فرضية الثلث

فرضية الثلث ( OTH ) هي نظرية اجتماعية ديناميكية تؤكد أن بروز فئة فرعية يزداد كلما اقتربت من ثلث إجمالي السكان، ويتضاءل بعد تجاوزها هذا العدد. وقد طرحها لأول مرة عالم الاجتماع هوغو أو. إنجلمان في رسالة إلى مجلة "عالم الاجتماع الأمريكي" عام 1967.

«...نتوقع أن تكون أكثر المجموعات الفرعية استمراريةً في أي مجموعة هي تلك التي تُقارب ثلث المجموعة الكلية، أو، بمنطق مماثل، مُضاعفًا لثلثها. وباعتبارها الأكثر استمرارية، ينبغي أن تكون هذه المجموعات أيضًا الأكثر انخراطًا في التحول الاجتماعي والثقافي الجاري. هذا لا يعني بالضرورة أن تكون هذه المجموعات مهيمنة، ولكنها تلعب أدوارًا بارزة.» ^{[ 1 ]}

تتضمن فرضية الثلث منحنيين رياضيين. يمثل أحدهما احتمال ظهور مجموعة فرعية بحجم محدد، بينما يمثل الآخر احتمال استمرارها. ويتطابق حاصل ضرب هذين المنحنيين مع تنبؤات فرضية الثلث.

من الناحية الإحصائية، فإن المجموعة التي تشكل ثلث السكان هي الأكثر احتمالاً للاستمرار، والمجموعة التي تشكل ثلثي السكان هي الأكثر احتمالاً للتفكك إلى مجموعات منشقة، كما لو كانت تتفاعل مع تماسك المجموعة التي تشكل الثلث.

وفقًا لمعامل ذي الحدين، توجد مجموعة بحجم r في مجتمع بحجم n${\displaystyle {\tbinom {n}{r}}}$الطرق. بما أن كل مجموعة بحجم r يمكن أن تنقسم إلى 2 ^r مجموعة فرعية، فإن العدد الإجمالي للطرق التي يمكن أن تظهر بها جميع المجموعات بحجم r وتتفكك يساوي 3 ⁿ ، بما يتوافق مع المجموع:  

${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{r=0}^{\infty }{n \choose r}x^{r}.\qquad }$

بمعنى آخر، فإن الجماعات الكبيرة التي تقارب ثلثي السكان ستكون أكثر عرضة من غيرها للانقسام إلى جماعات منشقة. ومن نتائج هذا الاعتبار أن الجماعات الأصغر حجماً ستكون الأكثر احتمالاً للظهور والاستمرار.

إذا حدثت مجموعات بحجم r باحتمالية${\displaystyle {\tbinom {n}{r}}p^{r}q^{nr}\!}$وتتفكك إلى مجموعات فرعية باحتمالية${\displaystyle q^{r}\!}$ثم تختزل المعادلة إلى${\displaystyle {\tbinom {n}{r}}p^{r}q^{n}\!}$وبما أن p و q يساويان 1/2، يمكن استنتاج فرضية الثلث لإنجلمان بسهولة. وهي تأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle {\tbinom {n}{r}}/2^{n+r}\!}$،

حيث n هو عدد الأشخاص و r هو حجم المجموعة ويمكن التحقق منه للأعداد الكبيرة باستخدام صيغة تقريب ستيرلينغ .

يُعدّ كتاب واين يونغكويست "الأحذية الخشبية وفرضية الثلث" الصادر عام 1968 مثالاً واضحاً على فرضية الثلث، إذ وثّق فيه وجود السكان الألمان في ميلووكي قبل ما يزيد قليلاً عن قرن من الزمان. فمع اقتراب نسبة الألمان من ثلث سكان المدينة، ازداد حضورهم بشكل ملحوظ، ثم بدأ تأثيرهم بالتراجع عندما تجاوزوا هذه النسبة. ^{[ 2 ]}

جاء أول اختبار تجريبي لنظرية إنجلمان OTH في شكل أحداث شغب ديترويت عام 1967. لم يفسر هذا الاختبار سبب أعمال الشغب، بل كان يهدف إلى تفسير توقيتها. ^{[ 1 ]}

استشهد سام بتلر، في عام 2011، صراحةً بإنجلمان وفرضية الثلث في تحليله لأعمال الشغب في لندن وأسبابها . ^{[ 3 ]}

تمت مناقشة هذه الفكرة في كتاب مالكوم غلادويل " انتقام نقطة التحول" .

لم يسلم نموذج OTH من الانتقادات. ففي وقت مبكر، شكك كيه إس سريكانتان بحق في افتراض أن كلاً من p و q يساوي ½. ^{[ 4 ]} وحتى لو لم يكونا كذلك، فما دام p + q = 1، فإن القيمة القصوى لـ r ستحدث عند pn/(1+p). وستكون المجموعة الأكثر احتمالاً للظهور والاستمرار أصغر دائمًا من نصف السكان.

في الديناميات الاجتماعية، يُشار أحيانًا إلى نظرية الثلثين بمصطلح " الكتلة الحرجة ". ورغم ملاءمة هذا المصطلح، إلا أنه أصبح غامضًا نظرًا لاستخدامه بطرق متنوعة لا تُشير إلى نظرية الثلثين على الإطلاق. وبالمثل، تُسمى نظرية الثلثين أحيانًا بنظرية الثلثين.

• معدل التفاعل
• أعمال شغب في المدن