توزيع بيتا غير المركزي

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، فإن توزيع بيتا غير المركزي هو توزيع احتمالي مستمر وهو تعميم غير مركزي لتوزيع بيتا (المركزي) .

توزيع بيتا غير المركزي (النوع الأول) هو توزيع النسبة

${\displaystyle X={\frac {\chi _{m}^{2}(\lambda )}{\chi _{m}^{2}(\lambda )+\chi _{n}^{2}}},}$

أين${\displaystyle \chi _{m}^{2}(\lambda )}$هو متغير عشوائي غير مركزي من نوع كاي تربيع بدرجات حرية m ومعامل عدم المركزية${\displaystyle \lambda }$، و${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$هو متغير عشوائي مركزي من نوع كاي تربيع بدرجات حرية n ، مستقل عن${\displaystyle \chi _{m}^{2}(\lambda )}$^{[ 1 ]} في هذه الحالة ،${\displaystyle X\sim {\mbox{Beta}}\left({\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}},\lambda \right)}$

يُعد توزيع بيتا غير المركزي من النوع الثاني توزيعًا للنسبة

${\displaystyle Y={\frac {\chi _{n}^{2}}{\chi _{n}^{2}+\chi _{m}^{2}(\lambda )}},}$

حيث يكون متغير مربع كاي غير المركزي موجودًا في المقام فقط. ^{[ 1 ]} إذا${\displaystyle Y}$يتبع التوزيع من النوع الثاني، إذن${\displaystyle X=1-Y}$يتبع توزيعًا من النوع الأول.

عادة ما يتم تمثيل دالة التوزيع التراكمي من النوع الأول على أنها خليط بواسون من متغيرات بيتا المركزية العشوائية: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle F(x)=\sum _{j=0}^{\infty }P(j)I_{x}(\alpha +j,\beta ),}$

حيث λ هو معامل اللامركزية، و P (.) هي دالة كتلة الاحتمال لبواسون (λ/2)، وα = m/2 و β = n/2 هما معاملا الشكل، و${\displaystyle I_{x}(a,b)}$هي دالة بيتا غير المكتملة . أي،

${\displaystyle F(x)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}e^{-\lambda /2}I_{x}(\alpha +j,\beta ).}$

دالة التوزيع التراكمي من النوع الثاني في شكل خليط هي

${\displaystyle F(x)=\sum _{j=0}^{\infty }P(j)I_{x}(\alpha ,\beta +j).}$

تم تقديم خوارزميات لتقييم دوال توزيع بيتا غير المركزية بواسطة بوستن ^{[ 2 ]} وشاتامفيلي. ^{[ 1 ]}

دالة كثافة الاحتمال (من النوع الأول) لتوزيع بيتا غير المركزي هي:

${\displaystyle f(x)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}e^{-\lambda /2}{\frac {x^{\alpha +j-1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha +j,\beta )}}.}$

أين${\displaystyle B}$هي دالة بيتا ،${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$هي معلمات الشكل، و${\displaystyle \lambda }$يمثل معامل اللامركزية . كثافة Y هي نفسها كثافة 1-X مع عكس درجات الحرية. ^{[ 1 ]}