرحت مسألة الهروب الضيق في سياق علم الأحياء والفيزياء الحيوية من قِبل د. هولكمان وز. شوس، ^{[ 12 ]} ولاحقًا مع أ. سينغر، وأدت إلى نظرية الهروب الضيق في الرياضيات التطبيقية وعلم الأحياء الحاسوبي . ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

يتم وصف حركة الجسيم بواسطة حد سمولوشوفسكي لمعادلة لانجفين : ^{[ 16 ] [ 17 ]}$${\displaystyle dX_{t}={\sqrt {2D}}\,dB_{t}+{\frac {1}{\gamma }}F(x)\,dt,}$$ أين${\displaystyle D}$يمثل معامل انتشار الجسيم،${\displaystyle \gamma }$هو معامل الاحتكاك لكل وحدة كتلة،${\displaystyle F(x)}$القوة لكل وحدة كتلة، و${\displaystyle B_{t}}$هي حركة براونية .

من الأسئلة الشائعة تقدير متوسط ​​زمن بقاء جسيم ينتشر في نطاق محدود$أوميغا$قبل أن يتسرب عبر نافذة صغيرة ماصة${\displaystyle \partial \Omega _{a}}$في حدودها${\displaystyle \partial \Omega }$يتم تقدير الوقت بشكل تقاربي في النهاية${\textstyle \varepsilon ={\frac {|\partial \Omega _{a}|}{|\partial \Omega |}}\ll 1}$

دالة كثافة الاحتمال (pdf)${\displaystyle p_{\varepsilon }(x,t)}$هي احتمالية وجود الجسيم في الموضع${\displaystyle x}$في ذلك الوقت${\displaystyle t}$.

دالة الكثافة الاحتمالية تحقق معادلة فوكر-بلانك : $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}p_{\varepsilon }(x,t)=D\Delta p_{\varepsilon }(x,t)-{\frac {1}{\gamma }}\nabla (p_{\varepsilon }(x,t)F(x))}$$ مع الشرط الابتدائي $${\displaystyle p_{\varepsilon }(x,0)=\rho _{0}(x)\,}$$وشروط حدودية مختلطة من نوع ديريشليه-نيومان (${\displaystyle t>0}$) $${\displaystyle p_{\varepsilon }(x,t)=0{\text{ for }}x\in \partial \Omega _{a}}$$$${\displaystyle D{\frac {\partial }{\partial n}}p_{\varepsilon }(x,t)-{\frac {p_{\varepsilon }(x,t)}{\gamma }}F(x)\cdot n(x)=0{\text{ for }}x\in \partial \Omega -\partial \Omega _{a}}$$

الوظيفة $${\displaystyle u_{\varepsilon }(y)=\int _{\Omega }\int _{0}^{\infty }p_{\varepsilon }(x,ty)\,dt\,dx}$$ يمثل متوسط ​​زمن بقاء الجسيم، بشرط الموضع الأولي${\displaystyle y}$إنه حل لمسألة القيمة الحدية

$${\displaystyle D\Delta u_{\varepsilon }(y)+{\frac {1}{\gamma }}F(y)\cdot \nabla u_{\varepsilon }(y)=-1}$$$${\displaystyle u_{\varepsilon }(y)=0{\text{ for }}y\in \partial \Omega _{a}}$$$${\displaystyle {\frac {\partial u_{\varepsilon }(y)}{\partial n}}=0{\text{ for }}y\in \partial \Omega _{r}}$$

يعتمد الحل على أبعاد المجال. بالنسبة لجزيء ينتشر على قرص ثنائي الأبعاد $${\displaystyle u_{\varepsilon }(y)={\frac {A}{\pi D}}\ln {\frac {1}{\varepsilon }}+O(1),}$$ أين${\displaystyle A}$هي سطح المجال. الدالة${\displaystyle u_{\epsilon }(y)}$لا يعتمد على الوضع الأولي${\displaystyle y}$، باستثناء طبقة حدودية صغيرة بالقرب من الحدود الممتصة بسبب الشكل التقاربي.

يُعدّ الحدّ من الدرجة الأولى مهمًا في البُعد الثاني: بالنسبة لقرص دائري نصف قطره${\displaystyle R}$متوسط ​​زمن هروب الجسيم الذي يبدأ من المركز هو $${\displaystyle E(\tau |x(0)=0)={\frac {R^{2}}{D}}\left(\log \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)+\log 2+{\frac {1}{4}}+O(\varepsilon )\right).}$$

يُعطى متوسط ​​زمن الهروب بالنسبة لتوزيع أولي منتظم للجسيم بالصيغة التالية: $${\displaystyle E(\tau )={\frac {R^{2}}{D}}\left(\log \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)+\log 2+{\frac {1}{8}}+O(\varepsilon )\right).}$$

يمكن أن تؤثر هندسة الفتحة الصغيرة على وقت الهروب: إذا كانت النافذة الماصة موجودة في زاوية زاوية${\displaystyle \alpha }$، ثم:

$${\displaystyle E\tau ={\frac {|\Omega |}{\alpha D}}\left[\log {\frac {1}{\varepsilon }}+O(1)\right].}$$

والأكثر إثارة للدهشة، بالقرب من نقطة تحول في مجال ثنائي الأبعاد، هو زمن الهروب${\displaystyle E\tau }$ينمو جبريًا، وليس لوغاريتميًا: في المجال المحصور بين دائرتين متماستين، يكون وقت الهروب هو: $${\displaystyle E\tau ={\frac {|\Omega |}{(d-1)D}}\left({\frac {1}{\varepsilon }}+O(1)\right),}$$ حيث d > 1 هي نسبة نصفي القطر. وأخيرًا، عندما يكون المجال حلقيًا، فإن زمن الهروب إلى فتحة صغيرة تقع على الدائرة الداخلية يتضمن معلمة ثانية وهي${\displaystyle \beta ={\frac {R_{1}}{R_{2}}}<1,}$نسبة نصف القطر الداخلي إلى نصف القطر الخارجي، ووقت الهروب، محسوبًا كمعدل بالنسبة لتوزيع أولي منتظم، هو: $${\displaystyle E\tau ={\frac {(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})}{D}}\left[\log {\frac {1}{\varepsilon }}+\log 2+2\beta ^{2}\right]+{\frac {1}{2}}{\frac {R_{2}^{2}}{1-\beta ^{2}}}\log {\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{4}}R_{2}^{2}+O(\varepsilon ,\beta ^{4})R_{2}^{2}.}$$

تحتوي هذه المعادلة على حدين من التوسع التقاربي لـ${\displaystyle E\tau }$و${\displaystyle 2\epsilon }$هي زاوية الحد الممتص. الحالة${\displaystyle \beta }$لا تزال مسألة الاقتراب من 1 مفتوحة، وبالنسبة للمجالات العامة، يظل التوسع التقاربي لزمن الهروب مشكلة مفتوحة . وكذلك مسألة حساب زمن الهروب بالقرب من نقطة انعطاف في المجالات ثلاثية الأبعاد. بالنسبة للحركة البراونية في مجال قوة$${\displaystyle F(x)\neq 0}$$لا تكون الفجوة في الطيف صغيرة بالضرورة بين القيمتين الذاتيتين الأولى والثانية، وذلك تبعاً للحجم النسبي للثقب الصغير وحواجز القوة التي يتعين على الجسيم التغلب عليها للهروب. كما أن تيار الهروب ليس بالضرورة بواسونياً .

النظرية التي تربط مشكلة الهروب من الحركة البراونية بمشكلة معادلة تفاضلية جزئية (حتمية) هي التالية.

هنا${\displaystyle \partial _{n}:=n\cdot \nabla }$المشتقة في الاتجاه${\displaystyle n}$، العمودي الخارجي على${\displaystyle \partial \Omega .}$علاوة على ذلك، يمكن حساب متوسط ​​التباين من الصيغة $${\displaystyle {\bar {v}}:={\frac {1}{\vert \Omega \vert }}\int _{\Omega }v(x)dx={\frac {1}{\vert \Omega \vert }}\int _{\Omega }T^{2}(x)dx=:T^{2}}$$

يُعد الجزء الأول من النظرية نتيجة كلاسيكية، بينما تم إثبات متوسط ​​التباين في عام 2011 بواسطة كاري كاجينالب وشينفو تشين. ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]}

لقد كان زمن الهروب موضوعًا للعديد من الدراسات التي استخدمت البوابة الصغيرة كمعامل صغير تقاربيًا. تقدم النتيجة المغلقة التالية ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]} حلاً دقيقًا يؤكد هذه الصيغ التقاربية ويوسعها لتشمل البوابات التي ليست بالضرورة صغيرة.

وتتعلق مجموعة أخرى من النتائج بكثافة الاحتمال لموقع المخرج. ^{[ 19 ]}

أي، لأي ( مجموعة بوريل )${\displaystyle \gamma \subset \partial \Omega }$، احتمال أن يبدأ جسيم ما إما من نقطة الأصل أو موزع بشكل منتظم في${\displaystyle \Omega }$، مما يدل على الحركة البراونية في${\displaystyle \Omega }$، مما يعكس لحظة حدوثها${\displaystyle \partial \Omega \setminus \Gamma }$والهروب بمجرد أن يصيبها${\displaystyle \Gamma }$، وينتهي به الأمر بالهروب من${\displaystyle \gamma }$يكون $${\displaystyle P(\gamma )=\int _{\gamma }{\bar {j}}(y)dS_{y}}$$ أين${\displaystyle dS_{y}}$هو العنصر السطحي لـ${\displaystyle \partial \Omega }$في${\displaystyle y\in \partial \Omega }$.

في المحاكاة، يوجد خطأ عشوائي ناتج عن عملية أخذ العينات الإحصائية. يمكن الحد من هذا الخطأ باللجوء إلى نظرية النهاية المركزية واستخدام عدد كبير من العينات. كما يوجد خطأ في التقطيع ناتج عن تقريب حجم الخطوة المحدود عند تقريب الحركة البراونية. يمكن بعد ذلك الحصول على نتائج تجريبية مع تغير حجم الخطوة وحجم البوابة. باستخدام النتيجة الدقيقة المذكورة أعلاه لحالة الدائرة، يمكن إجراء مقارنة دقيقة بين الحل الدقيق والحل العددي. ^{[ 21 ] [ 22 ]} يوضح هذا الفرق بين الخطوات المحدودة والانتشار المستمر. كما تم الحصول على توزيع لمواقع الخروج من خلال عمليات المحاكاة لهذه المسألة.

• نموذج الضربة الأولى