لعبة الشكل الطبيعي

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 10 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الألعاب ، يُعدّ الشكل الطبيعي وصفًا للعبة . وعلى عكس الشكل الموسّع ، فإنّ تمثيلات الشكل الطبيعي ليست بيانية بحد ذاتها ، بل تُمثّل اللعبة من خلال مصفوفة . ورغم أنّ هذا النهج قد يكون أكثر فائدة في تحديد الاستراتيجيات المهيمنة تمامًا وتوازنات ناش ، إلا أنّه يفقد بعض المعلومات مقارنةً بتمثيلات الشكل الموسّع. يشمل تمثيل الشكل الطبيعي للعبة جميع الاستراتيجيات الممكنة والمُتصوّرة ، وعوائدها المُقابلة، لكل لاعب.

في الألعاب الثابتة ذات المعلومات الكاملة ، يُمثل التمثيل الطبيعي للعبة تحديدًا لمساحات استراتيجيات اللاعبين ودوال العوائد. مساحة استراتيجية اللاعب هي مجموعة جميع الاستراتيجيات المتاحة له، بينما الاستراتيجية هي خطة عمل كاملة لكل مرحلة من مراحل اللعبة، بغض النظر عما إذا كانت تلك المرحلة تحدث فعليًا أثناء اللعب. دالة العوائد للاعب هي دالة تربط بين حاصل ضرب مساحات استراتيجيات اللاعبين ومجموعة عوائد ذلك اللاعب (عادةً ما تكون مجموعة الأعداد الحقيقية، حيث يُمثل العدد منفعة عددية أو ترتيبية - غالبًا ما تكون عددية في التمثيل الطبيعي). أي أن دالة عوائد اللاعب تأخذ كمدخل لها ملفًا تعريفيًا للاستراتيجيات (أي تحديدًا للاستراتيجيات لكل لاعب) وتُخرج تمثيلًا للعوائد.

مثال

لعبة ذات شكل طبيعي
اللاعب الثاني
اللاعب 1
غادريمين
قمة4 ، 3-1 ، -1
قاع0 , 03 ، 4

المصفوفة المرفقة هي تمثيلٌ معياريٌّ للعبة يتحرك فيها اللاعبون في آنٍ واحد (أو على الأقل لا يلاحظون حركة اللاعب الآخر قبل القيام بحركتهم) ويحصلون على المكافآت المحددة لمجموعات الحركات المُختارة. على سبيل المثال، إذا لعب اللاعب 1 في الأعلى ولعب اللاعب 2 في اليسار، يحصل اللاعب 1 على 4 ويحصل اللاعب 2 على 3. في كل خلية، يُمثل الرقم الأول مكافأة اللاعب في الصف (في هذه الحالة اللاعب 1)، ويُمثل الرقم الثاني مكافأة اللاعب في العمود (في هذه الحالة اللاعب 2).

تمثيلات أخرى

مخطط جزئي لألعاب اللاعبين الاثنين واستراتيجيتين، بما في ذلك ألعاب مثل معضلة السجين ، ومطاردة الغزلان ، ولعبة الدجاجة

في كثير من الأحيان، تُمثَّل الألعاب المتناظرة (حيث لا تعتمد العوائد على اختيار اللاعب لكل فعل) بعائد واحد فقط. هذا هو عائد اللاعب الذي في الصف. على سبيل المثال، تمثل مصفوفات العوائد على اليمين واليسار أدناه اللعبة نفسها.

كلا اللاعبين
اللاعب الثاني
اللاعب 1
غزالأرنبة
غزال3، 30, 2
أرنبة2,02، 2
ما عليك سوى التجديف
اللاعب الثاني
اللاعب 1
غزالأرنبة
غزال30
أرنبة22

يمكن أيضًا رسم خريطة للفضاء الطوبولوجي للألعاب ذات مصفوفات العوائد المتشابهة، حيث تمتلك الألعاب المتجاورة أكثر المصفوفات تشابهًا. وهذا يُظهر كيف يمكن للتغييرات التدريجية في الحوافز أن تُغير اللعبة.

استخدامات الشكل الطبيعي

الاستراتيجيات المهيمنة

معضلة السجين
اللاعب الثاني
اللاعب 1
التعاونعيب
التعاون-1، -1-5، 0
عيب0، -5-2، -2

تُسهّل مصفوفة العوائد استبعاد الاستراتيجيات المُهيمنة ، وتُستخدم عادةً لتوضيح هذا المفهوم. على سبيل المثال، في معضلة السجين ، نرى أن لكل سجين خيارين: "التعاون" أو "الخيانة". إذا خان سجين واحد فقط، يُفلت بسهولة بينما يُسجن السجين الآخر لفترة طويلة. أما إذا خان كلاهما، فسيُسجنان لفترة أقصر. يُمكننا استنتاج أن خيار " التعاون" مُهيمن عليه تمامًا من خيار "الخيانة" . يجب مقارنة القيمتين الأوليين في كل عمود، وهما 0 > -1 و -2 > -5. يُبيّن هذا أنه بغض النظر عن اختيار لاعب العمود، فإن لاعب الصف يحقق نتائج أفضل باختيار "الخيانة" . وبالمثل، تتم مقارنة القيمة الثانية في كل صف؛ وهما 0 > -1 و -2 > -5 أيضًا. يُبيّن هذا أنه بغض النظر عن اختيار لاعب الصف، فإن لاعب العمود يحقق نتائج أفضل باختيار "الخيانة" . وهذا يوضح أن توازن ناش الفريد لهذه اللعبة هو ( عيب ، عيب ).

الألعاب المتسلسلة في شكلها الطبيعي

يوضح الشكلان الموسع والطبيعي للعبة متسلسلة مع توازنات ناش غير الكاملة والكاملة في اللعبة الفرعية، والمميزة باللونين الأحمر والأزرق على التوالي.
لعبة متسلسلة
اللاعب الثاني
اللاعب 1
يسار، يساريسار، يمينيمين، يساريمين، يمين
قمة4، 34، 3-1، -1-1، -1
قاع0, 03، 40, 03، 4

لا تمثل هذه المصفوفات إلا الألعاب التي تكون فيها التحركات متزامنة (أو، بشكل أعم، تكون المعلومات غير كاملة ). لا تمثل المصفوفة أعلاه اللعبة التي يتحرك فيها اللاعب 1 أولاً، ثم يلاحظه اللاعب 2، ثم يتحرك اللاعب 2، لأنها لا تحدد استراتيجيات اللاعب 2 في هذه الحالة. لتمثيل هذه اللعبة المتسلسلة، يجب تحديد جميع تحركات اللاعب 2، حتى في الحالات الطارئة التي لا يمكن أن تحدث أثناء اللعبة. في هذه اللعبة، يمتلك اللاعب 2، كما في السابق، حركتين: يسار ويمين . على عكس السابق ، لديه أربع استراتيجيات، تعتمد على تحركات اللاعب 1. هذه الاستراتيجيات هي:

  1. إذا لعب اللاعب 1 في الأعلى، فاليسار، وإلا فاليسار.
  2. اليسار إذا لعب اللاعب 1، أعلى، واليمين خلاف ذلك
  3. يمين إذا لعب اللاعب 1 في الأعلى، ويسار خلاف ذلك
  4. يمين إذا لعب اللاعب 1 في الأعلى، ويمين خلاف ذلك

على اليمين يوجد التمثيل الطبيعي لهذه اللعبة.

التركيبة العامة

لكي تكون اللعبة في شكلها الطبيعي، يتم تزويدنا بالبيانات التالية:

يوجد عدد محدود I من اللاعبين، ويُرمز لكل لاعب بالرمز i . يمتلك كل لاعب i عددًا محدودًا k من الاستراتيجيات البحتة

Sأنا={1،2،...،ك}.{\displaystyle S_{i}=\{1,2,\ldots ,k\}.}

أملف تعريف الاستراتيجية البحتة هو عبارة عن مجموعة من الاستراتيجيات واللاعبين، أي مجموعةمنالعناصر.

s→=(s1،s2،...،sأنا){\displaystyle {\vec {s}}=(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{I})}

بحيث

s1∈S1،s2∈S2،...،sأنا∈Sأنا{\displaystyle s_{1}\in S_{1},s_{2}\in S_{2},\ldots ,s_{I}\in S_{I}}

أدالة العائد هي دالة

uأنا:S1×S2×...×Sأنا→R.{\displaystyle u_{i}:S_{1}\times S_{2}\times \ldots \times S_{I}\rightarrow \mathbb {R} .}

والتفسير المقصود هو الجائزة التي تُمنح للاعب واحد عند انتهاء اللعبة. وبناءً على ذلك، لتحديد لعبة ما بشكل كامل، يجب تحديد دالة العائد لكل لاعب في مجموعة اللاعبين I = {1, 2, ..., I }.

التعريف : اللعبة في شكلها الطبيعي هي بنية

تي=⟨أنا،S،u⟩{\displaystyle \mathrm {T} =\langle I,\mathbf {S} ,\mathbf {u} \rangle }

أين:

أنا={1،2،...،أنا}{\displaystyle I=\{1,2,\ldots ,I\}}

هي مجموعة من اللاعبين،

S={S1،S2،...،Sأنا}{\displaystyle \mathbf {S} =\{S_{1},S_{2},\ldots ,S_{I}\}}

هي عبارة عن مجموعة من الاستراتيجيات البحتة، واحدة لكل لاعب، و

u={u1،u2،...،uأنا}{\displaystyle \mathbf {u} =\{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{I}\}}

هي مجموعة من دوال العائد.

مراجع