تحليل الشبكات (الدوائر الكهربائية)

تحليل الشبكة الخطية
عناصر

عناصر

الدوائر المتصلة على التوالي والتوازي

تحويلات المعاوقة

نظريات المولدات	نظريات الشبكة

أساليب تحليل الشبكات

معلمات ثنائية المنفذ

	منظر يتحدث يحرر

في الهندسة الكهربائية والإلكترونيات ، تُعرَّف الشبكة بأنها مجموعة من المكونات المترابطة . ويُقصد بتحليل الشبكة عملية إيجاد الفولتية والتيارات المارة عبر جميع مكونات الشبكة. توجد العديد من التقنيات لحساب هذه القيم، إلا أن معظمها يفترض أن المكونات خطية . ما لم يُذكر خلاف ذلك، فإن الطرق الموضحة في هذه المقالة تنطبق فقط على تحليل الشبكات الخطية .

التعريفات

عنصر	جهاز يحتوي على طرفين أو أكثر يمكن أن يتدفق التيار الكهربائي من خلالهما أو من خلالهما.
العقدة	نقطة التقاء أطراف أكثر من عنصرين. يُعتبر الموصل ذو المقاومة الصفرية تقريبًا عقدة لأغراض التحليل.
فرع	المكون (المكونات) الذي يربط بين عقدتين.
شبكة	مجموعة من الفروع داخل شبكة متصلة لتشكيل حلقة كاملة بحيث لا توجد حلقة أخرى بداخلها.
ميناء	طرفان يكون التيار الداخل إلى أحدهما مطابقًا للتيار الخارج من الآخر.
الدائرة	يمر التيار من أحد طرفي المولد ، عبر مكونات الحمل، ثم يعود إلى الطرف الآخر. تُعتبر الدائرة، بهذا المعنى، شبكة أحادية المنفذ، وهي حالة بسيطة للتحليل. أما إذا وُجد أي اتصال بأي دوائر أخرى، فتتشكل شبكة معقدة، ويجب أن تحتوي على منفذين على الأقل. غالبًا ما يُستخدم مصطلحا "الدائرة" و"الشبكة" بشكل متبادل، لكن العديد من المحللين يحصرون مصطلح "الشبكة" في نموذج مثالي يتكون من مكونات مثالية. ^{[ 1 ]}
دالة التحويل	العلاقة بين التيارات و/أو الفولتية بين منفذين. في أغلب الأحيان، تتم مناقشة منفذ إدخال ومنفذ إخراج، ويتم وصف دالة النقل بأنها كسب أو توهين.
دالة نقل المكونات	بالنسبة للمكون ثنائي الأطراف (أي المكون أحادي المنفذ)، يُعتبر التيار والجهد مدخلين ومخرجين، وتكون وحدة دالة النقل إما معاوقة أو مُسامحة (ويُعدّ اختيار الجهد أو التيار كمدخل مسألة اختيارية). أما المكون ثلاثي الأطراف (أو أكثر) فيحتوي فعليًا على منفذين (أو أكثر)، ولا يمكن التعبير عن دالة النقل فيه كمعاوقة واحدة. ويتمثل النهج المعتاد في التعبير عن دالة النقل كمصفوفة من المعاملات. قد تكون هذه المعاملات معاوقات، ولكن توجد العديد من الطرق الأخرى (انظر: شبكة ثنائية المنافذ ).

الدوائر المكافئة

من الإجراءات المفيدة في تحليل الشبكات تبسيط الشبكة بتقليل عدد مكوناتها. ويمكن تحقيق ذلك باستبدال المكونات المادية بمكونات افتراضية أخرى تؤدي نفس الوظيفة. قد تُقلل تقنية معينة عدد المكونات مباشرةً، على سبيل المثال بدمج المعاوقات على التوالي. من جهة أخرى، قد تُغير هذه التقنية شكل الشبكة إلى شكل يُمكن فيه تقليل عدد المكونات لاحقًا. على سبيل المثال، يُمكن تحويل مولد الجهد إلى مولد تيار باستخدام نظرية نورتون، وذلك لدمج المقاومة الداخلية للمولد مع حمل معاوقة متوازي لاحقًا.

الدائرة المقاومة هي دائرة تحتوي فقط على مقاومات ومصادر تيار مثالية ومصادر جهد مثالية . إذا كانت المصادر ثابتة ( تيار مستمر )، فإن النتيجة هي دائرة تيار مستمر . يتضمن تحليل الدائرة إيجاد قيم الجهد والتيار فيها. تنطبق مبادئ الحل الموضحة هنا أيضًا على تحليل المتجهات لدوائر التيار المتردد .

يقال إن دائرتين متكافئتان فيما يتعلق بزوج من الأطراف إذا كان الجهد عبر الأطراف والتيار عبر الأطراف لشبكة واحدة لهما نفس العلاقة بين الجهد والتيار عند أطراف الشبكة الأخرى.

لو $V_{2}=V_{1}$ يشير إلى $I_{2}=I_{1}$ بالنسبة لجميع القيم (الحقيقية) لـ $V 1$ ، فإن الدائرة 1 والدائرة 2 متكافئتان بالنسبة للطرفين $ab$ و $xy .$

ما سبق يُعد تعريفًا كافيًا لشبكة ذات منفذ واحد . أما بالنسبة للشبكات التي تحتوي على أكثر من منفذ، فيجب تحديد أن التيارات والفولتيات بين جميع أزواج المنافذ المتناظرة يجب أن تكون متطابقة. على سبيل المثال، تُعتبر شبكات النجمة والدلتا شبكات ثلاثية المنافذ، وبالتالي تتطلب ثلاث معادلات آنية لتحديد تكافؤها بشكل كامل.

المعاوقات المتصلة على التوالي والتوازي

يمكن في النهاية اختزال شبكة ثنائية الأطراف من المعاوقات إلى معاوقة واحدة عن طريق التطبيقات المتتالية للمعاوقات على التوالي أو المعاوقات على التوازي.

المعاوقات المتصلة على التوالي : $Z_{\mathrm {eq} }=Z_{1}+Z_{2}+\,\cdots \,+Z_{n}.$
المعاوقات المتوازية : ${\frac {1}{Z_{\mathrm {eq} }}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+\,\cdots \,+{\frac {1}{Z_{n}}}.$ ${\frac {1}{Z_{\mathrm {eq} }}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+\,\cdots \,+{\frac {1}{Z_{n}}}.$
- ما سبق مبسط لحالتين فقط متصلتين على التوازي: $Z_{\mathrm {eq} }={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}.$

تحويل دلتا واي

لا يمكن اختزال شبكة معاوقات بأكثر من طرفين إلى دائرة معاوقة مكافئة واحدة . يمكن اختزال شبكة ذات $n طرفًا، في أفضل الأحوال، إلى$ $n$ معاوقة (في أسوأ الأحوال). ${\tbinom {n}{2}}$ في شبكة ثلاثية الأطراف، يمكن تمثيل المعاوقات الثلاث بشبكة دلتا (Δ) ثلاثية العقد أو شبكة نجمة (Y) رباعية العقد. هاتان الشبكتان متكافئتان، والتحويلات بينهما موضحة أدناه. لا يمكن اختزال أي شبكة عامة ذات عدد عقد عشوائي إلى الحد الأدنى من المعاوقات باستخدام التوصيلات المتسلسلة والمتوازية فقط. عمومًا، يجب استخدام تحويلات Y-Δ وΔ-Y. في بعض الشبكات، قد يلزم توسيع تحويل Y-Δ ليشمل تحويلات النجمة المضلعة .

لتحقيق التكافؤ، يجب أن تكون المعاوقات بين أي زوج من الأطراف متساوية في الشبكتين، مما ينتج عنه مجموعة من ثلاث معادلات آنية. المعادلات أدناه معبر عنها كمقاومات، لكنها تنطبق أيضاً على الحالة العامة التي تستخدم المعاوقات.

معادلات تحويل دلتا إلى نجمة

// }R_ {\mathrm {bc}}}{R_ {\mathrm {ac}}+R_ {\mathrm {ab}}+R_ {\mathrm {bc} }}}\\R_{c}&= {\frac {R_{\mathrm {bc}} R_ {\mathrm {ac} }}{R_ {\mathrm {ac} }+R_ {\mathrm {أ} }+R_{\mathrm {bc} }}}\end{aligned}}}

معادلات تحويل النجمة إلى دلتا

{\begin{aligned}R_{\mathrm {ac} }&={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{b}}}\\R_{\mathrm {ab} }&={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{c}}}\\R_{\mathrm {bc} }&={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{a}}}\end{aligned}}

الشكل العام لإزالة عقد الشبكة

تُعدّ تحويلات النجمة إلى دلتا وتحويلات المقاومة المتسلسلة حالات خاصة من خوارزمية حذف عقد شبكة المقاومات العامة. يمكن استبدال أي عقدة $متصلة$ $بـ$ N $مقاومة$ ( $R1 \dots RN) بالعقد$ 1 $\dots$ $N بـ$ ${\tbinom {N}{2}}$ المقاومات التي تربط العقد المتبقية البالغ عددها $N.$ تُعطى المقاومة بين أي عقدتين $x و y بالعلاقة التالية:$

R_{\mathrm {xy} }=R_{x}R_{y}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{R_{i}}}

بالنسبة لتحول النجمة إلى دلتا ( $N = 3$ )، فإن هذا يختزل إلى:

{\begin{aligned}R_{\mathrm {ab} }&=R_{a}R_{b}\left({\frac {1}{R}}_{a}+{\frac {1}{R}}_{b}+{\frac {1}{R}}_{c}\right)={\frac {R_{a}R_{b}(R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c})}{R_{a}R_{b}R_{c}}}\\&={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{c}}}\end{aligned}}

بالنسبة لاختزال السلسلة ( $N = 2$ )، فإن هذا يختزل إلى:

R_{\mathrm {ab} }=R_{a}R_{b}\left({\frac {1}{R}}_{a}+{\frac {1}{R}}_{b}\right)={\frac {R_{a}R_{b}(R_{a}+R_{b})}{R_{a}R_{b}}}=R_{a}+R_{b}

بالنسبة للمقاومة المعلقة ( $N = 1$ )، ينتج عن ذلك إزالة المقاومة لأن ${\tbinom {1}{2}}=0$ .

تحويل المصدر

يمكن تمثيل مولد ذي مقاومة داخلية (أي مولد غير مثالي) إما كمولد جهد مثالي أو كمولد تيار مثالي مضافًا إليه المقاومة. هذان الشكلان متكافئان، والتحويلات موضحة أدناه. إذا كانت الشبكتان متكافئتين بالنسبة للطرفين ab، فإن $V$ و $I$ يجب أن يكونا متطابقين في كلتا الشبكتين. وبالتالي،

V_{\mathrm {s} }=RI_{\mathrm {s} }\,\!

أو

I_{\mathrm {s} }={\frac {V_{\mathrm {s} }}{R}}

تنص نظرية نورتون على أنه يمكن اختزال أي شبكة خطية ثنائية الأطراف إلى مولد تيار مثالي ومعاوقة متوازية.
تنص نظرية ثيفينين على أنه يمكن اختزال أي شبكة خطية ذات طرفين إلى مولد جهد مثالي بالإضافة إلى معاوقة متسلسلة.

الشبكات البسيطة

يمكن تحليل بعض الشبكات البسيطة للغاية دون الحاجة إلى تطبيق الأساليب الأكثر منهجية.

تقسيم الجهد لمكونات التوالي

لنفترض وجود n معاوقة موصولة على التوالي . الجهد $V_{i}$ عبر أي مقاومة $Z_{i}$ يكون

V_{i}=Z_{i}I=\left({\frac {Z_{i}}{Z_{1}+Z_{2}+\cdots +Z_{n}}}\right)V

التقسيم الحالي للمكونات المتوازية

لنفترض وجود n موصلات موصولة على التوازي . التيار $I_{i}$ من خلال أي مدخل $Y_{i}$ يكون

I_{i}=Y_{i}V=\left({\frac {Y_{i}}{Y_{1}+Y_{2}+\cdots +Y_{n}}}\right)I

ل $i=1,2,...,n.$

حالة خاصة: القسمة الحالية لمكونين متوازيين

I_{1}=\left({\frac {Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}\right)I

I_{2}=\left({\frac {Z_{1}}{Z_{1}+Z_{2}}}\right)I

تحليل العقد

يستخدم تحليل العقد مفهوم جهد العقدة، ويعتبر جهود العقد متغيرات مجهولة. ^{[ 2 ]}^{: 2-8 - 2-9.} بالنسبة لجميع العقد، باستثناء عقدة مرجعية مختارة، يُعرَّف جهد العقدة بأنه فرق الجهد من العقدة إلى العقدة المرجعية. لذلك، يوجد N-1 جهد عقدة لدائرة تحتوي على N عقدة. ^{[ 2 ]}^{: 2-10}

من حيث المبدأ، يستخدم تحليل العقد قانون كيرشوف للتيار (KCL) عند N-1 عقدة للحصول على N-1 معادلة مستقلة. وبما أن المعادلات الناتجة عن قانون كيرشوف للتيار تُعبر عن التيارات الداخلة والخارجة من العقد، فإن هذه التيارات، إذا كانت قيمها غير معروفة، يجب تمثيلها بالمتغيرات المجهولة (فولتيات العقد). بالنسبة لبعض العناصر (مثل المقاومات والمكثفات)، يُعدّ الحصول على تيارات العنصر بدلالة فولتيات العقد أمرًا بسيطًا.

بالنسبة لبعض العناصر الشائعة التي لا يمكن فيها ذلك، تُطوَّر طرق متخصصة. على سبيل المثال، يُستخدم مفهوم يُسمى العقدة الفائقة للدوائر ذات مصادر الجهد المستقلة. ^{[ 2 ]}^{: 2-12 - 2-13}

قم بتسمية جميع العقد في الدائرة. اختر أي عقدة بشكل عشوائي كمرجع.
حدد متغير جهد من كل عقدة متبقية إلى العقدة المرجعية. يجب تعريف متغيرات الجهد هذه على أنها ارتفاعات الجهد بالنسبة إلى العقدة المرجعية.
اكتب معادلة قانون كيرشوف للتيار لكل عقدة باستثناء العقدة المرجعية.
حل نظام المعادلات الناتج.

تحليل الشبكة

الشبكة - حلقة لا تحتوي على حلقة داخلية.

احسب عدد "ألواح النوافذ" في الدائرة. خصص تيارًا شبكيًا لكل لوح نافذة.
اكتب معادلة قانون كيرشوف للجهد (KVL) لكل شبكة يكون تيارها غير معروف.
حل المعادلات الناتجة

تراكب

في هذه الطريقة، يُحسب تأثير كل مولد على حدة. تُزال جميع المولدات الأخرى غير المولد قيد الدراسة، ويتم توصيلها بدائرة قصر في حالة مولدات الجهد، أو بدائرة مفتوحة في حالة مولدات التيار. ثم يُحسب إجمالي التيار المار عبر فرع معين أو إجمالي الجهد عبره بجمع جميع التيارات أو الجهود الفردية.

يفترض هذا الأسلوب ضمنيًا أن التيار أو الجهد الكلي هو مجموع خطي لأجزائه. لذا، لا يمكن استخدام هذا الأسلوب في حال وجود مكونات غير خطية. ^{[ 2 ]}^{: 6-14} لا يمكن استخدام تراكب القدرات لإيجاد القدرة الكلية المستهلكة من قِبل العناصر حتى في الدوائر الخطية. تتغير القدرة تبعًا لمربع الجهد أو التيار الكلي، ومربع المجموع لا يساوي عادةً مجموع المربعات. يمكن إيجاد القدرة الكلية في عنصر ما بتطبيق مبدأ التراكب على الجهود والتيارات بشكل منفصل، ثم حساب القدرة من الجهد والتيار الكليين.

اختيار الطريقة

يُعد اختيار الطريقة ^{[ 3 ]}^{: 112-113} مسألة ذوق إلى حد ما. فإذا كانت الشبكة بسيطة للغاية، أو إذا كان المطلوب تيارًا أو جهدًا محددًا فقط، فقد يؤدي تطبيق بعض الدوائر المكافئة البسيطة بشكل مؤقت إلى الحصول على الإجابة دون اللجوء إلى الطرق الأكثر منهجية.

تحليل العقد : عدد متغيرات الجهد، وبالتالي عدد المعادلات الآنية المطلوب حلها، يساوي عدد العقد ناقص واحد. كل مصدر جهد متصل بالعقدة المرجعية يقلل عدد المجاهيل والمعادلات بمقدار واحد.
تحليل الشبكة : عدد المتغيرات الحالية، وبالتالي عدد المعادلات الآنية المطلوب حلها، يساوي عدد الشبكات. كل مصدر تيار في الشبكة يقلل عدد المجاهيل بمقدار واحد. لا يمكن استخدام تحليل الشبكة إلا مع الشبكات التي يمكن رسمها كشبكة مستوية ، أي بدون مكونات متقاطعة. ^{[ 3 ]}^{: 94}
ربما تكون طريقة التراكب هي أبسط الطرق من الناحية المفاهيمية، ولكنها تؤدي بسرعة إلى عدد كبير من المعادلات ومجموعات المعاوقة الفوضوية كلما كبرت الشبكة.
تقريبات الوسط الفعال : بالنسبة لشبكة تتكون من كثافة عالية من المقاومات العشوائية، قد يكون إيجاد حل دقيق لكل عنصر على حدة غير عملي أو مستحيل. بدلاً من ذلك، يمكن نمذجة خصائص المقاومة الفعالة وتوزيع التيار بدلالة مقاييس الرسم البياني والخصائص الهندسية للشبكات. ^{[ 4 ]}

دالة التحويل

تُعبّر دالة التحويل عن العلاقة بين مدخل ومخرج الشبكة. في الشبكات المقاومة، تكون هذه الدالة دائمًا عددًا حقيقيًا بسيطًا أو تعبيرًا يُختزل إلى عدد حقيقي. تُمثَّل الشبكات المقاومة بنظام من المعادلات الجبرية الآنية. أما في حالة الشبكات الخطية، فتُمثَّل الشبكة بنظام من المعادلات التفاضلية الخطية الآنية. في تحليل الشبكات، بدلًا من استخدام المعادلات التفاضلية مباشرةً، يُجرى عادةً تحويل لابلاس عليها أولًا، ثم يُعبَّر عن النتيجة بدلالة معامل لابلاس s، وهو عادةً عدد مُركَّب . يُوصف هذا بالعمل في مجال s . أما التعامل مع المعادلات مباشرةً فيُوصف بالعمل في مجال الزمن (t)، لأن النتائج تُعبَّر عنها ككميات متغيرة مع الزمن. تحويل لابلاس هو الطريقة الرياضية للتحويل بين مجال s ومجال t.

هذا النهج معياري في نظرية التحكم وهو مفيد لتحديد استقرار النظام، على سبيل المثال، في مكبر الصوت المزود بتغذية راجعة.

وظائف نقل المكونات ذات الطرفين

بالنسبة للمكونات ذات الطرفين، فإن دالة النقل، أو بشكل أعم بالنسبة للعناصر غير الخطية، المعادلة التكوينية ، هي العلاقة بين التيار الداخل إلى الجهاز والجهد الناتج عبره. وبالتالي، فإن دالة النقل، Z(s)، ستكون بوحدات المعاوقة، أي الأوم. أما بالنسبة للمكونات السلبية الثلاثة الموجودة في الشبكات الكهربائية، فإن دوال النقل هي:

المقاوم	$Z(s)=R\,\!$
مغو	$Z(s)=sL\,\!$
مكثف	$Z(s)={\frac {1}{sC}}$

بالنسبة للشبكة التي يتم تطبيق إشارات التيار المتردد الثابتة عليها فقط، يتم استبدال s بـ jω وتنتج القيم الأكثر شيوعًا من نظرية شبكة التيار المتردد.

المقاوم	$Z(j\omega )=R\,\!$
مغو	$Z(j\omega )=j\omega L\,\!$
مكثف	$Z(j\omega )={\frac {1}{j\omega C}}$

وأخيرًا، بالنسبة للشبكة التي يتم تطبيق تيار مستمر ثابت عليها فقط، يتم استبدال s بالصفر ويتم تطبيق نظرية شبكة التيار المستمر.

المقاوم	$Z=R\,\!$
مغو	$Z=0\,\!$
مكثف	$Z=\infty \,\!$

وظيفة نقل الشبكة ثنائية المنافذ

بشكل عام، تُعطى دوال النقل في نظرية التحكم بالرمز H(s). في أغلب الأحيان في الإلكترونيات، تُعرف دالة النقل بأنها نسبة جهد الخرج إلى جهد الدخل وتُعطى بالرمز A(s)، أو بشكل أكثر شيوعًا (لأن التحليل يتم دائمًا من حيث استجابة الموجة الجيبية )، A ( jω )، بحيث؛ $A(j\omega )={\frac {V_{o}}{V_{i}}}$

يرمز الحرف A إلى التوهين أو التضخيم، حسب السياق. عمومًا، ستكون هذه دالة مركبة لـ jω ، والتي يمكن استنتاجها من تحليل معاوقات الشبكة ودوال نقلها الفردية. أحيانًا يهتم المحلل فقط بمقدار الكسب وليس زاوية الطور. في هذه الحالة، يمكن حذف الأعداد المركبة من دالة النقل، ويمكن كتابتها حينها على النحو التالي: $A(\omega )=\left|{\frac {V_{o}}{V_{i}}}\right|$

معلمات المنفذين

يُعدّ مفهوم الشبكة ثنائية المنافذ مفيدًا في تحليل الشبكات، إذ يُتيح تحليلها كصندوق أسود . ويمكن وصف سلوك هذه الشبكة ضمن شبكة أكبر وصفًا كاملًا دون الحاجة إلى ذكر أي تفاصيل عن بنيتها الداخلية. مع ذلك، يتطلب ذلك معلومات أكثر من مجرد A(jω) المذكورة سابقًا. ويمكن إثبات أن أربعة معايير مطلوبة لوصف الشبكة ثنائية المنافذ وصفًا كاملًا. وهذه المعايير هي: دالة التحويل الأمامي، ومعاوقة الدخل ، ودالة التحويل العكسي (أي الجهد الظاهر عند الدخل عند تطبيق جهد على الخرج)، ومعاوقة الخرج . وهناك معايير أخرى كثيرة (راجع المقال الرئيسي للاطلاع على القائمة الكاملة)، أحدها يُعبّر عن المعايير الأربعة جميعها كمعاوقات. ومن الشائع التعبير عن هذه المعايير الأربعة كمصفوفة. ${\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z(j\omega )_{11}&z(j\omega )_{12}\\z(j\omega )_{21}&z(j\omega )_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{0}\end{bmatrix}}$

يمكن اختصار المصفوفة إلى عنصر تمثيلي؛

$\left[z(j\omega )\right]$ أو فقط $\left[z\right]$

يمكن توسيع نطاق هذه المفاهيم لتشمل شبكات تضم أكثر من منفذين. مع ذلك، نادرًا ما يُطبّق هذا عمليًا، لأن المنافذ في كثير من الحالات تُعتبر إما مدخلات بحتة أو مخرجات بحتة. إذا تم تجاهل دوال النقل في الاتجاه المعاكس، يمكن دائمًا تقسيم شبكة متعددة المنافذ إلى عدد من الشبكات ثنائية المنافذ.

المكونات الموزعة

عندما تتكون الشبكة من مكونات منفصلة، فإن التحليل باستخدام شبكات ثنائية المنافذ هو خيار وليس شرطًا أساسيًا. يمكن دائمًا تحليل الشبكة باستخدام دوال نقل مكوناتها الفردية. مع ذلك، إذا احتوت الشبكة على مكونات موزعة ، كما هو الحال في خط النقل ، فلا يمكن تحليلها باستخدام مكونات فردية لأنها غير موجودة. النهج الأكثر شيوعًا في هذه الحالة هو نمذجة الخط كشبكة ثنائية المنافذ وتوصيفها باستخدام معلمات ثنائية المنافذ (أو ما يعادلها). مثال آخر على هذه التقنية هو نمذجة الموجات الحاملة التي تعبر منطقة القاعدة في ترانزستور عالي التردد. يجب نمذجة منطقة القاعدة كمقاومة وسعة موزعتين بدلًا من مكونات مجمعة .

تحليل الصور

تستخدم خطوط النقل وأنواع معينة من تصميم المرشحات طريقة الصورة لتحديد معلمات النقل الخاصة بها. في هذه الطريقة، يُؤخذ سلوك سلسلة متصلة لا نهائية الطول من الشبكات المتطابقة في الاعتبار. ثم تُحسب معاوقات الإدخال والإخراج ووظائف النقل الأمامي والعكسي لهذه السلسلة اللانهائية الطول. على الرغم من أن القيم النظرية التي يتم الحصول عليها بهذه الطريقة لا يمكن تحقيقها بدقة في الواقع العملي، إلا أنها في كثير من الحالات تُعد تقريبًا جيدًا جدًا لسلوك سلسلة محدودة طالما أنها ليست قصيرة جدًا.

تحليل الشبكات الزمني باستخدام المحاكاة

تُحسب معظم طرق التحليل قيم الجهد والتيار للشبكات الثابتة، وهي دوائر تتكون من مكونات عديمة الذاكرة فقط، لكنها تواجه صعوبات مع الشبكات الديناميكية المعقدة. عمومًا، تكون المعادلات التي تصف سلوك الدائرة الديناميكية على شكل نظام معادلات تفاضلية جبرية (DAEs). يُعد حل هذه المعادلات تحديًا، ولا تزال طرق حلها قيد التطوير والفهم الكامل (حتى عام 2010). كما لا توجد نظرية عامة تضمن وجود حلول فريدة لهذه المعادلات. ^{[ 5 ]}^{: 204-205.} في حالات خاصة، تكون معادلة الدائرة الديناميكية على شكل معادلة تفاضلية عادية (ODE)، وهي أسهل في الحل، نظرًا لتاريخ الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية العادية العريق، والذي يعود إلى أواخر القرن التاسع عشر. تُعرف إحدى استراتيجيات تكييف طرق حل المعادلات التفاضلية العادية مع المعادلات التفاضلية الجبرية بالتقطيع المباشر، وهي الطريقة المُفضلة في محاكاة الدوائر. ^{[ 5 ]}^{: 204-205}

تقوم الطرق القائمة على المحاكاة لتحليل الشبكات الزمنية بحل دائرة تُطرح كمسألة قيمة ابتدائية (IVP). أي أن قيم المكونات ذات الذاكرة (على سبيل المثال، الفولتية على المكثفات والتيارات عبر المحاثات) تُعطى عند نقطة زمنية ابتدائية $t 0$ ، ويتم إجراء التحليل خلال الفترة الزمنية t 0. $t_{0}\leq t\leq t_{f}$ [ ^{5 ]}^{: 206-207 بما}^أنه $من$ غير الممكن إيجاد نتائج عددية لعدد لا نهائي من النقاط الزمنية من t₀ إلى $tᵗ ،$ $يتم$ تقسيم هذه الفترة الزمنية إلى لحظات زمنية منفصلة، ويتم إيجاد الحل العددي لكل لحظة. يُطلق على الفترة الزمنية بين هذه اللحظات اسم الخطوة الزمنية، ويمكن أن تكون ثابتة طوال فترة المحاكاة أو متغيرة .

في مسألة القيمة الابتدائية، عند إيجاد حل للزمن $t n+1$ ، يكون الحل للزمن $t n$ معروفًا مسبقًا. بعد ذلك، يُستخدم التقطيع الزمني لاستبدال المشتقات بالفروق، مثل: $x'(t_{n+1})\approx {\frac {x_{n+1}-x_{n}}{h_{n+1}}}$ بالنسبة لطريقة أويلر العكسية ، حيث $h n+1$ هي خطوة الزمن. ^{[ 5 ]}^{: 266}

إذا كانت جميع مكونات الدائرة خطية أو تم تبسيط الدائرة مسبقًا، فإن نظام المعادلات في هذه المرحلة يكون نظام معادلات خطية ويُحل باستخدام طرق الجبر الخطي العددي . وإلا، فإنه يكون نظام معادلات جبرية غير خطية ويُحل باستخدام طرق عددية غير خطية مثل خوارزميات إيجاد الجذور .

مقارنة بالأساليب الأخرى

تُعدّ أساليب المحاكاة أكثر ملاءمةً من الأساليب القائمة على تحويل لابلاس ، مثل دوال النقل ، التي لا تُجدي نفعًا إلا مع الشبكات الديناميكية البسيطة التي تحتوي على مكثفات وملفات حث. كما لا يُمكن تحديد إشارات الدخل للشبكة بشكلٍ عشوائي في الأساليب القائمة على تحويل لابلاس.

الشبكات غير الخطية

معظم التصاميم الإلكترونية، في الواقع، غير خطية. ونادراً ما نجد تصميمات لا تتضمن بعض أجهزة أشباه الموصلات. وهذه الأجهزة غير خطية بطبيعتها؛ إذ تُعطى دالة نقل وصلة pn مثالية لأشباه الموصلات بعلاقة غير خطية للغاية.

i=I_{o}\left(e^{{v}/{V_{T}}}-1\right)

أين؛

يمثل i و v التيار والجهد اللحظيين.
I _o هو معلمة اختيارية تسمى تيار التسرب العكسي وتعتمد قيمتها على بنية الجهاز.
V _T هو معلمة تتناسب مع درجة الحرارة تسمى الجهد الحراري وتساوي حوالي 25 مللي فولت عند درجة حرارة الغرفة.

توجد طرق أخرى عديدة لظهور اللاخطية في الشبكة. جميع الطرق التي تستخدم مبدأ التراكب الخطي تفشل عند وجود مكونات لاخطية. تتوفر خيارات متعددة للتعامل مع اللاخطية، وذلك بحسب نوع الدائرة والمعلومات التي يرغب المحلل في الحصول عليها.

المعادلات التكوينية

معادلة الثنائي أعلاه هي مثال على معادلة تكوين عنصر من الشكل العام،

f(v,i)=0

يمكن اعتبار هذا بمثابة مقاومة غير خطية. المعادلات التكوينية المقابلة للمحاثات والمكثفات غير الخطية هي على التوالي؛

f(v,\varphi )=0

f(v,q)=0

حيث f هي أي دالة اختيارية، و φ هو التدفق المغناطيسي المخزن و q هي الشحنة المخزنة.

الوجود والتفرد والاستقرار

يُعدّ التفرد أحد الاعتبارات المهمة في التحليل غير الخطي. ففي الشبكة المكونة من عناصر خطية، يوجد دائمًا حل واحد فقط لكل مجموعة من الشروط الحدية. لكن هذا لا ينطبق دائمًا على الدوائر غير الخطية. فعلى سبيل المثال، لا يوجد سوى حل واحد للجهد عبر المقاومة الخطية التي يمر بها تيار ثابت. بينما يوجد ما يصل إلى ثلاثة حلول للجهد عند تطبيق تيار معين على ثنائي النفق غير الخطي . أي أن الحل المحدد للتيار المار عبر الثنائي ليس فريدًا، فقد توجد حلول أخرى بنفس القدر من الصحة. وفي بعض الحالات، قد لا يوجد حل على الإطلاق، لذا يجب دراسة مسألة وجود الحلول.

ومن الاعتبارات المهمة الأخرى مسألة الاستقرار. قد يوجد حل معين، ولكنه قد لا يكون مستقرًا، إذ ينحرف عنه بسرعة عند أدنى تغيير. ويمكن إثبات أن الشبكة المستقرة تمامًا في جميع الظروف لا بد أن يكون لها حل واحد فقط لكل مجموعة من الظروف. ^{[ 6 ]}

طُرق

التحليل المنطقي لشبكات التبديل

جهاز التبديل هو جهاز تُستغل فيه اللاخطية لإنتاج حالتين متعاكستين. على سبيل المثال، في الدوائر الرقمية، تُوصل مخرجات أجهزة CMOS إما بخط التغذية الموجب أو السالب، ولا توجد أبدًا في أي حالة بينهما، إلا خلال فترة انتقالية أثناء عملية التبديل. هنا، صُممت اللاخطية لتكون شديدة، ويمكن للمحلل الاستفادة من ذلك. يمكن تحليل هذه الشبكات باستخدام الجبر البولياني عن طريق إسناد الحالتين ("تشغيل/إيقاف"، "موجب/سالب"، أو أي حالة أخرى مستخدمة) إلى الثابتين البوليانيين "0" و"1".

يتم تجاهل التغيرات العابرة في هذا التحليل، بالإضافة إلى أي اختلاف طفيف بين حالة الجهاز والحالة الاسمية المخصصة لقيمة منطقية. على سبيل المثال، قد تُخصص القيمة المنطقية "1" لحالة +5 فولت. قد يكون خرج الجهاز +4.5 فولت، لكن المحلل لا يزال يعتبر هذه القيمة المنطقية "1". عادةً ما يحدد مصنّعو الأجهزة نطاقًا من القيم في بياناتهم الفنية، والتي تُعتبر غير محددة (أي أن النتيجة ستكون غير متوقعة).

لا تُعدّ التغيرات العابرة غير ذات أهمية للمحلل. يُحدد معدل التبديل الأقصى بسرعة الانتقال من حالة إلى أخرى. ولحسن حظ المحلل، في العديد من الأجهزة، يحدث معظم الانتقال في الجزء الخطي من دالة نقل الجهاز، ويمكن تطبيق التحليل الخطي للحصول على إجابة تقريبية على الأقل.

من الممكن رياضياً اشتقاق جبر بولياني يحتوي على أكثر من حالتين. لا يُستخدم هذا النوع من الجبر بكثرة في الإلكترونيات، على الرغم من شيوع الأجهزة ثلاثية الحالات.

فصل تحليلات التحيز والإشارة

تُستخدم هذه التقنية عندما يكون تشغيل الدائرة خطيًا في الأساس، ولكن الأجهزة المستخدمة لتنفيذها غير خطية. يُعد مُضخّم الترانزستور مثالًا على هذا النوع من الشبكات. جوهر هذه التقنية هو تقسيم التحليل إلى جزأين. أولًا، يتم تحليل انحيازات التيار المستمر باستخدام طريقة غير خطية، مما يُحدد نقطة التشغيل الساكنة للدائرة. ثانيًا، يتم تحليل خصائص الإشارة الصغيرة للدائرة باستخدام تحليل الشبكات الخطية. ترد أدناه أمثلة على الطرق التي يُمكن استخدامها في كلتا المرحلتين.

طريقة بيانية لتحليل التيار المستمر

في العديد من تصميمات الدوائر، يُغذى عنصر غير خطي بتيار مستمر عبر مقاوم (أو ربما شبكة من المقاومات). ولأن المقاومات عناصر خطية، فمن السهل تحديد نقطة التشغيل الساكنة للجهاز غير الخطي من خلال رسم بياني لدالة نقله. وتتلخص الطريقة فيما يلي: من خلال تحليل الشبكة الخطية، تُحسب دالة نقل الخرج (أي جهد الخرج مقابل تيار الخرج) لشبكة المقاومات والمولد الذي يُشغلها. سيكون هذا خطًا مستقيمًا (يُسمى خط الحمل ) ويمكن وضعه بسهولة على رسم دالة نقل الجهاز غير الخطي. النقطة التي يتقاطع عندها الخطان هي نقطة التشغيل الساكنة.

لعلّ أسهل طريقة عملية هي حساب جهد الدائرة المفتوحة وتيار الدائرة القصيرة للشبكة (الخطية) ورسمهما على دالة نقل الجهاز غير الخطي. الخط المستقيم الواصل بين هاتين النقطتين هو دالة نقل الشبكة.

في الواقع، سيتبع مصمم الدائرة اتجاهاً معاكساً لما هو موضح. فبدءاً من الرسم البياني الموجود في ورقة بيانات الشركة المصنعة للجهاز غير الخطي، سيختار المصمم نقطة التشغيل المطلوبة، ثم يحسب قيم المكونات الخطية اللازمة لتحقيقها.

لا يزال من الممكن استخدام هذه الطريقة إذا كان الجهاز المراد تحييزه يتلقى تحييزه عبر جهاز آخر غير خطي، كالصمام الثنائي مثلاً. في هذه الحالة، لن يكون رسم دالة نقل الشبكة على الجهاز المراد تحييزه خطاً مستقيماً، وبالتالي يصبح أكثر تعقيداً.

دائرة مكافئة للإشارة الصغيرة

يمكن استخدام هذه الطريقة عندما يظل انحراف إشارات الدخل والخرج في الشبكة ضمن جزء خطي تقريبًا من دالة نقل الجهاز غير الخطي، أو عندما يكون صغيرًا جدًا بحيث يمكن اعتبار منحنى دالة النقل خطيًا. في ظل مجموعة من هذه الشروط المحددة، يمكن تمثيل الجهاز غير الخطي بشبكة خطية مكافئة. تجدر الإشارة إلى أن هذه الدائرة المكافئة افتراضية تمامًا، وهي صالحة فقط لانحرافات الإشارة الصغيرة، ولا يمكن تطبيقها إطلاقًا على انحياز التيار المستمر للجهاز.

بالنسبة لجهاز بسيط ذي طرفين، قد لا تتجاوز الدائرة المكافئة للإشارة الصغيرة عنصرين. مقاومة تساوي ميل منحنى الجهد/التيار عند نقطة التشغيل (وتُسمى المقاومة الديناميكية)، ومماس للمنحنى. مولد، لأن هذا المماس لا يمر عادةً بنقطة الأصل. مع زيادة عدد الأطراف، تصبح الدوائر المكافئة أكثر تعقيدًا.

يُعد استخدام معلمات الشبكة ثنائية المنافذ، المعروفة بمعلمات [h] ، طريقة شائعة لتحديد الدائرة المكافئة للإشارة الصغيرة بين مصنعي الترانزستورات. وهي عبارة عن مصفوفة من أربعة معلمات، كما هو الحال مع معلمات [z]، ولكن في حالة معلمات [h]، فهي مزيج هجين من المعاوقات، والموصلية، ومكاسب التيار، ومكاسب الجهد. في هذا النموذج، يُعتبر الترانزستور ثلاثي الأطراف شبكة ثنائية المنافذ، حيث يكون أحد طرفيه مشتركًا بين كلا المنفذين. وتختلف معلمات [h] اختلافًا كبيرًا اعتمادًا على الطرف المُختار كمشترك. عادةً ما تكون أهم معلمة للترانزستورات هي كسب التيار الأمامي، h ₂₁ ، في تكوين الباعث المشترك. ويُشار إليها بـ h _fe في جداول البيانات.

تؤدي الدائرة المكافئة للإشارة الصغيرة بدلالة المعاملات ثنائية المنافذ إلى مفهوم المولدات التابعة. أي أن قيمة مولد الجهد أو التيار تعتمد خطيًا على الجهد أو التيار في مكان آخر من الدائرة. على سبيل المثال، يؤدي نموذج المعامل [z] إلى مولدات جهد تابعة كما هو موضح في هذا الرسم التخطيطي؛

ستوجد دائمًا مولدات تابعة في دائرة مكافئة ذات منفذين. ينطبق هذا على المعاملات [h] وكذلك على [z] وأي نوع آخر. يجب الحفاظ على هذه التبعيات عند اشتقاق المعادلات في تحليل شبكة خطية أكبر.

طريقة القطع الخطية

في هذه الطريقة، تُقسّم دالة نقل الجهاز غير الخطي إلى مناطق. تُقرّب كل منطقة من هذه المناطق بخط مستقيم. وبالتالي، ستكون دالة النقل خطية حتى نقطة معينة حيث يحدث انقطاع. بعد هذه النقطة، ستعود دالة النقل خطية مرة أخرى ولكن بميل مختلف.

من التطبيقات المعروفة لهذه الطريقة تقريب دالة نقل ثنائي الوصلة pn. وقد وردت دالة نقل ثنائي مثالي في بداية هذا القسم (غير الخطي). مع ذلك، نادرًا ما تُستخدم هذه الصيغة في تحليل الشبكات، حيث يُستخدم تقريب مُجزأ بدلاً منها. يُلاحظ أن تيار الثنائي يتناقص بسرعة إلى -I₀ _مع انخفاض الجهد. هذا التيار، في معظم الحالات، صغير جدًا لدرجة يمكن تجاهله. مع ازدياد الجهد، يزداد التيار أُسّيًا. يُنمذج الثنائي كدائرة مفتوحة حتى نقطة انحناء المنحنى الأُسّي، ثم بعد هذه النقطة يُنمذج كمقاومة تساوي المقاومة الكلية للمادة شبه الموصلة.

تُعتبر القيم المقبولة عمومًا لجهد نقطة التحول 0.7 فولت لأجهزة السيليكون و0.3 فولت لأجهزة الجرمانيوم. وهناك نموذج أبسط للدايود، يُستخدم أحيانًا في تطبيقات التبديل، وهو عبارة عن دائرة قصر للجهد الأمامي ودائرة مفتوحة للجهد العكسي.

يُعد نموذج وصلة PN المنحازة للأمام والتي تحتوي على جهد ثابت تقريبًا يبلغ 0.7 فولت تقريبًا شائع الاستخدام لجهد وصلة قاعدة الباعث في تصميم مكبر الصوت.

تتشابه طريقة التجزئة مع طريقة الإشارة الصغيرة في أن تقنيات تحليل الشبكات الخطية لا يمكن تطبيقها إلا إذا بقيت الإشارة ضمن حدود معينة. فإذا تجاوزت الإشارة نقطة انقطاع، يصبح النموذج غير صالح لأغراض التحليل الخطي. ومع ذلك، يتميز هذا النموذج عن طريقة الإشارة الصغيرة بأنه قابل للتطبيق على الإشارة والانحياز المستمر على حد سواء. وبالتالي، يمكن تحليل كليهما في نفس العمليات، وسيكونان قابلين للتراكب الخطي.

المكونات المتغيرة مع الزمن

في التحليل الخطي، يُفترض ثبات مكونات الشبكة، لكن هذا لا ينطبق على بعض الدوائر، مثل المذبذبات الكاسحة، ومضخمات الجهد المتحكم بها ، والمعادلات المتغيرة . في كثير من الحالات، يكون تغير قيمة المكون دوريًا. على سبيل المثال، يمكن تمثيل مكون غير خطي مُثار بإشارة دورية كمكون خطي متغير دوريًا . كشف سيدني دارلينجتون عن طريقة لتحليل هذه الدوائر الدورية المتغيرة مع الزمن. وقد طور أشكالًا نموذجية للدوائر تُشابه الأشكال النموذجية لرونالد إم. فوستر وويلهلم كاور المستخدمة في تحليل الدوائر الخطية. ^{[ 7 ]}

نظرية الدوائر المتجهة

يُعدّ تعميم نظرية الدوائر الكهربائية القائمة على الكميات العددية لتشمل التيارات الاتجاهية ضرورةً للدوائر المتطورة حديثًا، مثل دوائر الدوران. تتكون متغيرات الدائرة المعممة من أربعة مكونات: التيار العددي وتيار الدوران الاتجاهي في الاتجاهات س، ص، ع. يصبح كل من الجهد والتيار كميات اتجاهية، وتُوصَف موصليتها بمصفوفة موصلية دورانية 4×4.

انظر أيضاً

مراجع

↑ بيليفيتش، ف. (مايو 1962). "ملخص تاريخ نظرية الدوائر". وقائع معهد مهندسي الراديو . 50 (5): 849. doi : 10.1109/JRPROC.1962.288301 . S2CID 51666316 . يستشهد بـ "معايير معهد مهندسي الراديو بشأن الدوائر: تعريفات المصطلحات للشبكات الخطية السلبية المتبادلة الثابتة زمنيًا، 1960". وقائع معهد مهندسي الراديو . 48 (9): 1609. سبتمبر 1960. doi : 10.1109/JRPROC.1960.287676 .لتبرير هذا التعريف، انظر: سيدني دارلينجتون (1984). "تاريخ توليف الشبكات ونظرية المرشحات للدوائر المكونة من المقاومات والمحاثات والمكثفات". معاملات IEEE في الدوائر والأنظمة ، 31 (1): 4. doi : 10.1109/TCS.1984.1085415 .يتبع بيليفيتش ولكنه يشير إلى وجود العديد من الاستخدامات العامية لكلمة "شبكة" الآن أيضًا.
1 2 3 4 تشين، واي كاي (2005). تحليل الدوائر ونظرية مكبرات التغذية الراجعة . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 1420037277.
1 2 نيلسون، جيمس دبليو؛ ريدل، سوزان أ. (2007). الدوائر الكهربائية ( الطبعة الثامنة). بيرسون برنتيس هول. ISBN 978-0-13-198925-2.
↑ كومار، أنكوش؛ فيدياذراجا، إن إس؛ كولكارني، جي يو. (2017). "توزيع التيار في شبكات الأسلاك النانوية الموصلة". مجلة الفيزياء التطبيقية . 122 (4): 045101. Bibcode : 2017JAP...122d5101K . doi : 10.1063/1.4985792 .
١ ٢ ٣ ٤ نجم، فريد ن. (٢٠١٠). محاكاة الدوائر . جون وايلي وأولاده. ISBN 9780470538715.
↑ ليليانا ترايكوفيتش، "الدوائر غير الخطية"، دليل الهندسة الكهربائية (تحرير: واي كاي تشين)، الصفحات 79-81، دار النشر الأكاديمية، 2005، رقم ISBN 0-12-170960-4
↑ براءة اختراع أمريكية رقم 3265973 ، سيدني دارلينجتون، إيروين دبليو. ساندبيرج، "توليف شبكات ثنائية المنافذ ذات عناصر متغيرة دوريًا مع الزمن"، صدرت في 9 أغسطس 1966

روابط خارجية

محاضرات فاينمان في الفيزياء، المجلد الثاني، الفصل 22: دوائر التيار المتردد

[1] بيليفيتش، ف. (مايو 1962). "ملخص تاريخ نظرية الدوائر". وقائع معهد مهندسي الراديو . 50 (5): 849. doi : 10.1109/JRPROC.1962.288301 . S2CID 51666316 . يستشهد بـ "معايير معهد مهندسي الراديو بشأن الدوائر: تعريفات المصطلحات للشبكات الخطية السلبية المتبادلة الثابتة زمنيًا، 1960". وقائع معهد مهندسي الراديو . 48 (9): 1609. سبتمبر 1960. doi : 10.1109/JRPROC.1960.287676 .لتبرير هذا التعريف، انظر: سيدني دارلينجتون (1984). "تاريخ توليف الشبكات ونظرية المرشحات للدوائر المكونة من المقاومات والمحاثات والمكثفات". معاملات IEEE في الدوائر والأنظمة ، 31 (1): 4. doi : 10.1109/TCS.1984.1085415 .يتبع بيليفيتش ولكنه يشير إلى وجود العديد من الاستخدامات العامية لكلمة "شبكة" الآن أيضًا.

[Circuit_Analysis,_Chen-2] 1 2 3 4 تشين، واي كاي (2005). تحليل الدوائر ونظرية مكبرات التغذية الراجعة . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 1420037277.

[ElectricCircuits-3] 1 2 نيلسون، جيمس دبليو؛ ريدل، سوزان أ. (2007). الدوائر الكهربائية ( الطبعة الثامنة). بيرسون برنتيس هول. ISBN 978-0-13-198925-2.

[4] كومار، أنكوش؛ فيدياذراجا، إن إس؛ كولكارني، جي يو. (2017). "توزيع التيار في شبكات الأسلاك النانوية الموصلة". مجلة الفيزياء التطبيقية . 122 (4): 045101. Bibcode : 2017JAP...122d5101K . doi : 10.1063/1.4985792 .

[Circuit_Simulation,_Najm-5] ١ ٢ ٣ ٤ نجم، فريد ن. (٢٠١٠). محاكاة الدوائر . جون وايلي وأولاده. ISBN 9780470538715.

[6] ليليانا ترايكوفيتش، "الدوائر غير الخطية"، دليل الهندسة الكهربائية (تحرير: واي كاي تشين)، الصفحات 79-81، دار النشر الأكاديمية، 2005، رقم ISBN 0-12-170960-4

[7] براءة اختراع أمريكية رقم 3265973 ، سيدني دارلينجتون، إيروين دبليو. ساندبيرج، "توليف شبكات ثنائية المنافذ ذات عناصر متغيرة دوريًا مع الزمن"، صدرت في 9 أغسطس 1966

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]