طريقة الجسيمات

تُعدّ طرق الجسيمات فئة شائعة الاستخدام من الخوارزميات العددية في الحوسبة العلمية. ويتراوح تطبيقها من ديناميكيات الموائع الحسابية (CFD) إلى ديناميكيات الجزيئات (MD) إلى طرق العناصر المنفصلة .

تُعدّ ديناميكا الموائع الجزيئية الملساء ( SPH ) من أوائل طرق الجسيمات ، وقد طُرحت عام 1977. ^{[ 1 ]} وكان ليبرسكي وآخرون ^{[ 2 ]} أول من طبّق هذه الطريقة في ميكانيكا المواد الصلبة. وتتمثل أبرز عيوبها في عدم دقة النتائج قرب الحدود وعدم استقرار الشد، الذي درسه سويجل لأول مرة. ^{[ 3 ]}

في تسعينيات القرن الماضي، ظهر نوع جديد من طرق الجسيمات. ظهرت طريقة الجسيمات ذات النواة المُستنسخة ^{[ 4 ]} (RKPM)، وكان الدافع وراء هذا التقريب جزئيًا هو تصحيح تقدير النواة في طريقة SPH: لتحقيق دقة عالية بالقرب من الحدود، وفي عمليات التقطيع غير المنتظمة، ودقة أعلى بشكل عام. والجدير بالذكر أنه في تطور موازٍ، طُوّرت طرق النقاط المادية في نفس الفترة تقريبًا ^{[ 5 ]} والتي توفر إمكانيات مماثلة. خلال تسعينيات القرن الماضي وما بعدها، طُوّرت أنواع أخرى عديدة، بما في ذلك تلك المذكورة أدناه.

تُعتبر الطرق العددية التالية عمومًا ضمن فئة طرق "الجسيمات". وقد وردت الاختصارات بين قوسين.

• ديناميكا الموائع الجزيئية الملساء (SPH) (1977)
• ديناميكيات الجسيمات المبددة (DPD) (1992)
• طريقة الجسيمات ذات النواة المتكررة (RKPM) (1995)
• الجسيم المتحرك شبه الضمني (MPS)
• الجسيمات داخل الخلية (PIC)
• طريقة العناصر المحدودة للجسيمات المتحركة (MPFEM)
• طريقة تكسير الجسيمات (CPM) (2004)
• طريقة الجسيمات المغمورة (IPM) (2006)

يُجسّد التعريف الرياضي لطرق الجسيمات أوجه التشابه الهيكلية بين جميع طرق الجسيمات. ^{[ 6 ]} ولذلك، فهو يُتيح الاستدلال المنطقي عبر مجالات التطبيق المختلفة. يتألف التعريف من ثلاثة أجزاء: أولًا، بنية خوارزمية طريقة الجسيمات، بما في ذلك المكونات الهيكلية، وتحديدًا هياكل البيانات والدوال. ثانيًا، تعريف حالة طريقة الجسيمات. تصف حالة طريقة الجسيمات مشكلة أو بيئة محددة، يُمكن حلها أو محاكاتها باستخدام خوارزمية طريقة الجسيمات. ثالثًا، تعريف دالة انتقال حالة الجسيمات. تصف دالة انتقال الحالة كيفية انتقال طريقة الجسيمات من الحالة إلى الحالة النهائية باستخدام هياكل البيانات والدوال من خوارزمية طريقة الجسيمات. ^{[ 6 ]}

خوارزمية طريقة الجسيمات هي عبارة عن مجموعة من 7 عناصر${\displaystyle (P,G,u,f,i,e,{\overset {\circ }{e}})}$، تتكون من بنيتي البيانات ${\displaystyle {\begin{aligned}&P:=A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n}&&{\text{فضاء الجسيمات,}}\\&G:=B_{1}\times B_{2}\times ...\times B_{m}&&{\text{فضاء المتغيرات العام,}}\end{aligned}}}$

بحيث${\displaystyle [G\times P^{*}]}$ هي فضاء الحالة لطريقة الجسيمات، وخمس دوال: ${\displaystyle {\begin{aligned}&u:[G\times P^{*}]\times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ^{*}&&{\text{دالة الجوار،}}\\&f:G\rightarrow \{\top ,\bot \}&&{\text{شرط التوقف،}}\\&i:G\times P\times P\rightarrow P\times P&&{\text{دالة التفاعل،}}\\&e:G\times P\rightarrow G\times P^{*}\ &&{\text{دالة التطور،}}\\&{\overset {\circ }{e}}:G\rightarrow G&&{\text{دالة تطور المتغير العام.}}\end{aligned}}}$

تحدد الحالة الأولية حالة طريقة الجسيمات لخوارزمية طريقة الجسيمات المعطاة${\displaystyle (P,G,u,f,i,e,{\overset {\circ }{e}})}$:

${\displaystyle [g^{1},\mathbf {p} ^{1}]\in [G\times P^{*}].}$

تتكون الحالة من قيمة أولية للمتغير العام${\displaystyle g^{1}\in G}$ومجموعة أولية من الجسيمات${\displaystyle \mathbf {p} ^{1}\in P^{*}}$.

في طريقة جسيمية محددة، عناصر المجموعة${\displaystyle (P,G,u,f,i,e,{\overset {\circ }{e}})}$يجب تحديدها. بالنظر إلى نقطة بداية محددة يتم تعريفها بواسطة مثيل${\displaystyle [g^{1},\mathbf {p} ^{1}]}$، وتستمر الخوارزمية في التكرارات. كل تكرار يتوافق مع خطوة انتقال حالة واحدة${\displaystyle s}$وهذا يُحسّن الوضع الحالي لطريقة الجسيمات${\displaystyle [g^{t},\mathbf {p} ^{t}]}$إلى الولاية التالية${\displaystyle [g^{t+1},\mathbf {p} ^{t+1}]}$يستخدم انتقال الحالة الدوال ${\displaystyle u,i,e,{\overset {\circ }{e}}}$ لتحديد الحالة التالية. دالة انتقال الحالة${\displaystyle S}$يُولد سلسلة من خطوات انتقال الحالة حتى دالة التوقف${\displaystyle f}$يكون${\displaystyle true}$تُعدّ الحالة النهائية المحسوبة نتيجةً لدالة انتقال الحالة. وتكون دالة انتقال الحالة متطابقة في جميع طرق الجسيمات.

تُعرَّف دالة انتقال الحالة على النحو التالي :

${\displaystyle S:[G\times P^{*}]\rightarrow [G\times P^{*}]}$

مع

${\displaystyle [g^{T},\mathbf {p} ^{T}]:=S([g^{1},\mathbf {p} ^{1}])}$.

يوضح الكود الزائف دالة انتقال الحالة لطريقة الجسيمات:

1${\displaystyle [g,\mathbf {p} ]=[g^{1},\mathbf {p} ^{1}]}$ ٢ بينما${\displaystyle f(g)=false}$ 3 لـ${\displaystyle j=1}$ل${\displaystyle |\mathbf {p} |}$ 4 ${\displaystyle \mathbf {k} =u([g,\mathbf {p} ],j)}$ 5 مقابل${\displaystyle l=1}$ل${\displaystyle |\mathbf {k} |}$ 6 ${\displaystyle (p_{j},p_{k_{j}})=i(g,p_{j},p_{k_{j}})}$ 7 ${\displaystyle \mathbf {q} =()}$ 8 لـ${\displaystyle j=1}$ل${\displaystyle |\mathbf {p} |}$ 9 ${\displaystyle (g,{\overline {\mathbf {q} }})=e(g,p_{j})}$ 10 ${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} \circ {\overline {\mathbf {q} }}}$ 11 ${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {q} }$ 12 ${\displaystyle g={\overset {\circ }{e}}(g)}$ 13${\displaystyle [g^{T},\mathbf {p} ^{T}]=[g,\mathbf {p} ]}$

الرموز السمينة هي مجموعات مرتبة،${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} }$هي مجموعات الجسيمات و${\displaystyle \mathbf {k} }$هو فهرس مرتب.${\displaystyle ()}$هو الصف الفارغ. المعامل${\displaystyle \circ }$هي عبارة عن سلسلة من أزواج الجسيمات، على سبيل المثال${\displaystyle (p_{1},p_{2})\circ (p_{3},p_{4},p_{5})=(p_{1},p_{2},p_{3},p_{4},p_{5})}$. و${\displaystyle |\mathbf {p} |}$يمثل عدد العناصر في المجموعة${\displaystyle \mathbf {p} }$مثال ${\displaystyle |(p_{1},p_{2})|=2}$.

• ميكانيكا الأوساط المتصلة
• طريقة العناصر الحدية
• طريقة الحدود المغمورة
• رمز الاستنسل
• طرق بدون شبكة

• طرق الجسيمات