التحليل العقدي

في تحليل الدوائر الكهربائية، التحليل العقدي ، أو تحليل العقدة الجهدية ، أو طريقة التيار الفرعي هي طريقة لتحديد الجهد ( فرق الجهد ) بين " العقد " (نقاط اتصال العناصر أو الفروع) في الدائرة الكهربائية من حيث التيارات الفرعية.

التحليل العقدي هو في الأساس تطبيق منهجي لقانون كيرشوف الحالي (KCL) لتحليل الدائرة . وبالمثل، فإن تحليل الشبكة هو تطبيق منهجي لقانون كيرشوف للجهد (KVL). يكتب التحليل العقدي معادلة عند كل عقدة كهربائية تحدد أن التيارات الفرعية الواردة عند العقدة يجب أن يساوي مجموعها صفرًا (باستخدام KCL). تُكتب التيارات الفرعية من حيث جهد عقدة الدائرة. ونتيجة لذلك، يجب أن تعطي كل علاقة تكوينية فرعية التيار كدالة للجهد؛ تمثيل القبول . على سبيل المثال، بالنسبة للمقاوم، I _branch = V _branch * G، حيث G (=1/R) هو قبول (موصلية) المقاوم.

التحليل العقدي ممكن عندما يكون لجميع العلاقات التأسيسية الفرعية لعناصر الدائرة تمثيل قبول. ينتج التحليل العقدي مجموعة مضغوطة من المعادلات للشبكة، والتي يمكن حلها يدويًا إذا كانت صغيرة، أو يمكن حلها بسرعة باستخدام الجبر الخطي بواسطة الكمبيوتر. نظرًا للنظام المضغوط للمعادلات، تستخدم العديد من برامج محاكاة الدوائر (على سبيل المثال، SPICE ) التحليل العقدي كأساس. عندما لا تحتوي العناصر على تمثيلات قبول، يمكن استخدام امتداد أكثر عمومية للتحليل العقدي، وهو التحليل العقدي المعدل .

1. لاحظ جميع أجزاء الأسلاك المتصلة في الدائرة. هذه هي عقد التحليل العقدي.
2. اختر عقدة واحدة كمرجع أرضي . لا يؤثر الاختيار على جهد العناصر (ولكنه يؤثر على جهد العقدة) وهو مجرد مسألة اتفاقية. يمكن أن يؤدي اختيار العقدة ذات أكبر عدد من التوصيلات إلى تبسيط التحليل. بالنسبة لدائرة مكونة من N عقدة، يكون عدد معادلات العقدة هو N −1.
3. قم بتعيين متغير لكل عقدة يكون جهدها غير معروف. إذا كان الجهد معروفًا بالفعل، فليس من الضروري تعيين متغير.
4. لكل جهد غير معروف، قم بتكوين معادلة بناءً على قانون كيرشوف للتيار (أي جمع كل التيارات الخارجة من العقدة ووضع علامة على المجموع مساويًا للصفر). التيار بين عقدتين يساوي جهد العقدة التي يخرج منها التيار ناقص جهد العقدة التي يدخل منها التيار إلى العقدة، وكلاهما مقسوم على المقاومة بين العقدتين.
5. إذا كان هناك مصادر جهد بين جهدين غير معروفين، يتم ربط العقدتين كعقدة عظمى . يتم دمج تيارات العقدتين في معادلة واحدة، ويتم تشكيل معادلة جديدة للجهدين.
6. حل نظام المعادلات المتزامنة لكل جهد غير معروف.

الجهد الوحيد غير المعروف في هذه الدائرة هو . هناك ثلاث وصلات لهذه العقدة وبالتالي ثلاث تيارات يجب أخذها في الاعتبار. يتم اختيار اتجاه التيارات في الحسابات بعيدًا عن العقدة. ${\displaystyle V_{1}}$

1. التيار عبر المقاومة :${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle (V_{1}-V_{S})/R_{1}}$
2. التيار عبر المقاومة :${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle V_{1}/R_{2}}$
3. التيار من خلال مصدر التيار :${\displaystyle I_{S}}$${\displaystyle -I_{S}}$

وباستخدام قانون كيرشوف الحالي، نحصل على:

$${\displaystyle {\frac {V_{1}-V_{S}}{R_{1}}}+{\frac {V_{1}}{R_{2}}}-I_{S}=0}$$

يمكن حل هذه المعادلة بالنسبة إلى V ₁ :

$${\displaystyle V_{1}={\frac {\left({\frac {V_{S}}{R_{1}}}+I_{S}\right)}{\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)}}}$$

أخيرًا، يمكن حل مشكلة الجهد غير المعروف عن طريق استبدال القيم العددية بالرموز. ومن السهل حساب أي تيارات غير معروفة بعد معرفة جميع الجهدات في الدائرة.

$${\displaystyle V_{1}={\frac {\left({\frac {5{\text{ V}}}{100\,\Omega }}+20{\text{ mA}}\right)}{\left({\frac {1}{100\,\Omega }}+{\frac {1}{200\,\Omega }}\right)}}={\frac {14}{3}}{\text{ V}}}$$

في هذه الدائرة، لدينا في البداية جهدان غير معروفين، V ₁ وV _2. الجهد عند V ₃ معروف بالفعل بأنه V _B لأن الطرف الآخر لمصدر الجهد يقع عند جهد الأرض.

لا يمكن حساب التيار المار عبر مصدر الجهد V _A بشكل مباشر. لذلك، لا يمكننا كتابة معادلات التيار لكل من V ₁ أو V _2. ومع ذلك، فإننا نعلم أن نفس التيار الذي يغادر العقدة V ₂ يجب أن يدخل العقدة V _1. وعلى الرغم من أنه لا يمكن حل العقدتين بشكل فردي، فإننا نعلم أن التيار المشترك لهاتين العقدتين يساوي صفرًا. يُطلق على هذا الجمع بين العقدتين تقنية العقدة الفائقة ، ويتطلب معادلة إضافية واحدة: V ₁ = V ₂ + V _A.

المجموعة الكاملة للمعادلات لهذه الدائرة هي:

$${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {V_{1}-V_{\text{B}}}{R_{1}}}+{\frac {V_{2}-V_{\text{B}}}{R_{2}}}+{\frac {V_{2}}{R_{3}}}=0\\V_{1}=V_{2}+V_{\text{A}}\\\end{cases}}}$$

عن طريق الاستعاضة $${\displaystyle V_{2}={\frac {(R_{1}+R_{2})R_{3}V_{\text{B}}-R_{2}R_{3}V_{\text{A}}}{(R_{1}+R_{2})R_{3}+R_{1}R_{2}}}}$$

بشكل عام، بالنسبة لدائرة بها عقد، يمكن كتابة معادلات العقدة-الجهد التي تم الحصول عليها من خلال التحليل العقدي في شكل مصفوفة كما هو مستمد مما يلي. بالنسبة لأي عقدة، تنص KCL على أن حيث هو السالب لمجموع الموصلات بين العقد و ، و هو جهد العقدة . وهذا يعني أن حيث هو مجموع الموصلات المتصلة بالعقدة . نلاحظ أن الحد الأول يساهم خطيًا في العقدة عبر ، بينما يساهم الحد الثاني خطيًا في كل عقدة متصلة بالعقدة عبر بعلامة ناقص. إذا تم أيضًا توصيل مصدر/مدخل تيار مستقل بالعقدة ، فإن التعبير أعلاه يتم تعميمه على . يُظهر بسهولة أنه يمكن للمرء الجمع بين معادلات العقدة-الجهد أعلاه لجميع العقد، وكتابتها في شكل المصفوفة التالي ${\displaystyle N}$${\displaystyle k}$${\textstyle \sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=0}$${\displaystyle G_{kj}=G_{jk}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle j}$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle k}$${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$${\displaystyle G_{kk}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle G_{kk}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle G_{jk}}$${\displaystyle i_{k}}$${\displaystyle k}$${\textstyle i_{k}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}G_{11}&G_{12}&\cdots &G_{1N}\\G_{21}&G_{22}&\cdots &G_{2N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\G_{N1}&G_{N2}&\cdots &G_{NN}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i_{1}\\i_{2}\\\vdots \\i_{N}\end{pmatrix}}}$$ أو ببساطة${\textstyle \mathbf {Gv} =\mathbf {i} .}$

المصفوفة الموجودة على الجانب الأيسر من المعادلة مفردة لأنها تلبي حيث هي مصفوفة عمودية تحتوي على 1 فقط. وهذا يتوافق مع حقيقة الحفاظ على التيار، أي، وحرية اختيار عقدة مرجعية (أرضية). في الممارسة العملية، يتم أخذ الجهد عند العقدة المرجعية ليكون 0. لنفترض أنها العقدة الأخيرة، . في هذه الحالة، من السهل التحقق من أن المعادلات الناتجة للعقد الأخرى تظل كما هي، وبالتالي يمكن للمرء ببساطة تجاهل العمود الأخير وكذلك السطر الأخير من معادلة المصفوفة. ينتج عن هذا الإجراء معادلة مصفوفة غير مفردة الأبعاد مع بقاء تعريفات جميع العناصر دون تغيير. ${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {G1} =0}$${\displaystyle \mathbf {1} }$${\displaystyle N\times 1}$${\textstyle \مجموع _{ك}i_{ك}=0}$${\displaystyle v_{N}=0}$${\displaystyle N-1}$${\displaystyle (N-1)\times (N-1)}$

• تحليل الشبكة
• مصفوفة Ybus
• الطوبولوجيا (الدوائر الكهربائية)
• الحفاظ على الشحنة
• مخطط الدائرة

• P. Dimo ​​التحليل العقدي لأنظمة الطاقة Abacus Press Kent 1975

• طريقة الفرع الحالي
• حل المشكلات عبر الإنترنت بأربعة عقد
• مثال بسيط لتحليل العقدة